1
MATEMATICKMATEMATICKÁÁ
KARTOGRAFIEKARTOGRAFIE
RNDr. TomRNDr. Tomášáš ŘŘEZNEZNÍÍKK
2. dubna 20082. dubna 2008
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ÚÚvod do matematickvod do matematickéé kartografiekartografie
* Matematické a geometrické parametry kartografických děl
* Převod údajů z jedné referenční plochy do jiné
* Zkoumání deformací a jejich minimalizace
* Kartografické zobrazení ­ přiřazuje bodu ležícímu na jedné
referenční ploše polohu na druhé referenční ploše
* Kartografická projekce - Vznik geometrickou cestou, např.
promítáním (zpravidla promítáním koule do roviny
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
Tvar ZemTvar Zeměě a referena referenččnníí plochyplochy
* tvar Země je nepravidelný, nelze jej matematicky popsat
* formován zemskou tíží (výslednice odstředivé a gravitační síly)
Proto v geografii užíváme:
- geoid
- rotační elipsoid
- koule
- rovina
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
GeoidGeoid
* Hladinová plocha; zjednodušeně střední hladina
všech moří
* Nepravidelný tvar (ovlivněn rozložením hmot)
* Dnes znám průběh s přesností cca. 0,1 m (neustálá
snaha o zpřesnění)
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
RotaRotaččnníí elipsoidelipsoid
* Pravidelný tvar, málo se odchyluje od geoidu
* Možnost matematického vyjádření
* Normála k elipsoidu a tížnice ke geoidu nejsou
totožné ­ tzv. tížnicová odchylka
* V praxi užíváme 2 typy rotačních elipsoidů:
- zemský elipsoid
- referenční elipsoid
* trojosý elipsoid
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
SrovnSrovnáánníí geoidu a elipsoidgeoidu a elipsoidůů
2
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
NejznNejznáámměějjšíší elipsoidyelipsoidy
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
HlavnHlavníí parametry referenparametry referenččnníího elipsoiduho elipsoidu
* Hlavní poloosa a
* Vedlejší poloosa b
* Zploštění elipsoidu i
* První excentricita elipsoidu e
a ­ b a2 ­ b2
i = e2 =
a b2
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
Vliv ZP na výVliv ZP na výšškyky
tento úhel = tížnicová odchylka
elipsoidická výška
výška bodu od hladinové plochy
převýšení elipsoidu a geoidu
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
RovinaRovina
* Tečná rovina ve zvoleném bodě
* Malá území (20 × 20 km)
* Nulová křivost
* Mapy velkých měřítek
* Pro neúnosné zkreslení nelze použít pro mapy malých a
středních měřítek
* V matematické kartografii je rovina cílovou
zobrazovací plochou
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ReferenReferenččnníí koulekoule
* Konstantní křivost
* Jednodušší výpočty
* Mapy malých a středních měřítek
* Parametr: poloměr r
* Používá se zejména k:
- lokální nahrazení elipsoidu (cca.
300 × 300 km)
- globální nahrazení elipsoidu
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
SouSouřřadnicovadnicovéé soustavysoustavy
* Zeměpisné souřadnice (,)
* Geocentrická šířka 
* Redukovaná šířka 
* Pravoúhlé prostorové souřadnice (X, Y, Z)
3
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
GeocentrickGeocentrickáá a redukovana redukovanáá šíšířřkaka
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
SouSouřřadnadnéé soustavy na koulisoustavy na kouli
* Nejčastěji používáme:
- kartografické souřadnice (U, V)
- zeměpisné souřadnice (,)
* Více základních poledníků (Ferro, Greenwich,...)
