18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY
Touto kapitolou zaW name najd]le[itej iu partiu n ho kurzu line rnej algebry a geometrie.
Jej strednR pojmy ako vlastn hodnota, vlastnb vektor a spektrum line rneho
oper tora hraj k Wov lohu nielen v samotnej line rnej algebre, ale aj v jej
aplik ci ch Wi u[ v inbch oblastiach matematiky, vo fyzike, i v Sal ch discipl nach.
Po iestich kapitol ch, ktorR sa odohr vali nad po om R pr padne C , sa opT vraciame
k vektorovbm priestorom nad ubovo nbm po om K.
18.1. Matica line rneho oper tora a podobnos mat c
Pripome me,[e line rnym oper torom na vektorovom priestoreV alebo tie[ line rnou
transform ciou priestoru V nazbvame ubovo nR line rne zobrazenie ': V ! V . Ak
V je koneWnorozmernb,tak line rny oper tor ': V ! V je injekt vny pr ve vtedy, keS
je surjekt vny, Wo je ekvivalentnR s rovnos ou h' = dimV pozri d]sledok 6.2.4.
Maticou line rnej transform cie ': V ! V vzh adom na b zu = u1;:::;un
nazbvame maticu
' = ' ; =
,
'u1 ;:::;'un

2 Knn;
tvoren s radnicami obrazov 'uj vektorov uj b zy vzh adom na t ist b zu .
Jednbm z ved cich z merov tejto i nasleduj cich dvoch kapitol bude dosiahnu
vhodnou vo bou b zy Wo najjednoduch tvar matice A = ' line rneho oper
tora '. Poznamenajme, [e pokia by sme netrvali na prirodzenej po[iadavke vyjadrova
s radnice vzorov aj obrazov vektorov x 2 V vzh adom na t ist b zu
priestoru V , lo by o peci lny pr pad vety 7.6.4: v[dy by sme mohli navy e jednoduchbm
sp]sobom zvoli b zy , priestoru V tak, aby matica ' vzh adom na ne
mala blokovb tvar
' ; =

