1
KRIGING
geostatistické metody interpolace
Metoda krigování se často označuje akronymem BLUE (Best Linear
Unbiased Estimator ­ tedy nejlepší lineární nezkreslený odhad).
Výchozí podmínky krigování:
Vlastnosti krigování
Odhadovaná hodnota je vypočtena jako lineární kombinace
vstupních hodnot
Nezkreslený (nestranný) odhad značí, že průměrná chyba tohoto
odhadu je rovna nule
Odhad je nejlepší, protože je minimalizován rozptyl odhadu
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^  kde pro váhy platí =
=
n
i
i
1
1
0)^( =- ii zz
.min)^(
2
=- ii zz
Pokud prostorově závislá náhodná kolísání nejsou překryta
nekorelovaným šumem, potom může být semivariogram využit k určení
vah i potřebných pro interpolaci.
Procedura je podobná jako v případě metody vážených klouzavých
průměrů s tím rozdílem, že právě váhy jsou odhadnuty geostatistickými
metodami.
Váhy i jsou zvoleny tak, aby odhad byl nestranný a odhad rozptylu byl
menší, než jakákoliv jiná lineární kombinace pozorovaných hodnot
(minimální).
Vlastnosti krigování
Přitom pro minimální rozptyl hodnot platí výraz :
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
)(^ 0xz
=
=+
n
i
jjii xxxx
1
0 ),(),( 
),( ji xx semivariance proměnné z mezi body xi a xj.
Lagrangeův multiplikátor, který zajišťuje požadavek
minimalizace odchylek a zároveň podmínku, že suma vah je
rovna jedné.

PŘÍKLAD: Výpočet neznámé hodnoty v bodě metodou základního krigingu.
Postup řešení:
1. Na základě předem provedené strukturní analýzy použijeme vhodnou
strukturní funkci (např. sférický semivariogram) s příslušnými hodnotami
parametrů
2. Řešíme soustavu rovnic, kde jednotlivé členy mají následující význam:
bA =
A ­ matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů
b ­ vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným
 ­ vektor vah jednotlivých bodů
 ­ tzv. Lagrangeův člen
3. Soustavu rovnic řešíme pro váhy , tak, aby byla splněna podmínka
1= (proto je v soustavě použit člen )






=-


bA 1
Postup řešení:






















=












































1
.
.
.
.
.
.
*.
01...11
1...
...
...
...
1...
1...
0
20
10
2
1
21
22221
11211
nnnnnn
n
n










2
4. K určení hodnot semivariancí je zapotřebí vytvořit matici
vzdáleností mezi datovými body a vektor vzdáleností mezi měřenými
body a bodem predikovaným
5. Řešením soustavy rovnic získáme hodnoty vah  a hodnotu 
6. Vypočteme predikovanou hodnotu v bodě (i=0):
7. Vypočteme rozptyl odhadu:
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^ 
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
Z(xi=0) =4,560
e
2 = 4,008
Postup řešení:
* krigování s bodovým odhadem
* krigování s blokovým odhadem
* základní (ordinary) krigování
* jednoduché (simple) krigování
* univerzální krigování
* indikátorové krigování
* pravděpodobnostní krigování
* co-kriging
* lognormální krigování.
Typy krigování
Základní krigování (ordinary kriging)
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde  je neznámá hodnota trendu.
Jednoduché krigování (Simple kriging)
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde  je známá konstanta.
Univerzální krigování (Universal kriging)
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde (x) je deterministická funkce
Indikátorové krigování
( ) )( ii xxI  += kde  neznámá konstanta, (x)
autokorelovaná náhodná
proměnná a I(x) je binární
proměnná, která nabývá hodnot 0
nebo 1 - indikátor
Výsledkem odhadu je
pravděpodobnost překročení
určité prahové hodnoty
3
Pravděpodobnostní krigování (probalility kriging)
( ) )())(( 111 xcxZIxI  +=>= ( ) )(22 xxZ  +=
kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty. I(x) je binární proměnná vytvořená
indikátorovým prahováním (I(Z(x) > c1) a 1(x) a 2(x) jsou dvě náhodné
chyby.
Co-kriging
Proměnné z1 a z2 vykazují prostorovou korelaci.
Proměnná z2 je snáze získatelná
Hodnot proměnné z2 je využito k interpolaci hodnot proměnné z1.
Základní co-kriging využívá následujících modelů:
( ) )(111 xxZ  +=
( ) )(222 xxZ  +=
kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty a 1(x) a 2(x) dvě náhodné chyby.
Blokový odhad při základním krigování
(Block kriging)
Hodnocení a verifikace modelů
Krigování jako interpolační metoda umožňuje pro každý
interpolovaný bod odhadnout potenciální velikost chyby odhadu.
Mapy druhé mocniny
tzv. směrodatné chyby (odchylky) krigingu (Standard error map),
2
e
Mají-li chyby predikce normální rozdělení, potom 95% interval
spolehlivosti predikovaných hodnot lze určit z následujícího
vztahu:
2
0 96,1)( exZ 
kde Z(x0) je odhad hodnoty proměnné z v bodě x0 a e
2 je rozptyl
odhadu.
Při opakovaném použití stejného modelu padne 95 % odhadovaných
hodnot do uvedeného intervalu
Probability map
Pravděpodobnost, že predikovaná hodnota bude větší než prahová
hodnota - např. 1.
Při konstantní prahové hodnotě se její pravděpodobnost výskytu pro
jednotlivé body mění ­ tedy lze z ní vytvořit mapu pravděpodobností
(probability map).
Quantile map
Určení kvantilu s např. 5 procentní pravděpodobností výskytu.
Při konstantní pravděpodobnosti se budou měnit hodnoty kvantilů a lze je
opět prezentovat ve formě kvantilové mapy (quantile map).
4
Křížová validace modelu
Jednotlivé body měření (červené) jsou po jednom postupně vynechány ze
vstupní množiny dat
Ze zbývajících (modrých) je vypočtena hodnota v místě vynechaného bodu.
Následně jsou porovnány pozorované a vypočtené hodnoty
Validace modelu
Vstupní soubor měřených hodnot rozdělí na dvě části ­ data trénovací a
testovací.
Trénovací množina dat se použije pro odhad trendu a autokorelačního
modelu.
Pokud sestavený model vyhovuje trénovacím datům, je ověřen na datech
testovacích.
Korelační pole měřených a predikovaných hodnot
Obecnou vlastností krigingu jako interpolační metody je podhodnocení
vysokých hodnot a naopak nadhodnocení hodnot nízkých.
Sumární statistika rozdílů pozorovaných
a vypočtených hodnot
Rozdíly pozorovaných a vypočtených hodnot lze hodnotit dále
uvedenými měrami:
MPE ­ mean prediction error - průměr rozdílů měřených a předikovaných
hodnot - hodnoty chyb odhadů by měly být nestranné ­ tedy jejich průměr by se
měl rovnat nule.
n
xzxZ
MPE
n
i
ii=
=
1
))()(^(
RMSPE (root mean square prediction error) ­ druhá odmocnina průměrného
čtverce vzdálenosti vypočtených hodnot od teoretických. Slouží k porovnání
několika různých modelů. Čím menší je RMSPE, tím vhodnější je model (tím
bližší jsou vypočtené hodnoty hodnotám měřeným).
n
xzxZ
RMSPE
n
i
ii=
=
1
2
))()(^(