Testy dobré shody při neznámých
parametrech, ověřování
exponenciálního rozdělení
Pavel Hellebrand
20.března 2008
Brno, 20. března 2008 2
Obsah
 Multinomické rozdělění
 Testy dobré shody při známých parametrech
 Testy dobré shody při neznámých parametrech
 Ověřování exponenciálního rozdělení
Brno, 20. března 2008 3
Multinomické rozdělení 1Multinomické rozdělení 1
 Mějme urnu a v ní kuličky k různých barev. Nechť pravděpodobnost vytažení
kuličky i-té barvy je rovna i = 1, 2, ... , k, přičemž
 Za těchto podmínek n-krát nezávisle na sobě vybereme (s vracením) po
jedné kuličce. Označme počet kuliček i-té barvy, které takto byly
vybrány. Je zřejmé, že sdružené rozdělení pravděpodobnosti náhodných
veličin je dáno vzorcem
pro
 Rozdělení dané vzorcem (2) se nazývá multinomické s parametry
pi
1 0 pik p1... pk=1.
X i
X 1, ... , X k
2 P X 1=x1 ,... , X k=xk =
n!
x1!... xk!
p1
x1
... pk
xk
xi=0,1,... ,n i=1,2 ,... , k , x1...xk=n
n , p1, ... , pk
Brno, 20. března 2008 4
Multinomické rozdělení 2
 Pro multinomické rozdělení platí, že všechna jeho marginální podmíněná
rozdělení jsou opět multinomická.
 Všechna jednorozměrná marginální rozdělení jsou binomická. ( má
binomické rozdělení s parametry n a )

 Jestliže má multinomické rozdělění (2), pak náhodná
veličina
má při asymptoticky rozdělení
X i
pi
EX i=npi , var X i=npi 1- pi , 1ik ,
cov X i , X j =-npi p j , 1i jk.
X = X i ,... , X k '
3 
2
=
i=1
k
 X i-npi
2
npi
n k-1
2
Brno, 20. března 2008 5
Multinomické rozdělení 3
 Vzorec (3) lze snadno upravit na tvar
který je vhodnější pro výpočet, avšak v praxi se dává přednost vzorci (3),
protože je z něj lépe vidět jakou měrou přispívá každý sčítanec k celkovému
součtu .

2
=
i=1
k
X i
2
npi
-n
2
Brno, 20. března 2008 6
Test dobré shody při známých
parametrech 1
 Předpokládejme, že výsledky pozorování byly uspořádány do k tříd
s četnostmi (empirické četnosti)
 Dále předpokládejme, že teoretické modelové rozdělení četností je
reprezentováno četnostmi (očekávané četnosti)
 Potom shodu mezi empirickým a teoretickým rozdělením posuzujeme
pomocí testovacího kriteria
 Tzv. Pearsonův Chí-kvadrát test
 Pro to aby se tato veličina řídila asymproticky chí-kvadrát rozdělěním o k-1
stupni volnosti je žádoucí aby n > 50.
X 1 ,... , X k
npi
3 
2
=
i=1
k
 X i-npi
2
npi
Brno, 20. března 2008 7
Test dobré shody při známých
parametrech 2
 Dále je nutné, aby pro teoretické četnosti platilo
 Nevyhovují-li některé četnosti této podmínce, lze dosáhnout jejího splnění
sloučením několika sousedních tříd. Tím se sníží počet stupňů volnosti,
neboť k je rovno počtu tříd po sloučení.
 Pokud pro hodnotu testovací statistiky platí
pak testovanou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti alpha.
npi5
2