Ih 0h;n,h
0n,h;h 0n,h;n,h

;
kde h = h'. NieWo jednoduch ie si a[ko mo[no predstavi my by sme u[ tradiWne
boli spokojn s diagon lnou maticou A = ' . Zdanlivo nevinn po[iadavka =
v ak znaWne zu[uje mo[nosti na ej vo by, Wo ako uvid me dramaticky komplikuje
situ ciu.
Analogick lohu sme u[ rie ili v kapitole 11 pre symetrickR biline rne formy;
vtedy sa n m v ak podarilo uk za , [e a[ na pr pad pol charakteristiky 2 mo[no
vo bou vhodnej b zy v[dy dosiahnu diagon lny tvar matice pr slu nej formy. Poznamenajme
u[ vopred, [e pre line rne oper tory sa n m niW podobnR nepodar .
Jednako presk mame trukt ru line rnych oper torov na koneWnorozmernbch vektorovbch
priestoroch do takej miery, [e dok [eme charakterizova oper tory diagonalizovate
nR vo vhodnej b ze ako aj identi kova ba WiastoWne tie[ odstr ni ale to
a[ v nasleduj cej kapitole prek [ky diagonalizovate nosti u tbch ostatnbch.
Na zaWiatok si uvedomme vz ah medzi maticami line rneho oper tora vzh adom
na r]zne b zy. Ako zvl tny pr pad vety 7.6.1 dost vame:
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
18.1.1. Veta. Nech ': V ! V je line rna transform cia koneWnorozmernRho vektorovRho
priestoru V a , s jeho dve b zy. Potom
' = P ; ' P ; :
tvorcovRmatice A; B 2 Knn sa nazbvaj podobnR, oznaWenie A  B, ak existuje
regul rna matica P 2 Knn tak , [e plat
B = P,1
AP:
Zrejme podobnR matice maj rovnak hodnos . Pitate si iste s m bez a[kost over ,
[e pre ubovo nR matice A; B; C 2 Knn plat
A  A;
A  B  B  A;
A  B & B  C  A  C:
To znamen , [e vz ah podobnosti je re ex vny, symetrickb a tranzit vny, Wi[e je to
ekvivalencia na mno[ine Knn. Ekvivalencia podobnosti n m asi pripom na in ekvivalenciu
na mno[ine Knn: toti[ kongruenciu mat c A  B, s ktorou ju v ak neslobodno
zamie a pozri paragraf 11.3.
KeS[e P ; = P,1
; a ka[d regul rna matica je maticou prechodu medzi vhodnou
dvojicou b z, nasleduj ca veta je bezprostrednbm d]sledokom vety 18.1.1.
18.1.2. Veta. Nech V je n-rozmernb vektorovb priestor nad po om K. Potom pre
ubovo nR matice A; B 2 Knn nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR:
i A, B s maticami tej istej line rnej transform cie ': V ! V vzh adom na
nejakR dve mo[no no nie nutne r]zne b zy priestoru V ;
ii A  B.
Stopu matice A 2 Knn, oznaWenie trA z anglickRho trace, de nujeme ako s Wet
jej diagon lnych prvkov, t.j.
trA = a11 + ::: + ann =
nX
i=1
aii:
18.1.3. Tvrdenie. Nech A 2 Kmn, B 2 Knm. Potom
trAB = trB A:
D]kaz. OznaWme A  B = cijmm, B  A = djknn. Jednoduchbm vbpoWtom
dost vame
trAB =
mX
i=1
cii =
mX
i=1
nX
j=1
aijbji =
nX
j=1
mX
i=1
bjiaij =
nX
j=1
djj = trB A:
Vety 10.3.2 a 10.3.3 o determinante s Winu mat c a determinante inverznej matice,
resp. tvrdenie 18.1.3 maj nasleduj ci bezprostrednb
18.1.4. D]sledok. PodobnR matice maj rovnakb determinant aj stopu.
Hovor me, [e determinant a stopa s invariantmi podobnosti mat c. Ak teda matice
A; B 2 Knn maj r]zne determinanty alebo r]zne stopy priWom najmT t to druh
podmienku mo[no ve mi ahko nahliadnu , tak nem][u by podobnR. Na druhej
strane v ak ani rovnos determinantu a stopy e te nezaruWuje ich podobnos .
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 3
18.2. VlastnR hodnoty a vlastnR vektory
Line rny oper tor ': V ! V na koneWnorozmernom vektorovom priestore V sa