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ZemZeměěpisnpisnéé a kartograficka kartografickéé sousouřřadniceadnice
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
PravoPravoúúhlhléé sousouřřadnice v rovinadnice v roviněě
Definujeme:
* počátek souřadnicového systému
* orientace os souřadnicového
systému
Adiční konstanty
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
PolPoláárnrníí sousouřřadnice v rovinadnice v roviněě
kartografickkartografickéého zobrazenho zobrazeníí
* Počátek se nemusí shodovat s počátkem pravoúhlých
souřadnic
*  = průvodič bodu, tj. euklidovská vzdálenost bodu od
počátku souřadnicového systému
KARTOGRAFICKÁ ZOBRAZENÍ
4
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
KartografickKartografickáá zobrazenzobrazeníí
Elipsoid , ,  kuželová zobrazení
Koule u,v
Kart. souřadnice Š, D x,y azimutální a válcová
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
KartografickKartografickáá zobrazenzobrazeníí
* Velké množství kartografických zobrazení
* Nejčastější kritéria klasifikace:
- podle kartografických zkreslení
- podle tvaru obrazu geografické sítě
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ZobrazenZobrazeníí dle kartografických zkreslendle kartografických zkresleníí
* Konformní (úhlojevné) zkreslení
Nezkreslují úhly, velké zkreslení ploch
* Ekvidistantní (délkojevné) zobrazení:
Nezkreslují délky v určitém směru. Neexistuje zobrazení,
které by nezkreslovalo délky ve všech směrech
* Ekvivalentní (plochojevné) zobrazení:
Nezkreslují plochy, velké zkreslení úhlů
* Vyrovnávací (kompenzační) zobrazení:
Zkreslují vše, snaha o minimalizaci jednotlivých zkreslení
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ZobrazenZobrazeníí dle kartografických zkreslendle kartografických zkresleníí
* Zobrazení z elipsoidu na kulovou plochu
* Jednoduchá zobrazení
* Nepravá zobrazení
* Polykónická zobrazení
* Polyedrická zobrazení
* Neklasifikovaná zobrazení
* Kartografická projekce ­ geometrickou cestou,
promítáním na rovinu či plášť válce (skupina
jednoduchých zobrazení)
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá a neprava nepraváá zobrazenzobrazeníí
* Jednoduchá zobrazení
- zobrazují na plochu rozvinutelnou do roviny
- kuželová, válcová, azimutální
* Nepravá zobrazení
- Snaha o eliminaci některých nevhodných
vlastností jednoduchých zobrazení
(rychlý růst zkreslení)
- nepravá kuželová (pseudokuželová) zobrazení
- nepravá válcová (pseudoválcová) zobrazení
- nepravá azimutální (pseudoazimutální) zobrazení
x = f (u)
y = g (v)
x = f (u,v)
y = g (u)
JednoduchJednoducháá zobrazenzobrazeníí
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
5
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
OstatnOstatníí zobrazenzobrazeníí
* Polykónická (mnohokuželová)
- nekonečný počet kuželů
- kužely jsou tečné, na každý z nich se zobrazí jedna
dotyková rovnoběžka
* Polyedrická (mnohostěnná)
- nový způsob zobrazení
- rozdělení zobrazovaného území na části, každá
část
* Neklasifikovaná
- ostatní zobrazení
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá kukužželovelováá zobrazenzobrazeníí
* tečný kužel = 1 nezkreslená (dotyková) rovnoběžka
* sečný kužel = 2 nezkreslené rovnoběžky
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá kukužželovelováá zobrazenzobrazeníí
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá kukužželovelováá zobrazenzobrazeníí
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá vváálcovlcováá zobrazenzobrazeníí
* tečný válec = 1 nezkreslená (dotyková) rovnoběžka
* sečný válec = 2 nezkreslené rovnoběžky
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoducháá azimutazimutáálnlníí zobrazenzobrazeníí
* zobrazení na tečnou rovinu
* nejmenší zkreslení v dotykovém bodě
* vhodné zejména pro mapy polárních oblastí
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
KuKužželovelovéé ekvidistantnekvidistantníí zobrazenzobrazeníí
válcové ekvidistantní zobrazeníkuželové ekvidistantní zobrazení
azimutální ekvidistantní zobrazení
KONKRÉTNÍ ZOBRAZENÍ
6
JednoduchJednoduchéé vváálcovlcovéé zobrazenzobrazeníí
* Ortogonální zobrazení
* pro velkoměřítkové mapy (Gaussovo, Cassini-
Soldnerovo)
* obrazem poledníků: úsečky, konstantní rozestupy
* obrazem rovnoběžek: úsečky, proměnné rozestupy
* obrazy všech rovnoběžek i poledníků stejně dlouhé
* symetrie poledníků/rovnoběžek vzhledem ke střednímu
poledníku - rovníku
* obraz zeměpisného pólu: úsečka nebo se pól vůbec
nezobrazí
CassiniCassini -- SoldnerovoSoldnerovo zobrazenzobrazeníí
* Válcové ekvidistantní zobrazení v transverzální poloze
* Použito jako základní kartografické zobrazení pro mapy
Stabilního katastru v měřítku 1:2880
* Válec se dotýkal referenční plochy v nezkresleném
poledníku.
