Základy analytické geometrie v rovině a v prostoru
Základní poznatky
•   Parametrické rovnice přímky p v rovině, kdy přímka je určena bodem A = [01,02] a směrovým vektorem u= («1,1(2), jsou:
x    =    a\-\- u\t
y    =    C12 + u2t,        t e dt.
•   Parametrické rovnice přímky p v prostoru, je-li přímka určena bodem A = [ai, 02, as] a směrovým vektorem u= (ui,U2,us), jsou:
x    =    a\ -\- u\t
y    =    a2 + u2t,         t e dt
z      =      (Z3 + M3Í.
•   Parametrické rovnice úsečky AB, kde A = [ai, a2, 03] & B = [61, 62, M jsou:
x    =    ai + (61 — ai)t
ž/    =    a2 + (62 - a2)t,         t e [0,1]
z    =    a3 + (63 - a3)r.
•   Obecná rovnice přímky p určené bodem A = [ai, a2] a normálovým vektorem ň = (a, 6) má tvar
ai + by + c = 0.
Hodnotu konstanty c získáme tak, že do rovnice za proměnné x & y dosadíme souřadnice bodu A.
•   Kruh se středem O = [0,0] a poloměrem r je popsán nerovnicí
x   -\- y   < r .
V polárních souřadnicích je tento kruh popsán nerovnicemi
0<g<r,         0 < tp < 2tt.
•   Kruh se středem S = [si, S2] a poloměrem r je popsán nerovnicí
(x - si)2 + (y - s2)2 <r2.
•   Rovnice roviny určené bodem A a normálovým vektorem ň = (a, 6, c) má tvar
ai + by + cz + d = 0.
Hodnotu konstanty d získáme tak, že do rovnice za proměnné x, y a z dosadíme souřadnice bodu A.
•   Rotační válec, který má poloměr podstavy r, výšku v, střed dolní podstavy v počátku souřadnic a osu ležící na souřadnicové ose z, je popsán nerovnicemi
x2 +y2 < r2,         0 < z < v.
Ve válcových souřadnicích je tento válec popsán nerovnicemi
0 < g<r,        0<^<2tt,        0 <z <v.
1
•  Koule se středem O = [0,0, 0] a poloměrem r je popsána nerovnicí
x2 +y2 + z2 <r2.
Ve sférických souřadnicích je tato koule popsána nerovnicemi
0<g<r,        0 < <p < 2tt,         --<■&<-.
Ve válcových souřadnicích je tato koule popsána nerovnicemi
0 < g < r,        0 < 99 < 2ir,         —y r2 — g2 < z < \/r2 — g2.
•  Koule se středem S = [si, S2, S3] a poloměrem r je popsána nerovnicí
(x - Sl)2 + (y- s2)2 + (z - S3)2 < r2.
•  Rotační kužel s vrcholem v počátku, jehož podstavou je kruh x2 +y2 < r2 v rovině z = v je popsán nerovnicemi
v r
■ v x2 + y2 < z <
Příklady k procvičení
1.   Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici úsečky AB, kde A = [1,2], B = [—1, 3]. Směrový vektor úsečky s = AB = B — A= (—2,1). Parametrické rovnice úsečky AB pak jsou
x= 1 -2í,        y = 2 + ŕ,        t G [0,1].
Normálovým vektorem přímky Aß je např. vektor n = (1, 2). Obecná rovnice má tvar x+2y+c = 0, kde konstantu c získáme, když do této rovnice dosadíme např. souřadnice bodu A. Dostáváme 1.1 + 2.2 + c = 0. Rovnice přímky určené body A, B je tedy x + 2y — 5 = 0.
Úsečku AB popíšeme rovnicí
15                              r    -,   -,!
y = ~2X+ 2'      x e
2.   Napište rovnici úsečky AB, kde A = [2, 0, -1], B = [-1,1, 2].
V prostoru můžeme určit jen parametrické rovnice úsečky AB. Směrový vektor s = AB = B — A = (—3,1, 3). Rovnice úsečky jsou tedy
x = 2-3ŕ,        y = t,         z=-í + 3t,        t G [0,1].
3.   Pomocí nerovnic popište obdélník ABCD, kde A = [-1, -1], B = [2, -1], C = [2, 3] a L> = [-1, 3].
Platí
-1 <x < 2,        -1 < y < 3.
4.   Oběma způsoby popište oblast, která je ohraničená křivkami y = x, y = x2.
Platí
0 < x < 1,        x   < y < x.