nazbva diagonalizovate nb, ak existuje nejak b za priestoru V , vzh adom na ktor
m ' diagon lnu maticu.
Nech teda ': V ! V je diagonalizovate nb line rny oper tor a = v1;:::;vn je
tak b za priestoru V , [e matica B = ' je diagon lna so skal rmi 1;:::;n 2 K
na diagon le. Potom pre b zickR vektory vi plat
'vi = ivi:
Ukazuje sa, [e tento vz ah medzi line rnym oper torom ' skal rom i a vektorom vi
m k Wovb vbznam.
Vopred zd]raz ujeme,[e nasleduj ce dve de n cie sa vz ahuj rovnako na koneWnoi
nekoneWnorozmernR vektorovR priestory.
Hovor me, [e skal r  2 K je vlastn alebo tie[ charakteristick hodnota line rneho
oper tora ': V ! V , ak existuje vektor 0 6= v 2 V , pre ktorb plat 'v = v. V pr pade
vektorovbch priestorov nad W selnbmi po ami, ako napr. R alebo C , zvykneme
hovori o vlastnom W sle line rneho oper tora.
Hovor me, [e 0 6= v 2 V je vlastnb alebo tie[ charakteristickb vektor line rneho
oper tora ': V ! V , ak existuje skal r  2 K, pre ktorb plat 'v = v. Ak V je
vektorovb priestor funkci , zvykneme hovori o vlastnej funkcii line rneho oper tora.
Obe uvedenR de n cie hovoria vlastne o tom istom. Ak  2 K je vlastn hodnota
oper tora ', tak ka[db nenulovb vektor v 2 V takb, [e 'v = v, je vlastnb vektor
oper tora '. Naopak, ak v 2 V je vlastnb vektor, tak skal r , pre ktorb plat
'v = v, je vlastn hodnota. Hovor me, [e v je vlastnb vektor prisl chaj ci k vlastnej
hodnote , resp. [e  je vlastn hodnota prisl chaj ca k vlastnRmu vektoru v. E te
si v imnite, [e vlastn hodnota prisl chaj ca k danRmu vlastnRmu vektoru je urWen
jednoznaWne; na druhej strane, ako uvid me, k danej vlastnej hodnote m][e prisl cha
viacero, dokonca line rne nez vislbch vektorov.
Vlastnou charakteristickou hodnotou vlastnbm W slom, resp. vlastnbm charakteristickbm
vektorom tvorcovej matice A 2 Knn nazbvame vlastn hodnotu, resp.
vlastnb vektor line rneho oper tora Kn ! Kn danRho predpisom x 7! Ax. Vlastn
hodnota  2 K a k nej prisl chaj ci vlastnb vektor 0 6= v 2 Kn matice A s tak
zviazanR vz ahom Av = v.
Z tvrdenia 18.1.2 vyplbva, [e vlastnR hodnoty podobnbch mat c s vlastnbmi hodnotami
toho istRho line rneho oper tora, preto
18.2.1. Tvrdenie. PodobnR matice maj rovnakR vlastnR hodnoty.
Jednorozmernb podpriestor v generovanb vlastnbm vektorom v line rneho oper tora
je peci lnym pr padom tzv. invariantnRho podpriestoru. Hovor me, [e line rny
podpriestor S vektorovRho priestoru V je invariantnbm podpriestorom line rneho oper
tora ': V ! V , ak plat 'S  S, t.j. 'x 2 S pre ka[dR x 2 S. Ak line rny
oper tor ' je xovanb kontextom, hovor me jednoducho o invariantnom podpriestore.
Trivi lny podpriestor f0g a nevlastnb podpriestor V s v[dy invariantnR. Zrejme
jednorozmernb podpriestor v je invariantnb pr ve vtedy, keS v je vlastnb vektor
pr slu nRho oper tora. JednorozmernR podpriestory generovanR vlastnbmi vektormi
line rneho oper tora s teda pr kladmi netrivi lnych, a ak dimV 1, tak i vlastnbch
invariantnbch podpriestorov.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ak S je invariantnb podpriestor line rnej transform cie ': V ! V , tak z [enie
' na S je opT line rnou transform ciou '  S: S ! S na vektorovom priestore S.
Ak = u1;:::;uk;uk+1;:::;un je b za priestoru V tak , [e jej prvbch k vektorov
tvor b zu invariantnRho podpriestoru S, tak matica ' v tejto b ze m blokovb tvar
A = ' =

