III. Tepelné fluktuace: lineární oscilátor KOTLÁŘSKÁ 4. BŘEZNA 2009 Úvodem • Podruhé bez Planckovy konstanty • Molekulární chaos: Fluktuace a stochastická dynamika • Dvě cesty: ª výpočet středních hodnot ª přímá simulace jednotlivých realizací náhodných procesů ª most: ergodické chování systému v termostatu • Hlavní formální prostředek dnes: Langevinova rovnice -- prototyp stochastických diferenciálních rovnic Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus Ergodičnost Rovnovážné systémy jsou zvláštní. Jsou na konci cesty, všechna vnitřní napětí v systému se vyrovnají a nastane zdánlivý klid. Pod ním však kolotá věčný molekulární chaos. Jeho nahodilost se řídí přísnými zákony. Ať se děje co děje, globální rovnováha nakonec nesmí být porušena. Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Bližší pohled na odvození z přednášky Ergodičnost a molekulární chaos Tlak v plynu a jeho fluktuace V elementární kinetické teorii se odvozuje výraz pro tlak plynu, který vede ke stavové rovnici. Na malou plošku působí tlaková síla, která však kolísá – podléhá fluktuacím. Ta bude hnací silou pro chaotický pohyb mesoskopických objektů. Tři příklady mesoskopických systémů Naše volba pro konkrétnost představy Naše volba pro konkrétnost představy Naše volba pro konkrétnost představy Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Langevinova rovnice Jednoduchá myšlenka: Na mesoskopickou částici působí fluktuující síla ze strany molekul termostatu. Pro chaotický pohyb mesoskopických částic můžeme napsat pohybovou rovnici. Vypadá jako mikroskopická, ale není – náhodná Langevinova síla je zavedena fenomenologicky. Langevinova rovnice Langevinova rovnice Langevinova rovnice Langevinova rovnice I. Původně použita na volnou Brownovu částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro krátké časy se projeví inerciální efekty Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice II. Pro lineární oscilátor je řešení pomocí středovacích procedur také možné. My se soustředíme na přímou simulaci, abychom napodobili Kapplerovy časové průběhy. Langevinova rovnice pro lineární oscilátor Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení Kořeny charakteristické rovnice Langevinova rovnice – Greenova funkce Langevinova rovnice – Greenova funkce Langevinova rovnice – Greenova funkce Langevinova rovnice – Greenova funkce Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Langevinova rovnice – náhodná síla Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Numerická integrace Ukázka Kapplerových měření Ukázka Kapplerových měření The end Systematický popis termických fluktuací Termostat z ideálního plynu Dynamický systém v rovnováze s termostatem Ekvipartiční teorém