* Nezkreslený poledník prochází středem území.
* Nevýhoda: není to konformní zobrazení, zkresluje úhly
* Rychlý růst zkreslení, celkem 11 souřadných systémů:
Čechy = Gusterberg,Morava = Svatý Štěpán
MercatorovoMercatorovo zobrazenzobrazeníí
* Válcové úhlojevné zobrazení v normální poloze
* Loxodroma se v něm zobrazuje jako přímka
* Dříve používáno v námořní navigaci, trasy
plaveb se stejným azimutem se zobrazovaly jako
úsečky
* Transverzální poloha: důležité v geodézii, známo
pod názvem Transverse
* Mercator (UTM zobrazení z elipsoidu na roviny,
odvozeno Gaussem).
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
GaussovoGaussovo zobrazenzobrazeníí
* Válcové konformní zobrazení v příčné poloze
* Přímé zobrazení z elipsoidu do roviny
* Válec v transverzální poloze
* Nezkreslený základní poledník
* Území zobrazeno po pásech (3° nebo 6°) - Krüger
* Každý pás do roviny zobrazován samostatně, má
vlastní souřadnicový systém.
* Obrazy rovnoběžek: paraboly
* V ČR především vojenské mapy
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
ZobrazenZobrazeníí UTMUTM
* Používáno pro vojenské účely.
* Základní zobrazení pro NATO.
* Osa x=>Northing, osa y=>Easting
* Od j<-80° a j=>84° zobrazeni nahrazeno UPS (Universal Polar
Stereographic projection)
* Dříve používáno s různými elipsoidy: Severní Amerika = Clarkův
elipsoid, Evropa = Hayfordův elipsoid
* V současnosti používán elipsoid WGS 84.
* Zkreslený základní poledník (m=0,9996) => zkreslení -40cm/km.
* 2 nezkreslené poledníky symetricky umístěné vzhledem k základnímu
* poledníku.
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
VVáálcovlcovéé projekceprojekce
* Gnómonická projekce
* Stereografická projekce
* Ortografická projekce
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
7
JednoduchJednoduchéé kukužželovelovéé zobrazenzobrazeníí -- KKřřovováákovokovo
* Jednoduchá zobrazení, zobrazují na plášť kužele.
* Použita pro velkoměřítkové mapy (kuželové konformní zobrazení)
* Obrazem poledníků úsečky, svírají menší úhly než ve skutečnosti
* Obrazy poledníků se stýkají se v obrazu pólu.
* Obrazy rovnoběžek: části koncentrických kružnic, střed v obrazu
* pólu.
* Symetrie vzhledem k poledníku, nikoliv vzhledem k rovníku.
* Délkové zkreslení roste v obou směrech od nezkreslené rovnoběžky,
a to nesymetricky.
* Obraz pólu: bod, část kružnice, nezobrazí se.
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
Orientace os:
* x k jihu
* y na západ
Dvojité zobrazení:
* elipsoid na kouli (Gaussovo)
* koule do roviny (Lambertovo)
JednoduchJednoduchéé kukužželovelovéé zobrazenzobrazeníí -- KKřřovováákovokovo
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
JednoduchJednoduchéé kukužželovelovéé zobrazenzobrazeníí -- KKřřovováákovokovo
Hodnota
meridiánové
konvergence v
ČR 7°
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
DDůůsledkysledky KKřřovováákovakova zobrazenzobrazeníí
Laboratoř geoinformatiky a kartografie, Masarykova univerzita
NepravNepraváá zobrazenzobrazeníí