A1 M
0n,k;k A2

;
kde A1 2 Kkk je matica line rnej transform cie 'S: S ! S v b ze u1;:::;uk a
M 2 Kkn,k
, A2 2 Kn,kn,k
.
Ak V = S T je dokonca priamym s Wtom invariantnbch podpriestorov S, T, tak
V m b zu = u1;:::;uk;uk+1;:::;un, ktorej prvbch k vektorov tvor b zu S a
zvy nbch n,k vektorov tvor b zu T. Vzh adom na tak to b zu m matica ' blokovo
diagon lny tvar
A = ' =

A1 0k;n,k
0n,k;k A2

= diagA1;A2;
kde A1 2 Kkk je matica line rnej transform cie ' S: S ! S v b ze u1;:::;uk
a A2 2 Kn,kn,k
je matica line rnej transform cie '  T : T ! T v b ze
uk+1;:::;un. Toto pozorovanie mo[no zrejmbm sp]sobom zov eobecni na priamy
s Wet ubovo nRho koneWnRho poWtu invariantnbch podpriestorov. Detaily prenech vame
na samostatnR premyslenie Witate ovi.
Z vykonanbch vah priamo vyplbva nasleduj ca charakteriz cia diagonalizovate nbch
line rnych oper torov.
18.2.2. Veta. Nech ' je line rny oper tor na koneWnorozmernom vektorovom priestore
V . Potom nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR:
i ' je diagonalizovate nb;
ii existuje b za priestoru V pozost vaj ca z vlastnbch vektorov oper tora ';
ii V je priamym s Wtom jednorozmernbch invariantnbch podpriestorov line rneho
oper tora '.
Samozrejme, matica oper tora ' v b ze vlastnbch vektorov = v1;:::;vn m
tvar ' = diag1;:::;n, kde i je vlastnR hodnota prisl chaj ca k vlastnRmu
vektoru vi.
PodWiarkujeme, [e nasleduj ce tvrdenie plat aj bez predpokladu koneWnorozmernosti
priestoru V .
18.2.3. Tvrdenie. Nech 1;:::;k s navz jom r]zne vlastnR hodnoty line rneho
oper tora ': V ! V . Potom k nim prisl chaj ce vlastnR vektory v1;:::;vk s
line rne nez vislR.
D]kaz. Predpokladajme, [e v1;:::;vk s line rne z vislR. Potom existuje j  k takR,
[e vektor vj je line rnou kombin ciou predch dzaj cich; zvo me najmen ie takR j.
KeS[e v1 6= 0, j  2 a [iaden z vektorov v1;:::;vj,1 nie je line rnou kombin ciou
predch dzaj cich, s to line rne nez vislR vektory. Pre nejakR skal ry c1;:::;cj,1
plat vj = c1v1 + ::: + cj,1vj,1. Nako ko vj 6= 0, aspo jeden z tbchto skal rov je
6= 0. Vektor 'vj si vyjadr me dvoma sp]sobmi:
'vj = c1'v1 + ::: + cj,1'vj,1 = c11v1 + ::: + cj,1j,1vj,1;
'vj = jvj = jc1v1 + ::: + cj,1vj,1 = c1jv1 + + cj,1jvj,1:
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 5
V d]sledku toho
c11 ,jv1 + ::: + cj,1j,1 ,jvj,1 = 0;
a keS[e i 6= j pre v etky i  j ,1, aspo jeden z koe cientov cii ,j je r]zny
od nuly. To je v ak spor s nez vislo ou vektorov v1;:::;vj,1.
Pr ve dok zanR tvrdenie spolu s vetou 18.2.2 maj za bezprostrednb d]sledok prv
Was nasleduj ceho tvrdenia.
18.2.4. Tvrdenie. Nech ' je line rny oper tor na n-rozmernom vektorovom priestore
V . Ak ' m n navz jom r]znych vlastnbch hodn]t 1;:::;n, tak je ' je diagonalizovate
nb v b ze im prisl chaj cich vlastnbch vektorov. Navy e ka[db vlastnb
vektor vi prisl chaj ci k vlastnej hodnote i je urWenb jednoznaWne a[ na skal rny
n sobok.
D]kaz. Zost va overi z vereWn podmienku jednoznaWnosti. Nech teda j  n a w je
tie[ vlastnb vektor prisl chaj ci k vlastnej hodnote j. KeS[e v1;:::;vn tvoria b zu
V , w =
Pn
i=1 civi pre nejakR koe cienty ci 2 K. Dok [eme, [e w = cjvj. V opaWnom
pr pade by aj w,cjvj 6= 0 bol vlastnbm vektorom oper tora ' prisl chaj cim k j.
Pod a predch dzaj ceho tvrdenia s vektory w,cjvj, a vi, i 6= j, line rne nez vislR.
To je v ak spor so skutoWnos ou, [e
w ,cjvj =
X
i6=j
civi
je line rnou kombin ciou ostatnbch vektorov.
18.3. Charakteristickb polyn m
V tomto paragrafe si predvedieme, ako mo[no k danej tvorcovej matici A 2 Knn
n js jej vlastnR hodnoty a k nim prisl chaj ce vlastnR vektory. Reprezent cia linerneho
oper tora na koneWnorozmernom vektorovom priestore pomocou jeho matice
