Dvojný integrál
1. Vypočtěte JJAx2y dxdy, kde množina A je obdélník s vrcholy B = [0,1], C = [2,1], D = [2, 2] a
E =[0,2].
Vidíme, že platí 0<x<2al<y<2. Dostáváme
x y dxdy =         dx       x y dy =
A                      Jo         Jí                   Jo
yy
dx =   I    { 2xz
i            ./o
dx =
' dx =
= 4.
Mohli bychom ovšem řešit i takto
• 2            ň                          1-2
x y dxdy =  j    dy       x y dx -
-y
dy
i   3
ydy
;V
16      4
Vzhledem k tomu, že integrační oblast je obdélník a integrovaná funkce je tvaru f (x, y) = g(x)h(y), nejjednodušší způsob výpočtu je následující
x y dxdy =        x   dx ■        y dy = A                      Jo               Jí
3i2     r   2"i2 1       V
!■>-;:-<•
2. Vypočtěte ffA (2x + y) dxdy, kde množina A je lichoběžník určený přímkami x = í, x = 2, y = 1
a y = Ax
Vidíme, že platí l<x<2al<y< Ax. Dostáváme
(2x + y) dxdy =   I    dx         (2x + y) dy =
A                               Ji         Ji                              Ji
2xy
4x
dx =   I    I 8xz + 8xz — 2x — — } dx =
l^x3 _x2_  1    '
3 X      X       2X
203 ~6~'
3. Vypočtěte J"J^ (x2 + y) dxdy, kde množina A je uzavřená a ohraničená parabolou y = x2 a přímkou ž/ = x.
Vidíme, že platí Q < x <\ & x2 <y < x. Dostáváme
{x   + y) dxdy =        dx        (x   + y) dy =
A                               Jo         Jx2                           Jo
2     ,   V x y+ y

dx =  I    ix3 + —----x4-----
*/^        I     (X*/^
o
7 60'
4. Vypočtěte J"J^ % dxdy, kde množina A je ohraničená křivkami y = x, x = 2 a, xy = í.
Načrtneme-li si zadané křivky, vidíme, že platí l<i<2a-<j/<i. Integrovaná funkce je na oblasti A spojitá. Dostáváme
A V
f          fx x               f         x                       f
dxdy =         dx        —^dy=          ------dx =        (—x + x ) dx =
*/J_             */ —     y                    ''X               t/       —                  *J í.
x
"Y
x
1
5. Vypočtěte JJAy2 sin x dxdy, kde množina A je uzavřená a ohraničená osou x a grafem funkce y = 1 + cos x pro 0 < x < n.
/•7T              />l+cosa;
y  sin x dxdy =         dx                y  sin x dy =
A                                    JO            JO                                            JO
- siní
l + COS X
dx = —  I    (1+cosx)  sinxdx =
11 + COS X = 11 =
ŕ dt =
6. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného obloukem hyperboly xy = 1 a přímkou 2x + 2y = 5.
Nejprve určíme průsečíky přímky a hyperboly. Platí y = -, a tedy 2x + - = 5. Řešíme kvadratickou rovnici 2x2 — 5x + 2 = 0, která má kořeny ij=2a i2 = |- Křivky se tedy protnou v bodech [2, ^]
a [i, 2].
Pro obsah obrazce pak dostáváme
	ľ ľ	f2         ľ\-x
s =	/ /   dxdy =	\    dx
	J Ja	■h    -'L
dy
2        s_x                     ,-1
[y] \xd,x--
5        x?
-x----------In
2         2
"5	1"
2~Jj~x_	
	2       15
x	oo|
dx
2 In 2.
Možné příklady do cvičení
1.   Vypočtěte JJA xy dxdy, kde množina A je trojúhelník s vrcholy A = [—2,0], B = [2,0] a C = [0, 2]. Výsledek 0 (dá se odvodit úvahou).
2.   Vypočtěte JJA {x? + y2 — 2x — 2y + 4) dxdy, kde množina A je čverec s vrcholy A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 2} a D = [0, 2]. Výsledek 10§.
3.   Vypočtěte ffAx siny dxdy, kde množina A je ohraničena přímkami y = 0, t/=|, i = 0ai=l. Výsledek ^.
4.   Vypočtěte //A xy2 dxdy, kde množina A je lichoběžník ohraničený přímkami y = — í, y = x, x = 0 a x = 2. Výsledek 2|.
Transformace dvojných integrálů
1. Vypočtěte ffA x3y2 dxdy, kde A je kruh x2 + y2 < a?.
Zavedením polárních souřadnic dostaneme pro množinu A : 0 < g < a, 0 < íp < 2n. Odtud máme
/•a             /'2tt                                                                  /'a                       /'2tt
x3y2 dxdy =   I    dg I      g3 cos3 <p g2 sin  <pd<p =   I    g5 dg ■          cos3 <p sin  <p dip
A                              Jo          Jo                                                           Jo                   Jo
a        ,.2-k
cos (f (sin2 (f — sin4 tp) dtp = \ sin <p = t\ = — •  /    (t2 — t4) dt = 0.
