Algebra 2
Jméno: ...
30.5.2007
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum (včetně semestrální písemky a DŮ) je 30
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení 
3odů.
3.
4.
(1Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 27k + 4, kde k G Z.
(b) ano -- ne Mezi čísly 1 až 50 existuje <p(<p(50)) = 8 primitivních kořenů modulo 50.
(c) ano -- ne Lineární kongruence ax = b (mod m), kde a, b G Z, m G N, má vždy řešení modulo
m, platí-li a \ b.
(d) ano -- ne Libovolná redukovaná soustava zbytků modulo číslo m obsahuje stejný počet
kvadratických zbytků a nezbytků modulo m.
(e) ano -- ne Diofantická rovnice x2
+ y2
= z2
s neznámými x, y, z G N má za předpokladu
(x, y, z) = 1 pouze konečně mnoho řešení.
(f) ano -- ne Výraz k2
-- 2 není pro žádné přirozené číslo k násobkem 13.
(g) ano -- ne Je-li m G N, pak pro každé přirozené číslo d takové, že d \ <p{m) existuje x G Z
řádu d modulo m.
(h) ano -- ne Každé přirozené číslo dává při dělení libovolnou mocninou 3 stejný zbytek jako
jeho ciferný součet.
(i) ano -- ne Jsou-li a, b, c G Z po dvou nesoudělná, pak jsou také nesoudělná.
(j) ano -- ne Grupa (Z^, ˇ) je cyklická pouze, je-li m prvočíslo.
(6 bodů) Dokažte, že 4 není primitivní kořen modulo žádné prvočíslo p.
(Návod: uvažte možné hodnoty řádu čísla 2 a vztah mezi řádem čísel 2 a 4).
(6 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n je číslo 22 n
dělitelné sedmi.
(6 bodů) Určete počet řešení kongruence x2
= 280 (mod 2295).
(Malá nápověda: modul je dělitelný třemi prvočísly).
(8 bodů) Učitel matematiky se zmínil, že dnes mají narozeniny obě jeho děti. Když se ho žáci
zeptali na jejich věk, odpověděl hádankou: ,,Součet trojnásobku druhé mocniny dceřina věku a
sedminásobku součinu věků obou dětí je o 16 větší než šestinásobek druhé mocniny synova věku."
Určete věk obou dětí (všechny možnosti).
6. (4 body) Kolik je přirozených čísel menších než 1000, která jsou nesoudělná s 35?