v nejakej dokonca ubovo nej b ze n m potom umo[n vyrie i analogick lohu aj
pre .
Maticu A,xI nazbvame charakteristickou maticou matice A 2 Knn; jej charakteristickbm
polyn mom nazbvame determinant charakteristickej matice, t.j. polyn m
chAx = detA,xIn =
a11 ,x a12 ::: a1n
a21 a22 ,x ::: a2n
...
... ... ...
an1 an2 ::: ann ,x
v premennej x s koe cientmi z po a K, t.j. chAx 2 K x . Charakteristickb polyn m
je zrejme polyn m stup a n s koe cientom ,1n pri najvy ej mocnine xn. Charakteristickou
rovnicou matice A nazbvame rovnicu chAx = 0, t.j.
detA,xIn = 0:
Niektor autori de nuj charakteristick maticu ako xI ,A a charakteristickb polyn
m ako detxI , A, Wi[e ako ,1n kr t "n charakteristickb polyn m zrejme
ide o nepodstatnb rozdiel.
Vbznam pr ve de novanbch pojmov je danb nasleduj cou vetou.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
18.3.1. Veta. Nech A 2 Knn. Potom skal r  2 K je vlastnou hodotou matice A
pr ve vtedy, keS
detA,In = 0;
t.j. pr ve vtedy, keS  vyhovuje charakteristickej rovnici matice A.
D]kaz. Skal r  2 K je vlastnou hodnotou matice A pr ve vtedy, keS A  v = v
pre nejakb vektor 0 6= v 2 Kn, Wi[e pr ve vtedy, keS homogRnna s stava line rnych
rovn c A,I v = 0 m aspo jedno nenulovR rie enie v 2 Kn. To nastane pr ve
vtedy, keS matica A,I je singul rna, t.j. detA,I = 0.
Zopakujme si e te raz, Wo sme sa nauWili v tomto d]kaze a nie je zahrnutR v znen
vety: vlastnR vektory tvorcovej matice A prisl chaj ce k jej vlastnej hodnote  s
pr ve v etky nenulovR rie enia homogRnnej s stavy s maticou A, I; pritom pr ve
singularita uvedenej matice zaruWuje ich existenciu.
18.3.2. Veta. Nech A; B 2 Knn. Ak A  B, tak chA = chB; inbmi slovami,
podobnR matice maj rovnakb charakteristickb polyn m.
D]kaz. Nech A, B s podobnR a P je regul rna matica tak , [e B = P,1
 A P.
KeS[e aj xI = P,1
 xI  P, s pou[it m rovnost pre determinant s Winu mat c a
determinant inverznej matice vety 10.3.2 a 10.3.3 dost vame
chBx = detB ,xI = det
,
P,1
AP ,P,1
xI P
= det
,
P,1
A,xI P
= detP,1
detA,xIdetP
= detA,xI = chAx:
To znamen , [e i charakteristickb polyn m je invariantnom podobnosti mat c. T to
jeho vlastnos n m umo[ uje korektne zade nova aj charakteristickb polyn m ch'x
line rnej transform cie ' koneWnorozmernRho vektorovRho priestoru V ako charakteristickb
polyn m matice tejto transform cie vzh adom na ubovo n b zu priestoru
V . VlastnR hodnoty takejto line rnej transform cie s potom toto[nR s vlastnbmi
hodnotami jej matice.
Tvrdenie 18.2.1 teraz priamo vyplbva z vety 18.3.2. Keby sme boli schopn nahliadnu
, [e koe cienty u mocn n x0
resp. xn,1
v charakteristickom polyn me chAx
matice A 2 Knn s detA resp. ,1n,1
trA, Wi[e
chAx = detA,::: + ,1n,1
a11 + ::: + annxn,1
+ ,1nxn
Wo nie je a[ takR a[kR, mohli by sme okam[ite dosta aj d]sledok 18.1.4 z pr ve
dok zanej vety. Ani Witate , ktorb to nahliadnu nedok [e, si v ak nemus z fa . Tieto
vbsledky n m toti[ onedlho spadn do lona samy, ako ved aj ie plody n ho t dia.
18.4. Pr klady
Pok sme sa teraz na nieko kbch ve mi jednoduchbch pr kladoch v etky sa tbkaj
mat c najni[ ieho netrivi lneho rozmeru 2 2 ilustrova met du vbpoWtu vlastnbch
hodn]t  matice A rie en m jej charakteristickej rovnice chAx = 0 a n slednb
vbpoWet vlastnbch vektorov rie en m homogRnnych s stav so singul rnymi maticami
A,I. Z rove sa pri tom zozn mime s r]znymi mo[nos ami, ktorR m][u nasta , a
priprav me si tak p]du pre Sal ie vahy.
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 7
18.4.1.Pr klad. S mernos roviny pod a osi prech dzaj cejpoWiatkom a zvieraj cej
s osou x uhol je line rny oper tor S : R2
! R2
, ktorb m vzh adom na kanonick
b zu " = e1;e2 maticu
S =