' J o   -'o                                                                              «Jo
Výsledek bylo možno odhadnout, uvědomíme-li si geometrický význam počítaného integrálu. 2. Vypočtěte JJA (x2 + y2) dxdy, kde pro oblast A platí 1 < x2 + y2 < 4, y > |x|. Zavedením polárních souřadnic dostaneme pro množinu A : 1 < g < 2, j < f < 3f--Odtud máme
(x   + y ) dxdy =        g  dg ■
(cos2 (f + sin  (p) dip =
r   t¥       15
2
3. Vypočtěte JJA \J\ — x2 — y2 dxdy, kde oblast A je čtvrtinou kruhu x? + y2 < 1 ležící v kvadrantu.
Zavedením polárních souřadnic dostaneme pro množinu A:0<g<í,0<ip<^.
Odtud máme
prvním
V 1 — x2 — y2 dxdy =   /    g\/í — g2 dg ■   /      dip = |1
A                                                   JO                                   JO
■ e*=t\ = -j   -±Vidt =
TY
6'
4. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného kružnicemi x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x a přímkami y = x a
y = o.
Křivky určující obrazec mají v polárních souřadnicích rovnice g2 = 2gcos<p, g2 = 4g cos 1,2, <p = j a <p = 0. Obrazec popisují nerovnosti 0 < <p < j, 2 008^ < g < 4 008^.
Pro obsah obrazce tedy platí
S =  II   dxdy
'a                Jo
řc°sv              1   íl i          9                 9   x              ; -          9
dep               gdg=-         (16cos  ip — 4cos  ip) dep =  /     6cos  ipdip-
J 2 cos cp
2 Jo 3 /     (1 + cos 2ip) dip = 3
ip + - sin 2^
o
,   7T       1\        3          3
3      - +  -     =  -7T+-.
4      2/       4        2
Příklady pro procvičení
1.   Vypočtěte JJ^ (x2 + y2) dxdy, kde pro oblast A platí 1 < x2 +y2 < 4, y > O, y < x. Výsledek j^tt.
2.   Vypočtěte JJAydxdy a f fAx dxdy, kde pro oblast A platí x2 + y2 < 4, y < x, y > —x. Výsledky
0,  resp. ^.
Trojný integrál
1. Vypočtěte trojný integrál fffv (x + y) dxdydz, kde množina V je krychle, pro kterou platí O < x <
1,  l <y <2 &0 <z <l.
(x + y) dxdydz =         dx        dy        (x + y) dz =         dx        [xz + yz]0 dy
1          p2                              ri
dx        (x + y) dy =
xy
dx =  j    ( 2x + 2 — x — —     dx =   /       x + 7: ) dx =
x2      3
2  +2:
= 2.
2. Vypočtěte trojný integrál fffv -% dxdydz, kde množina V^ je kvádr, pro který platí O < x < 2, l<ž/<2al<z<3.
/•2                 /»z                 /»o                                 /»z                 /»2
~2 dxdydz =         dx        dy        -^ dz =   i    dx
v V                     Jo         Ji        Ji   V             Jo         Ji
xz 7Š2
dx
2  /3x       i\   ,       ŕ   7     í2 2x  7       ^
-r-----ň ) dy =  /    «^ /    -r «ž/ =
i   Vž/        ž/ /            Jo        Ji   ŽT            Jo
2x
2                         -.2
dx =        (—x + 2x)dx =
dy =
= 2.
Protože oblast V je kvádr a integrovaná funkce je tvaru f(x,y,z) = gi(x)g2(y)g3(z), můžeme trojný integrál vyjádřit jako součin tří integrálů
3
ľ                       ľ        1                   ľ
-ň dxdydz =        xdx ■        —^dy-l    dz v V                   Jo            Ji   y         Ji
[4
2- (-- + !)• (3-1) = 2.
3. Vypočtěte trojný integrál jjjv xz dxdydz, kde pro množinu V platí 0 < x < 2, 0 < y < x a 0 < z < a/x + y.
xz dxdydz =  j    dx j     dy j          xzdz = —  j    dx        [xz ]          dy
o
o          ./o
dx        (x   + xy) dy =
2   ,   y x y + x—
dx =
o        Jo 1    '2
0           JO
dx =
1 dx =
= 3.