Druhý způsob popisují nerovnice
0 < y < 1,        y <x < y/y.
2
5.   Oběma způsoby popište oblast, kterou je trojúhelník ABC, kde A
Trojúhelník je ohraničen přímkami y = ^x, y = — \x, y = 1.
První vyjádření:
0 < y < 1,        -2y < x < 2y.
Ve druhém případě musíme oblast rozdělit na dvě části:
-2 < x <0,        —x < y < 1
-     -   '           2           -
a
0 < x < 2,        -x < y < 1.
-     -   '         2           -
6.   Oběma způsoby popište oblast, kterou je lichoběžník O = [0,0], A
První vyjádření:
0 < x < 1,        0 < y < x + 1.
Při druhém vyjádření musíme oblast rozdělit na dvě části:
0 < y < 1,        0 < x < 1
a
l<ž/<2,       y -l <x <í.
7.   Znázorněte a vhodně popište oblasti, které jsou ohraničené křivkami:
a)  y = x — 4a y2 = 2x;
b)  x = 0, y = \x (x > 0), y = 4 - (x - l)2;
c)  y = TjX, y = 'Ix, xy = 2 (x > 0).
8.  V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S = [0,0] a poloměrem r = 2.
V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí x2 + y2 < 4. Máme tedy
-2 < x < 2,       -v^-x2 < y < \]<±-x2.
V polárních souřadnicích pak nerovnicemi
0 < q < 2,        0 < Lp < 2n.
9.  V polárních souřadnicích popište část mezikruží, která je popsána nerovnicemi 1 < x2 + y2 < 4, y > \x\.
V polárních souřadnicích je oblast popsána nerovnicemi
7T                          3-7T
10. V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S = [1,0] a poloměrem r = 1.
V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí (x — l)2 + y2 < 1. Máme tedy
0<x<2,        -Vl -(x-1)2 <y <^l-(x- l)2.
Nerovnici můžeme přepsat do tvaru x2 + y2 < 2x. Použijeme-li v ní polární souřadnice dostáváme
g < 2 cos (f        pro        -----< if < —.
[0,0], B= [2,1], C =[-2,1].
[1,0], B= [1,2], C =[0,1].
3
11.  V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S = [0, 2] a poloměrem r = 2. V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí x2 + (y — 2)2 < 4. Máme tedy
-2 < x < 2,        2 - v^-x2 < y < 2 + v^-x2.
Nerovnici můžeme přepsat do tvaru x2 + y2 < Ay. Použijeme-li v ní polární souřadnice dostáváme
g < 4 sin <p        pro        0 < <p < n.
12.  V kartézských souřadnicích popište kvádr ABCDA'B'C'D', kde A = [1,0,-1], B =  [2,0,-1], C= [2,2,-1], A' =[1,0, 3].
Kvádr je popsán nerovnicemi
1 <x < 2,        0 <y <2,        -1 < z < 3.
13.   Popište oblast, která je v prvním oktantu ohraničena plochami
\Jx2 + y2 < z < 2,        x = 0,        ž/ = 0.
Z první nerovnice dostáváme x2 + y2 < z2 a dále z < 2. Pak platí x2 + y2 < 4, odkud vzhledem k x > 0, y > 0 dostaneme, že0<x<2, 0 < y < a/4 — x2.
Oblast je popsána nerovnicemi
0<x<2,        0<y< a/4-x2,         Va;2 + ž/2 < -2 < 2.
14.   Popište těleso, které je ohraničeno plochami z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2, y = x a y
Těleso je ohraničené rotačními paraboloidy z = x2 + y2 a z = 2x2 + 2y2, rovinou y plochou y = x2. Průmět tělesa do roviny xy je obrazec ohraničený parabolou y = y = x. Těleso popisují nerovnice
0 < x < 1,        x2<y<x,        x2 +y2 < z < 2x2 + 2y2.
15.  Ve válcových souřadnicích popište kužel, jehož vrchol leží v počátku soustavy souřadnic a jehož osa leží v ose z. Nechť R je poloměr podstavy a h výška kužele.
Zobrazíme-li např. řez kužele rovinou xz, vidíme, že na základě podobnosti trojúhelníků platí ft = Jr, tedy g = j-z. Dostáváme
0 <<p < 2tt,        0 < g< —z,        0 < z < h.
O
= XZ.
válcovou = x2 a přímkou
4