cos2 sin2
sin2 ,cos2

pozri pr klad 6.4.4. Charakteristickb polyn m
detS ,xI2 = cos2 ,x sin2
sin2 ,cos2 ,x
= x2
,cos2
2 ,sin2
2 = x2
,1
m dva korene x1;2 = 1. K nim prisl chaj ce vlastnR vektory n jdeme rie en m
homogRnnych s stav s maticami
S ,I =

cos2 ,1 sin2
sin2 ,cos2 ,1



sin ,cos
0 0

;
resp.
S + I =

cos2 + 1 sin2
sin2 ,cos2 + 1



cos sin
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vektormi cos ;sin T resp.
,sin ;cos T. To znamen , [e oper tor oper tor S m vzh adom na b zu tvoren
st pcami matice 
cos ,sin
sin cos

diagon lnu maticu diag1;,1. E te si v imnite, [e cos ;sin T je smerovb vektor
na ej osi s mernosti a ,sin ;cos T je smerovb vektor kolmice na u v poWiatku.
Uvedomte si, [e tento vbsledok sa presne zhoduje s geometrickbm n zorom.
18.4.2. Pr klad. OtoWenie roviny okolo poWiatku o uhol je line rny oper tor
R : R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze " = e1;e2 maticu
R =

cos ,sin
sin cos

pozri pr klad 6.4.3. Charakteristickb polyn m
detR ,xI2 = cos ,x ,sin
sin cos ,x
= x2
,2xcos + cos2
+sin2
= x2
,2xcos + 1
m diskriminant D = 4cos2
, 4 = ,4sin2
. Okrem trivi lneho pr padu, keS
sin = 0, t.j. R = I2, ktorbm sa Salej nebudeme zaobera , je D 0, teda charakteristickb
polyn m nem re lne korene. Preto ani R nem re lne vlastnR hodnoty a
nie je podobn so [iadnou diagon lnou maticou nad R.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Na druhej strane, keS[e R  C , na R sa m][eme d va ako na komplexn
maticu z C 22
; ako tak urWuje vzh adom na kanonick b zu " = e1;e2 v C 2
line rny oper tor C 2
! C 2
. V poli C jej charakteristickb polyn m u[ m dva korene
x1;2 = cos isin = ei
, ktorbm zodpovedaj ce vlastnR vektory dostaneme
rie en m homogRnnych s stav s maticami
R ,ei
I =