2
k-1
Brno, 20. března 2008 8
Chí-kvadrát test dobré shody ­ příklad
se zmrzlinou
 Řetězec cukráren, který nabízí 4 druhy zmrzliny otevřel provozovnu v nové
lokalitě. Ve stávajících provozovnách řetězce byla dosud struktura prodeje
podle druhů zmrzliny následující: vanilková 62%, čokoládová 18%, jahodová
12%, pistáciová 8%. Po otevření provozovny v nové lokalitě máme záznam
o následujícím prodeji: vanilková 120, čokoládová 40 jahodová 18,
pistáciová 22.
 Vyjádřete se pomocí statistického testu ke shodě či odlišnosti struktury
prodeje v nové lokalitě oproti dosavadním prodejům řetězce.
Brno, 20. března 2008 9
Příklad se zmrzlinou - řešení
 Pro získání očekávaných četností u prodeje zmrzliny (při platnosti stávající
struktury prodeje pro novou lokalitu) aplikujeme dosavadní strukturu prodeje
na celkové prodané množství v nové lokalitě (kde je prodáno celkem 200
kusů zmrzliny):
 Např. u vanilkové: očekávaná četnost při 200 prodaných kusech = 62% *
200 = 134 kusů
 Tyto očekávané četnosti konfrontujeme se skutečně pozorovanými (chíkvadrát
test dobré shody), výpočet testového kritéria:

2
=
i=1
k
 X i-npi
2
npi
=...=4,32
Brno, 20. března 2008 10
Výpočet je naznačen v následující tabulce:
Příklad se zmrzlinou ­ řešení
vanilková čokoládová jahodová pistáciová 
strukturaprodeje 62% 18% 12% 8% 100%
nováprovozovna 120 40 18 22 200
oč.přistejnéstruktuře 124 36 24 16 200
chi-square: 0,13 0,44 1,50 2,25 4,32
Brno, 20. března 2008 11
Příklad se zmrzlinou - řešení
 Spočtenou hodnotu testového kritéria porovnáme s příslušným kvantilem rozdělení
2 s (k-1), tedy se 3 stupni volnosti. Pro 5% hladinu významnosti půjde o kvantil
2
(1-), tedy o kvantil 2
0,95 = 7,82
 Spočtená hodnota testového kritéria (4,32) nepřekračuje mez vymezující kritický
obor (7,82), nachází se v oboru přijetí a na zvolené 5%ní hladině významnosti
hypotézu o shodě struktury prodeje nezamítáme.
Brno, 20. března 2008 12
Testy dobré shody při neznámých
parametrech
 V praxi se často stává, že pravděpodobnosti uvažovaného
multinomického rozdělení závisejí na nějakých neznámých parametrech
. Vzniká pak problém jak pozměnit testovací kritérium, aby se hodilo
i na tento příklad.
 Nabízí se možnost tyto parametry odhadnout, odtud získat i odhady pro
pravděpodobnosti a do vzorce (3) pak dosadit tyto odhady.
 Lze očekávat, že pak rozdělení chí-kvadtrát bude mít o tolik stupňů volnosti
méně, kolik parametrů jsme museli odhadovat.
p1 ,... , pk
a1 ,... ,am
p1 ,... , pk
Brno, 20. března 2008 13
Testy dobré shody při neznámých
parametrech
 Označme . Předpokládejme, že jsou
dostatečně hladké funkce proměnné a . Protože platí pro každé a
derivováním dostaneme
 Nyní vzniká problém, jakým způsobem pořídit odhady parametru a. Jedna
možnost spočívá v tom, že se za odhad vezme ta hodnota a, která při
daných veličinách minimalizuje ve vzorci (3)
 Jedná se o jakousi analogii metody nejmenších čtverců. Říkáme, že jde o
odhad parametru a pořízený metodou minimálního
a=a1 ,... ,am' p1= p1a,... , pk= pk a
4 p1a...Pk a=1,
5
 p1a
a j
...
 pk a
a j
=0 j=1,2 ,... ,m.
X 1 ,... , X k
2

2
Brno, 20. března 2008 14
Testy dobré shody při neznámých
parametrech
 Po derivaci vzorce (3) dostaneme tuto soustavu rovnic
 Ukazuje se, že vliv druhého členu v (6) při velkém n není příliš podstatný,
takže řešení soustavy rovnic
se příliš neliší od řešení soustavy (6). Vzhledem k (5) lze soustavu (7) upravit
na tvar
7 
i=1
k
X i-npi a
pi a
 pi a
a j
=0, j=1,2 ,... ,m ,
6 -
1
2