4. Vypočtěte trojný integrál ///y z dxdydz, kde množina V^ je ohraničena rovinami x + y + z = í, z = 0, y = 0 a x = 0.
Vidíme že platí 0<x<l,0<y<l—x*a0<z<1—x — y. Dostáváme
l-x
í-x-y                ^
z dxdydz =   I    dx I        dy I           z dz = —
v                    Jo        Jo           Jo                      2
i
dx
o        Jo
6 ./o
(1 -x-y)-
l-x
1
dx = —  I    (í — x)   dx o             dJo  {        '
l-x 1
"24
(l-x-y)   dy =
(í-x)4
i _   1 o ~ 24'
5. Vypočtěte trojný integrál JJJV (y + 2 z) dxdydz, kde pro množinu V platí 0 < x < 1, 0<y<2xa —y < z < x.
/•I            i>2x            ľx
(y + 2z) dxdydz =        dx         dy        (y + 2z) dz
V                               Jo        Jo         J-y
1          ľ2x                                       ľl          ľ2x                                                       ľl          ľ2x
21x      j„._    /      j„   /        /„.„,   ,   J2   ,   „.2       „,2\   j„._    /      j„   /        /„.„,   ,   „2^
y
dx /      [yz + z \_   dy =        dx         [yx -\- x   -\- y   — y ) dy =        dx         [yx + x ) dy =
o        Jo                          y             Jo        Jo                                                        Jo        Jo
y       ,     2 —x + x y
dx =
o               Jo
ľ1 (2x3 + 2x3) dx = /   4x3 dx = [x4] J = 1 Jo
6. Vypočtěte objem tělesa M, pro které platí 0 < x < 1, 0<y<2a,0<z<x+y
2   i   „,2
V =
ŕ    ŕ
dxdydz =   I    dx        dy
M                      Jo          Jo         JO
dz =        dx        (x   + y ) dy =
Jo         Jo                              Jo
„2 , y
2xz
dx =
yx
x3      8
2------h-x
3       3
dx = _ 10
~ Y'
Trojný integrál — příklady k procvičení
1.  Vypočtěte trojný integrál jjjv (7x + 2z) dxdydz, kde pro množinu V platí 0 < x < 1, x2 < y < x a 0 < z < xy. Výsledek ^.
2.  Vypočtěte trojný integrál JJJvxy2 z dxdydz, kde pro množinu V platí 0<x<l,0<y<la 0 < z < 1. Výsledek ^.
3.  Vypočtěte trojný integrál fffv xy"2 z dxdydz, kde pro množinu V platí 0 < x < 1, 0<y<xa 0 < z < xy. Výsledek ^.
4
Transformace trojných integrálů
1. Vypočtěte trojný integrál fffv (x2 + y2) dxdydz, kde pro množinu V platí x2 + y2 < 2z a z < 2.
Množina V představuje část rotačního paraboloidu x2 + y2 < 2z, který je shora seříznut rovinou z = 2, která je rovnoběžná s rovinou Oxy. Integrál transformujeme do válcových souřadnic. Pro
2
množinu V v těchto souřadnicích platí \ < z <2, 0 < (p < 2n. Dostáváme
(x   + y ) dxdydz =        g  dg          dip         dz = [ip]^  I     [z] ei  g  dg = 2n /    g     2
Jo            Jo           J 4-                     Jo        ^                     Jo        V
dg
= 2tt
Q_ 12
16tt ~3~'
Vypočtěte trojný integrál JJJV z\Jx2 + y2 dxdydz, kde pro množinu V^ platí 0<x<2, 0 < y < a/2x - x2 a 0 <z < 3.
Z nerovnice y < \j2x — x2 dostáváme po umocnění x2 + y2 — 2x < 0, a tedy (x — l)2 + y2 < 1. Vidíme, že integrační oblast je část válce (x — l)2 + y2 < 1 ohraničeného rovinami z = 0, z = 3 a y = 0. Použijeme tedy válcové souřadnice, pro které dostáváme 0 < g < 2 008^, 0 < <p < j a
z \Jx2 + y2 dxdydz =   / / /   g z dgdtpdz =   /      cry> v                                       JJJv                          Jo          Jo
2 cos (p
g  dg       z dz =
9  n
dip
2 cos y:
g  dg =
11 ľ [ňTSíP *p= 12 / • cos^#= 12± = 8.
Zde jsme použili integraci
cos3 xdx =  I     cos x
o                        ./o
(l — sin  x) dx = | sinx = t\ =  I    (l — t2) cří
3. Vypočtěte objem tělesa, které je ohraničeno plochami x2 +y2 + z2 = r2 a x2 + y2 = a2, kde a < r.
Naše těleso vznikne průnikem válce a koule. K řešení použijeme válcové souřadnice, ve kterých má válcová plocha rovnici g = a a kulová plocha rovnici g2 + z2 = r2. Pro objem tělesa dostáváme
dxdydz =
•2-K
g dgdipdz =   I      dip        g dg
V                      Jo           Jo           J-yfr'-Q-
Wr2 — Q2                       í>2tt             pa
_____ dz = 2           dip        g dg
2-n2                Jo            JO            JO
V~r
dz =
= 2
p2ir               pa         _________                                  pa         _________                                                             n r  —q
I      dip-   I    g^/r2 - g2 dg = 2 [<pf* ■  /    g^r2 - g2 dg = \r2 - g2 = t\ = -2n /           yjidt =
Jo               Jo                                                   Jo                                                                           Jr2
= rir
\/(r2 — a2)3
5