,isin ,sin
sin ,isin



1 ,i
0 0

;
resp.
R ,e,i
I =

isin ,sin
sin isin



1 i
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vektormi 1;,iT resp. 1;iT.
To znamen , [e oper tor C 2
! C 2
danb predpisom x 7! R x m vzh adom na b zu
tvoren st pcami matice 
1 1
,i i

diagon lnu maticu diagei
;e,i
.
18.4.3.Pr klad. Rovno ahlos v rovine so stredom v poWiatku a koe cientom podobnosti
c 2 R je line rny oper tor R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze " = e1;e2
diagon lnu maticu cI2 pozri pr klad 6.4.5. Jej charakteristickb polyn m
detcI2 ,xI2 = c ,x2
m jeden dvojn sobnb re lny kore x1;2 = c. Podpriestor rie en homogRnnej s stavy
s maticou cI2 ,cI2 = 02;2 je samozrejme celR R2
. To znamen , [e na a rovno ahlos
m v ubovo nej b ze priestoru R2
diagon lnumaticu cI2. VTW inou, pokia z nejakbch
d]vodov ned me prednos inej vo be, si v takom pr pade zvykneme vybra kanonick
b zu " = e1;e2.
18.4.4. Pr klad. Skosenie roviny v smere osi x s parametrom a 2 R je line rny
oper tor R2
! R2
s maticou 
1 0
a 1

vzh adom na kanonick b zu " = e1;e2 pozri pr klad 6.4.6. KeS[e pre a = 0 ide
o identickR zobrazenie, ktorR m v ubovo nej b ze maticu I2 Wo je peci lny pr pad
predo lRho pr kladu, budeme Salej predpoklada , [e a 6= 0. Charakteristickb polyn m
1 ,x 0
a 1 ,x = 1 ,x2
m jeden dvojn sobnb re lny kore x1;2 = 1. K nemu prisl chaj ce vlastnR vektory
n jdeme rie en m homogRnnej s stavy s maticou

0 0
a 0



1 0
0 0

:
Podpriestor rie en je jednorozmernb, generovanb vektorom e2 = 0;1T, preto skosenie
v smere osi x s nenulovbm parametromnie je diagonalizovate nb line rnyoper tor.
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 9
18.4.5. Pr klad. Hyperbpolick rot cia MinkowskRho "Wasopriamky R1;1
o hyperbolickb
uhol  2 R je line rny oper tor Rh : R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze
" = e0;e1 maticu
Rh =

cosh sinh
sinh cosh

pozri paragraf 16.7. Charakteristickb polyn m
detRh ,xI2 = cosh ,x sinh
sinh cosh ,x
= x2
,2xcosh + cosh2
 ,sinh2
 = x2
,2xcosh + 1
m diskriminant D = 4cosh2
 ,4 = 4sinh2
  0 a dva re lne korene
x1;2 = cosh sinh = e :
Pre  = 0 je Rh = I2, tak[e ide o algebraicky i geometricky dvojn sobnR vlastnR
W slo e0
= 1. Pre  6= 0 dost vame dve jednoduchR vlastnR W sla. Pr slu nR vlastnR
vektory n jdeme rie en m homogRnnych s stav s maticami
Rh ,e I2 =

cosh ,e sinh
sinh cosh ,e

=

,sinh sinh
sinh ,sinh



1 ,1
0 0

;
resp.
Rh ,e, I2 =

cosh ,e, sinh
sinh cosh ,e,

=

sinh sinh
sinh sinh



1 1
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vlastnbmi vektormi 1;1T,
resp. 1;,1T. V imnite si, [e ide o svetelnR vektory. V nimi tvorenej b ze, danej
st pcami matice 
1 1
1 ,1

