Matematická analýza V — Rovnice matematické fyziky
Reste okrajové úlohy
1)  ^y»_3y^ H-Z^ ze(0,7r); y(0) = y(7r) = 0
2)  -(1 + x2)y" - 2xy' = f (x), x e (0,1); yfO) - y'(l) = 0, y(l) = 0 Najděte obecné řešení rovnice
3)     zx — 6x2zy                                                  4)     (z + y - x)vx + (z + x - y)vy + zv: =0 Najděte řešení rovnice, které splňuje danou podmínku
5)     zx + yzy = 0, z(0,y) = -                          8)    yzx — xzy - y2 - x2, z(x,a) = x2 - a2
6)     u t 4- ciUjľ — 0, u(a:,0) = siná:                    9)    xzzx + yzzy + xy = 0, z{x, —) — 1
7)     tí j + 0^ = a:2ŕ + 1, u(z,0) = x + 2          10)    2^r + yzy = 4.2+1, 2(2, 1) = z2 Určete typ lineárni rovnice druhého řádu
11)     uxx + yiiyy — 0                                         12)    x2uxx — 2a: siní/ wTS + sin2 y u^y — 0
Danou rovnicí preveďte na kanonický tvar
13)     e2xuXI + 2ex+vuxy + c2y«ss = 0
14)     xyzxx - (x2 + y2)^ + xyzyy + yzx + xzy = 0, a: ^ y
15)     y2^^. + ar2í/„j,  = 0                                   16)       U^ + Uxy + Uyj, + Wj. = 0
Najděte obecné řešení rovnice
17)     x2uxx - 2xyuxy + y2uyy ■+ xux + yuy = 0
18)     x2uxx -y2uyy = 0
19)  Řešte počáteční úlohu utt = uxx + sina:;     u(x,Q) = x, ut(x,0) = - .
20)  Řešte úlohu o chvění struny délky / (utt — a2uxx), je-li
(aj struna upevněna na obou koncích, na počátku je ve vzdálenosti c od jednoho konce ~~*        vychýlena na vzdálenost h od rovnovážné polohy.
J2           b) struna upevněna na obou koncích a je rozechvěna úderem plochého tvrdého kladívka
o šířce 25, jehož střed se struny dotkne ve vzdálenosti c od jednoho konce a jež se pohybuje rychlostí v.
c)  struna je upevněna na obou koncích a působí na ni konstatntní síla /.
d)  struna je upevněna na jednom konci, druhý konec vykonává harmonický pohyb s amplitudou A a frekvencí u ~ ——. (Na počátku je druhý konec vychýlen na vzdálenost A.)
21)  Řešte úlohu o chladnutí homogenní tyče délky l která byla stejnoměrně zahřátá na teplotu uq, na jejímž bočním povrchu nedochází k výměně tepla (ut — a2uxx) a
a)  jeden její konec udržujeme na teplotě 0, druhý je tepelně izolován.
b) jeden její konec udržujeme na teplotě ui, druhý na teplotě u2.
c)  na koncích nastává výměna tepla s prostředím nulové teploty {ux(Q,t) = hu{0,i), ux{l,t) = -hu(l,t)).
22)   Homogenní koule o poloměru R byla zahřátá tak, Že její počáteční teplota v libovolném bodě závisí pouze na vzdálenosti r tohoto bodu od středu koule (u(x, y,2,0) = f{\/x2 + y2 + z2)). Povrch koule udržujeme na nulové teplotě. Určete teplotu koule v libovolném bodě a libovolném čase.
Typeset by -^S-TgX
2
Řešte úlohu
23)  u*x + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
u(0,y) = Ay(b-y), u{a,y) = 0, 0 < y < 6; u(x,0) = ösin(^, u{x,b) = 0, 0 < x < a
24)  uIX + Uyy = 0, x2 + y2 > a
u(a cos ip, a simp) = 2 sin <p -f 3 cos2 <p,    u je ohraničená
25)  uxx + uyy = -2, 0 < x < a, -f < y < £
u{0,y) =u(a,y) = 0, -§<y<£;    u(x,-^) = u{x, |), 0 < x < a 26} uxx + uyy = c, ^ + |s < 1;      u(x,y) = 0, ^ + p ^ 1
Výsledky:     l)y(x) = £ fc "" ^   = J (cosVás - cotgv^iťsi»V5a: -0 + 1
1     (*                                                                     '■
2)ff(j:) = -——     //(0(*-4wctg*)(a«tgí + l)dí + //(í)(aK:tgíB + l)()r-4arctgx)dí
4 + TT   \o
Z)z{x,y)=${2x3 + y) A)v{x,y,z) =G(x+y-2z,t2{x-y)) 5)z{x,>j) - si
6)u(a,í) =sin{a;-aí) 7)u(a:,í) = f^í4 - ^-í3 + ^-i2 - (a - l)í +ľ + 2
8)«(x,j/) = x2 + y2 + xy - 2a2 -as/xs +y2 -a2 9)z(x,y) = ^2 - xy I0)z{x,y) = x'1 + \(<J4 -1)
ll)hyperbolická pro y < 0, eliptická pro y > 0 12)parabolická 13) «,,,, = ( -—    g — l)u^ — U,,
H} ^ = ^r^n 15> «ťť + ^i + ^ue+^t.,, = 0 16) ««+«„„ = |, w - e^f+^^, í = ^-ť, »í = 4X 17) u(i,y) ^^^(rajlrijr + ipfiy) 18) u(a:,jř) = ^í^ly^jž+rí^y) 19) u(i',i) - x+ \nj^& + sin z - cos x siní
20a} «(k,í) =    ,^^-j   2  ^sS'nl^r-Llsint^r^lcosf^*)
20b) u(:e,í) = ^ £  Aj-sint^cjsinl^-JJsiní^iJcost^t)
20c) u(*,<}=ä|  ÍŠSTTJít1 -cos(^±^f))sm(^±Ür)
20d) u(x,i) = f (acos^ij-aisintüfi)) + ^  E  ^^ sin(glTÍ" + 1) ŕ)sin(-^ z)
,      ~                siii(^M-7ra:) 21a) u(x,t) = ^& >    --------------------si-------~-----------, stacionární stav u = 0
21b   u(a:,í) = ÜX_Lr+Ul + i. \---------------------.......—>,„„„,■,,■■---------------------
stacionární stav u(:c} =ui + "^T"1 ľ 21c)u(z,ŕ) = 2u0 f ^^^(sm(v%:0-^(cos{v%:0-l)){v/A7coS(NAr^) + /lsm(v%r^)í,
kde Aj, A2 ... jsou kladné kořeny rovnice ^ — 4= = 2 cotg(vAř)
co                                                 fl
22) «(r.í) - £ I>xp(-(^)2í)sin(^) / p/(p)sin(^)dP
BrM^^)sin{^)       „.,   ~. sh(í^1'xfa-J:')sin(<2'tV)"')