Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
Příklady k procvičení
Cvičení 1
Vypočtěte určité integrály pomocí základních vzorců
3
1.  Jŕáx,
1
6
ľ  1    ,
2.       — dx,
J   x
2 27
O.       /                T  CI.ÁJ «
J   yx i
2
4.  /(3*>-.+ !)*,
-3 1
5.    I x • \fxdx, o
3
6.    / —-2-------— <ir,
J   sin x cosz x
6 2                           2
7.    /  í x-----]   dx,
i
3
2
8.    / (xz + 6x-2) dx, -i
2,
/" 1 + cos^ X y       sin x
4
f3x + 2 ,
10.    / --------<±c,
i i
11.    í(3x + 5x)2dx, o
2
12.    / —-----dx,
J  x2 + 4
o
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
13.       {2x + ľ)Adx, o
i
14.    í(ex + e-x)dx,
o
f  1
15.   / — dx,
J   2X -i
16.   / ^+1)'fe,
X
17.   / sinx •    1
sin3 x

18.
x
x2 + l

19.    / tg xdx, o
16
20.    / \j\fxdx. i
Cvičení 2
Vypočtěte určité integrály substituční metodou
1.
l + x/x

2.    / cos x • sin3 x dx, o
3.    /     ,           dx,
-i
a/3
v/Š"
x*
4.
x
V4- x2

2
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
3
f            1
J   x\J\ + In x i
4
6. /tg'xdx,
0 4
7.   / —-— dx, J  x + 1 o
D2
8.   / -----2— dx,
J   x In x
i
o 1 10./..(2^-1)'»*,
0
1 ll.y>.sin(l-*=)<fa,
0
7T
12. /«-.^.fc,
0 a/2
13.    / V4 - x2 dx, o
In 5
r ex\/ex - 1
14.    / ^_^-----icte,
o
e
/l -)- In x ----------dx, x 1
3
16.  /tg.t<fa,
O
8
17.    /     .         dx,
J v^TT
o
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
18.   / ------dx,
J     x i
i
19.   / -------dx,
J  x + 1 o
20.   / cos 2x dx.
Cvičení 3
Vypočtěte určité integrály metodou per partes
2
1./I.8m2x<fc,
0
1 2. J H*+ *)**,
0
1 4.    / arctgxdx, o i
r        #3        2x J O.      IX    'Q      CIX,
0 In 2
6.  JX-e-dX,
0
1
2
7.    / arctg 2xdx, o
a/3
8.    j x • arctgxdx, o
2
97e"-sin't<fc'
o
4
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
i 10.    Ix- e3x dx
o
2
11. /*-ln(l+ *»)<&,
1
TT
0
2
13.    / (3x + 2) • Inxdx,
e
14.   / x3 ■ Inxdx,
15.    / x2 ■ cosxdx, o
i
2
16.    / aresin x dx, o
i
n. J*>■<-*,
-1
2
18.    / V^"' Inxdx,
	i	
	i	
19.	J2* -i	• ex+1 dx,
20.	0	■ axetgx dx.
Cvičení 4		
Vypočtěte i		irčité integrály
1.	/*2 0	O     tXtX/ •
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
2.   [1+^dx,
./        x
3.   / x ■ T dx,
cos x 4.   /     ,          dx,
Vsi"3
sm x
10
5.
x2 — 9
6.    / —-----r (ir,
x2 - 4
3
7. j e-*,
-2 2
8.
3x + 2

10
9.
,-------------------- tXtX' •
V2x + 5
10.    / \wxdx, i
0
12.   /2£±V
./   x + 1
13.   / sin — dx, J        2
o
14.
x
x2 — x — 6

Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
4
10.     /           ^      CIX,
J   cosá x o
7T
2
16.    / -----------dx,
J   1 + smx o
i
17.  /(2-.)«*,
O
-2
18.    / —-------dx,
J   x6 — x1
-4 2
19- J (3 - xf dX' i
i
2
20./,. Mi-.V-
o
Cvičení 5
Vypočtěte plochu ohraničenou grafem dané funkce a osou x
1.  y = x2 — 5x + 6,
2.  y = v7!3^,
3.  y = x2 - 4,
4.  y = 2 + x — x2,
5.  y = 1 — x2.
Cvičení 6
Vypočtěte plochu ohraničenou grafem dané funkce, osou x a danými přímkami
1.  y = x2 — 4,    x = 0, x = 4,
2.  y = e~2x+1,    x = 0,x = 1,
3.  y = ln|,    x=^,x = 4,
4.  y = i/o;,    x = 1, x = 9,
°-   ž/ =  j;2+4 j       3? = —Z, X = Z,
6.  y = v^,    x = 8,
7.  y = In x,    x = e2,
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
8.  y = 3X,    x = Q,x = 1,
9.  y = cotg x,    x = |, 10. y = ex,    x = l,x = 3.
Cvičení 7
Vypočtěte plochu ohraničenou danými funkcemi
1.  y = x2 + 3, y = 2x2- 1,
2.  y = 3-x2, y = 1 + x2,
3.  y = x2 + x, y = 2x2 — 6,
4.  y = x2,
5.  y = 4 — x, y     x j
6.  y = x2,
y ~ í+x2'
7.  y = cos x,
X  t   \      2 ' 2 ' '
8.  y = x2,
y = 3 — 2x,
9.  y = 2;,
y = fä,
10. y = sin x, y = cos x x = 0.
Cvičení 8
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného danou funkcí v daném intervalu kolem osy x
1-  I/ = J,v(i,2>,
2.  y = lnx, v (1,2),
3.  y = tgx, v (0,f),
4.  y = smx, v (0,f),
5.  y = x3, v (0,2).
8
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
Cvičení 9
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného danou funkcí v daném intervalu kolem osy x
1.  y = x2 + 2, y = 2x2 + 1,
2.  y = x2, V2 = x,
-,X
1
y = ex,
3.  y = é1 y = e x = In 2,
4.  y = x2 + 2, y = 1 — x
.2
x e (-1,1),
5. y = x2, y = 3 — 2x.
9
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
Výsledky 1	
1.	26 3 '
2.	In 3,
3.	2,
4.	665 12 '
5.	3 7'
6.	4\/3 3    '
7.	1 3'
8.	76 3 '
9.	2 - -Z        4'
10.	24 + 41n3,
11.	12     ,      28      ,      4 In 5 "^ In 15 ~*~ In 3'
12.	7T 8 '
13.	10,
14.	e-1, e '
15.	1 In 2'
16.	7 + In 4,
17.	\/2         i 2          -1-'
18.	2    _|      7T 3  + 4'
19.	1 - -L        4 '
20.	124 5   -
Výsledky 2	
1. 2v^-21n(l + v/2),
2.	i 16'
3.	o,
4.	1,
5.	2Vl+ln3-2,
6.	2          2   '
10
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
7.	4 — arctg 2,
8.	i 2'
9.	arctg e — \,
10.	i 22'
11.	|(1 — COS 1),
12.	e-1, e '
13.	- + 1 2  ~     i
14.	4 -7T,
15.	3 2'
16.	In 2,
17.	4,
18.	8 3'
19.	In 2,
20.	0.
Výsledky 3	
1.	i 2'
2.	31n3-2,
3.	12 "  ~ 2i
4.	- - - In 2 4         2m^>
5.	e2+3 8     '
6.	- - - In 2 2         2m^>
7.	e _ 11 n o 8         4mZ'
8.	2?r       Vä 3            2   '
9.	1         7T                 1 -f>2   +  i 2C     T 2>
10.	9C   '
11.	|ln5-ln2-|,
12.	7T2-4,
13.	101n2-^,
11
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
14.	3e4+l 16     '
15.	-27T,
16.	7T       i      \/3             1 12 "•"    2
17.	e '
18.	16ln4_  28 3                     9 '
19. 4,
on    — — - + -In 2
Výsledky 4
1.   e-2,
2.   6,
3.	2              1 In 2         In2 2 '
4.	2v^-2,
5.	In-y/13,
6.	In2 + 31n6-31n5
7.	e15           1 3           3e6'
8.	i In 4,
9.	2,
10.	1,
11.	lp7T             2 5C           5'
12.	2 +In 2,
13.	2,
14.	±ln^ 5 lil 9 '
15.	1 2'
16.	1,
17.	31 5 '
18.	-- +ln-4 ^ lil 5 '
19.   1,
20.  -^ - llni
12
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
Výsledky 5
M,
O      ÍL
Z-     2'
q      32
O.      3 ,
<±.     2,
o.  3.
Výsledky 6
1.   16,
2.   h (e- '-
2
3. 3In2- \,
4     52
K     E. ô-    4,
6.   12,
7.  e2 + l,
9.  \ In 2, 10. e(e2 - 1). Výsledky 7
1        32 1.      g ,
2    ^
Z.    3,
q     125
°-    6   '
4   l-
<±.    3,
5. 4-In27,
6.   7T-|,
7.   yJŽ-\
3'
o      32
8.   y, 9   i
13
Určitý integrál
RNDr. Simona Sobkova, Ph.D.
10.  y/2- 1. Výsledky 8
1.   fvr,
2.   (21n22-41n2 + 2)7T, 3-   (l-f)vr,
4   ^ 5.  ifvr. Výsledky 9
1.	24^ T7^
2.	Ž71"'
3.	I71"'
4.	lOvr,
5.	1088^
14