;
m hyperbolick rot cia Rh diagon lnu maticu diage;e,.
18.5. Line rne oper tory na nekoneWnorozmernbch priestoroch
V tomto paragrafe ako napokon ani v celom kurze nie je na im cie om systematickR
t dium line rnych oper torov na nekoneWnorozmernbch priestoroch. Obmedz me sa
len na dva pouWnR pr klady, na ktorbch sa vbrazne prejavia rozdiely medzi koneWnoa
nekoneWnorozmernbm pr padom.
18.5.1. Pr klad. Symbolom C1
R sa zvykne oznaWova mno[ina v etkbch funkci
f : R ! R,ktorR maj na celom R spojitR deriv cie v etkbch r dov. Zrejme C1
Rje
line rny podpriestor re lneho vektorovRho priestoru CR v etkbch spojitbch funkci
R ! R s oper ciami de novanbmi po zlo[k ch pozri pr klady 4.1.3 a 6.1.8. Potom
pre ka[d funkciu f 2 C1
R aj jej deriv cia Df = f0 patr do C1
R, teda
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
D: C1
R ! C1
R je line rny oper tor. Podmienka Df = f pre jeho vlastn
hodnotu a pr slu n vlastn funkciu nie je niW inRho ne[ diferenci lna rovnica
f0x = fx;
ktor m pre ka[dR  rie enie
fx = f0ex :
To v ak v reWi tejto kapitoly znamen , [e ka[dR re lne W slo  je vlastnou hodnotou
oper tora D a prisl cha mu jednorozmernb vlastnb podpriestor generovanb funkciou
ex.
18.5.2. Pr klad. UrWitb integr l ch panb ako funkcia hornej medze, ktorb spojitej
funkcii f : ha;bi ! R prirad predpisom Fx =
R x
a ftdt jej primit vnu funkciu
If = F, de nuje line rny oper tor I: Cha;bi ! Cha;bi na vektorovom priestore
Cha;bi v etkbch spojitbch re lnych funkci na intervale ha;bi pozri pr klad 6.1.9.
Podmienka If = f pre jeho vlastn hodnotu a pr slu n vlastn funkciu m tvar
integr lnej rovnice Z x
a
ftdt = fx:
Ak  = 0, tak derivovan m oboch str n pod a x zist me, [e jedin spojit funkcia f,
ktor ju sp a, je identicky rovn nule. Teda 0 nie je vlastnR W slo oper tora I.
Nech teda  6= 0. KeS[e funkcia na pravej strane je diferencovate n , mus by
diferencovate n aj f, a po derivovan oboch str n pod a x dost vame diferenci lnu
rovnicu fx = f0x, Wi[e
f0x = 1

fx;
ktor , podobne ako v predch dzaj com pr klade, m rie enie
fx = fae
x,a
 :
Dosaden m x = a do p]vodnRho vz ahu dost vame
fa =
Z a
a
ftdt = 0;
teda fa = 0, Wo m opT za n sledok fx = 0 pre ka[dR x. Teda ani [iadne re lne
 6= 0 nie je vlastnbm W slom oper tora I.
PouWen pr kladom 18.4.2 by sme sa mohli pok a n js nejakR komplexnR vlastnR
W sla oper tora I. Ale u[ zbe[nb poh ad na pr ve vykonanR vahy n m uk [e, [e
re lnos skal ra  v nich nehrala podstatn lohu. Teda z rovnakbch d]vodov I nem
ani komplexnR vlastnR W sla.
Na druhej strane, line rny oper tor Ia : Cha;bi ! Cha;bi danb predpisom
Iafx = fa +
Z x
a
ftdt
pre f 2 Cha;bi, x 2 ha;bi m jedinR vlastnR W slo  = 1. V etky rie enia pr slu nej
integr lnej rovnice Iaf = f maj tvar
fx = faex,a :
To znamen , [e tvoria jednorozmernb vlastnb podpriestor generovanb vlastnou funkciou
ex,a. PresvedWte sa o tom.