Oceňování opcí Lenka Křivánková Ústav matematiky a statistiky Janáčkovo nám. 2a Brno Oceňování opcí ­ p. 1/15 Obsah * Opce * Modely oceňování opcí * Brownův pohyb * Geometrický Brownův pohyb Oceňování opcí ­ p. 2/15 Opce Opce je právo koupit nebo prodat za (resp. po) určitý čas konkrétní množství aktiv (akcií, deviz, obligací) za stanovenou opční cenu. Opce call (kupní opce) - držitel opce má právo koupit a upisovatel povinnost prodat podkladové aktivum za předem sjednaných podmínek Opce put (prodejní opce) - držitel opce má právo prodat a upisovatel povinnost koupit podkladové aktivum za předem sjednaných podmínek Oceňování opcí ­ p. 3/15 Opce Příklad: Držitel evropské call opce má právo zakoupit v den splatnosti opce jednu akcii A za cenu 250,- Kč. Jakou hodnotu má nyní tato opce? Řešení: Předpokládejme, že v den vypršení opce, mohou nastat dvě rozdílné situace. Cena akcie A může vzrůst na 270,- Kč nebo naopak poklesnout na 230,- Kč. V prvním případě držitel opce uplatní své právo a zakoupí akcii A za předem dohodnutou cenu 250,- Kč. Tím okamžitě získá 20,- Kč, neboť akcie A může být na trhu prodána za svoji aktuální cenu 270,- Kč. V druhém případě nebude pro držitele opce rozumné opci uplatnit. Oceňování opcí ­ p. 4/15 Opce Pokud budeme navíc předpokládat, že pokles, respektive růst, ceny akcie A v den vypršení opce má stejnou pravděpodobnost, pak očekávaný zisk bude 1 2 0 + 1 2 20 = 10 Jestliže situaci dále zjednodušíme a budeme ignorovat úrokové míry, můžeme částku 10,- Kč považovat za rozumnou pro ocenění uvažované opce. Oceňování opcí ­ p. 5/15 Opce Z předchozího příkladu můžeme odvodit některé z následujících vztahů pro cenu opce: call put cena podkladového aktiva realizačni cena opce zbývající čas do expirace volatilita (rizikovost) úroková míra Oceňování opcí ­ p. 6/15 Opce Modely oceňování opcí Binomický model - diskrétní model Black-Scholesův model - spojitý model Oceňování opcí ­ p. 7/15 Brownův pohyb Definice: Spojitý stochastický proces {Bt : 0 t < T} se nazývá standardní Brownův pohyb v [0,T), jestliže má následující čtyři vlastnosti: (i) B0 = 0. (ii) Přírůstky Bt jsou nezávislé; to jest, pro každou konečnou množinu časů 0 t1 < t2 < < tn < T jsou náhodné proměnné Bt2 - Bt1 , Bt2 - Bt3 , . . . , Btn - Btn-1 nezávislé. (iii) Pro každé 0 s t < T má přírůstek Bt - Bs Gaussovo (normální) rozložení se střední hodnotou 0 a rozptylem t - s. (iv) Pro všechna je Bt() spojitá funkce t s pravděpodobností jedna. Oceňování opcí ­ p. 8/15 Brownův pohyb 0.25 0.02 0.0 0.5 0.01 0.0 1.00.75 -0.01 -0.02 Brownův pohyb Oceňování opcí ­ p. 9/15 Brownův pohyb Brownův pohyb s driftem Wt = Bt + t, kde je konstanta (odrážející nominální růst). Oceňování opcí ­ p. 10/15 Geometrický Brownův pohyb Definice: Jestliže {X(t), t 0} je Brownův pohyb, pak stochastický proces {Y (t), t 0}, definovaný Y (t) = eX(t) , se nazývá geometrický Brownův pohyb. Poznámka: Uvažujeme-li standardní Brownův pohyb {X(t) : 0 t < T}, pak náhodná veličina X(t) má střední hodnotou 0 a rozptyl t, a proto je její hustota ft(x) = 1 2t e-x2 /2t . Oceňování opcí ­ p. 11/15 Geometrický Brownův pohyb 0.025 0.10.075 1.01 0.0 1.0 1.015 0.05 1.005 Geometrický Brownův pohyb Oceňování opcí ­ p. 12/15 Geometrický Brownův pohyb Příklad: Hodnota opce Mějme opci ke koupi (v čase T v budoucnu) jedné akcie v pevné ceně K. Předpokládejme, že současná hodnota akcie je y a že její cena se mění podle geometrického Brownova pohybu. Vypočítáme očekávanou hodnotu vlastněné opce. Protože opce bude uplatněna, jestliže cena akcie v čase T je K nebo vyšší, její očekávaná hodnota je E[max(Y (t) - K, 0)] = 0 P{Y (T) - K > a}da = 0 P{yeX(T ) - K > a}da = 0 P X(T) > log K + a y da = 1 2T 0 log[(K+a)/y] e-x2 /2T dxda. Oceňování opcí ­ p. 13/15 Geometrický Brownův pohyb Předpokládejme, že jednotková cena daného aktiva v čase t je St. Uvažujme krátký časový okamžik dt, během kterého se cena aktiva změní na St + dSt. Návratnost dSt/St se skládá z deterministické části a z náhodné části: dSt St = dt + dBt, kde je míra průměrného růstu ceny aktiva (drift), označuje volatilitu aktiva a Bt je Brownův pohyb. Stochastický proces určený touto rovnicí je geometrický Brownův pohyb. Protože Brownův pohyb není diferencovatelný, nemůžeme tuto rovnici interpretovat jako obyčejnou diferenciální rovnici. K řesení stochastických diferenciálních rovnic se využívá Itôovo lemma. Oceňování opcí ­ p. 14/15 Literatura [1] Cipra T.: Finanční a pojistné vzorce, Grada Publishing, Praha 2006 [2] Wilmott P., Howison S., Dewynne J.: The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press, Cambridge 1995 [3] Křivánková L.: Stochastické procesy ve finanční matematice, Bakalářská práce, Brno 2007 [4] Vernerová L.: Modely oceňovanie opcií, Bakalárská práca, Brno 2007 [5] Lalley S.: Statistics 390/ Mathematical Finance 345 http://galton.uchicago.edu/ lalley/Courses/390/ Oceňování opcí ­ p. 15/15