2
a j
=
i=1
k
{X i-npi a
pi a

[ X i-npi a]
2
2npi
2
a } pi a
a j
=0, j=1,2 ,... ,m.
8 
i=1
k
X i
pi a
 pi a
a j
=0, j=1,2 ,... ,m.
Brno, 20. března 2008 15
Testy dobré shody při neznámých
parametrech
 Řešením soustavy (8) je tzv. odhad parametru a modifikovanou metodou
minimálního
 Věta: Budiž dáno k funkcí
Předpokládejme, že Nechť pro všechny body a nedegenerovaného
konečného uzavřeného intervalu A z platí:
1.
2. Existuje takové c > 0, že
3. Každá funkce má spojité derivace
4. Matice má hodnost m.
Nechť je vnitřním bodem A. Označme

2
p1a,... , pk a, kde a=a1, ... ,am' .
mk-1.
Rm
p1a... pk a=1
pi ac pro i=1,2 ,... ,k.
pi a
 pi a/a j a 2
pi a/a j as  j , s=1,2 ,... ,m
 pi a/a j i=1, j=1
k ,m
a
0
pi
0
= pi a
0
.
Brno, 20. března 2008 16
Testy dobré shody při neznámých
parametrech
Nechť má multinomické rozdělení s parametry
Pak soustava rovnic (8) má právě jeden kořen a takový, že a konverguje k
podle pravděpodobnosti při . Dosadíme-li tento kořen do výrazu
má veličina asymptoticky rozdělení chí-kvadrát s k ­ m - 1 stupni
volnosti.
Důkaz: například v Andělovi (Matematická statistika)
 Tato věta se používá hlavně k ověřování typu rozdělění a při hodnocení
kontigenčních tabulek.
X = X 1 ,... , X k ' n , p1
0,
... , pk
0
.
a
0
n

2
=
i=1
k
[ X i-npi a]
2
npi a
,
2
při n
Brno, 20. března 2008 17
Ověřování exponenciálního
rozdělení
 Chceme ověřit, zda daný výběr pochází z exponenciálního rozdělení s
hustotou
kde  > 0 je neznámý parametr. Položme je
vhodně zvolená délka třídy. Nechť . Máme třídy
jejichž četnosti nechť jsou ; opět položíme
 Pravděpodobnost, že jednotka padne do i-té třídy, je rovna
9 f x=
1

e-x/
pro x0,
bi=ih ,i=0,1,... ,k-1kdeh0
bk=
10  0,b1 ,b1, b2 ,... ,bk-2 ,bk-1 , bk-1 ,
X 1 ,... , X k X 1... X k=n.
11 pi=e
-bi -1/
-e
-bi/
, i=1, 2,... , k.
Brno, 20. března 2008 18
Ověřování exponenciálního
rozdělění
 Položíme- li , máme
 Rovnice (8) má pak tvar
Odtud
e-
=0
d pi
d
=
1
2
bi-1 e
-bi-1/
-bi e
-bi /
, i=1, 2,... ,k.
1

2 
i=1
k
X i
bi-1 e
-bi-1/
-bi e
-bi/
e
-bi-1/
-e
-bi/
=0.

i=1
k
X i
bi-1-bi e
-bi-1-bi/
1-e
bi-1-bi/
=0.
Brno, 20. března 2008 19
Ověřování exponenciálního
rozdělení
 Dosazením za dostaneme
 Označme
 Pak máme
 Takže
bi
e-h/
=
hX 22hX3...k-1hX k
hX 12hX2...khX k-hXk
.
12 X =hX 12hX2...khX k /n.
e-h/
=
n X -nh
n X -hX k
,
13 =-h/ln
n X -nh
n X -hX k
.
Brno, 20. března 2008 20
Ověřování exponenciálního
rozdělení
 Hodnotu  z (13) dosadíme do (11) a vypočteme
 V případě zamítneme hypotézu o exponenciálním rozdělení na
hladině, která je asymptoticky rovna
14 
2
=
i=1
k
 X i-npi 
2
npi

2
k-2
2


Brno, 20. března 2008 21
Literatura
 Anděl J., Matematická statistika, SNTL, Praha, 1978
 Zvára K., Štěpán J., Pravděpodobnost a matematická statistika,
MATFYZPRESS,Praha, 2001