Křivkové integrály v rovině
•  Parametrické rovnice křivky budeme uvažovat ve tvaru
x = 'Pit),        V = V'(í),        t G [a,ß\.
•  Orientovat uzavřený interval [a, ß] znamená uspořádat jej podle velikosti jeho čísel nebo naopak.
•  Buď x = <pit)i y=-i/>(í), t G [a, ß] křivka. Nechť interval [a, ß] je uspořádán podle velikosti svých čísel. Přeneseme-li tuto orientaci na křivku, říkáme, že křivka je orientována souhlasně s daným parametrickým vyjádřením. Přeneseme-li na křivku opačné orientování intervalu [a,/3], říkáme, že křivka je orientována nesouhlasně s daným parametrickým vyjádřením.
• Křivkový integrál 1. druhu
f(x,y)ds=  f   f[fit),m]^/<P'2it) + ^2it)dt.
C                          Ja
•  Křivkový integrál 2. druhu
P(x,y)dx + Q(x,y)dy =   /   P(x,y)dx+  /   Q(x,y)dy, c                                         Je                     Je
kde
ŕ
P(x, y)dx = ±       P [f it), m] <p'(t) dt,
IC                               Ja
ŕ
Q(x,y)dy = ± /    Q[<p(t),mW(t)dt.
C                               Ja
Přitom znaménko + použijeme, je-li orientace křivky C souhlasná s daným parametrickým vyjádřením, znaménko — v případě opačném.
•  Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě.
Buďte P(x,y), Q(x,y), Py(x,y), Qx(x,y) funkce spojité na oblasti G. Jestliže platí Py(x,y) = Qxix, y) pro každý bod [x, y] G G, pak existuje funkce F(x, y) (tzv. kmenová) definovaná na oblasti G taková, že výraz P(x, y) dx + Q(x, y) dy je jejím totálním diferenciálem v každém bodě [x, y] G G. Potom fc Pix, y) dx + Q(x, y) dy nezávisí v oblasti G na integrační cestě a platí
ľ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F(B) - F(A),
c
kde A je počáteční a B koncový bod křivky C
1
Křivkový integrál v rovině
1. Vypočtěte fc (x + y) ds, kde C je úsečka x + y — 1 = 0, kde x G [0,1]. Křivku C parametrizujeme:
C : x = t,        y = -t + í,        t G [0,1].
Platí:
Máme tedy:
dx = dt,        dy = —dt,        ds = y l2 + ( — l)2 dt = y2dt.
(x + y)ds=        [t+(-t + í)]V2dt = V2        dt = a/2. Jc                      Jo                                           Jo
2. Vypočtěte fc (x + y) ds, kde C je tvořena hranami trojúhelníka s vrcholy A = [0,0], B = [1,0] a C =[0,1].
Křivku C parametrizujeme:
AB : x = t,        y = 0,        t G [0,1],
BC :x=í-t,        y = t,        í G [0,1],
CA:x = 0,        y=í-t,        t G [0,1].
Máme tedy:
(x + y) ds=       tdt+       V2dt+       (1 -1) dt
V2[t]l
í + Vž.
3. Vypočtěte Jc (x-2y+ 1) ds, kde C je úsečka AB, kde A = [4, 0], B = [í, í}.
Úsečka AB má směrový vektor například u = (—3,1), pak její parametrické rovnice jsou
C : x = 4-3ŕ,        y = t,        t G [0,1].
Platí:
dx = —?>dt,        dy = dt,        ds = \J(—3)2 + l2 dt = v 10 dt.
5í - -ť
Máme tedy:
(x-2y+í)ds=        (4-3Í-2Í + 1) VlOtíí = V10 /    (-5í + 5) dt = V10 c                              Jo                                                   Jo
4. Vypočtěte fc (4x + 3y — 3) ds, kde C je kružnice x2 + y2 = 9. Parametrické rovnice kružnice jsou
x = 3 cos í,        y = 3 sin í,        íg[0, 27r].
Platí:
dx = —3 sin í dí,        dy = 3 cos í dí,        ds = \/{—3siní)2 + (3cosí)2 dt = 3dt
Máme tedy:
/  (4x + 3y - 3) ds =   /   3 (12cosí + 9siní - 3) dt = 3 [12 sin í - 9cosí - 3í] ^ = -18tt. Jc                             Jo
10.
2
5.  Vypočtěte fc (x + y) dx — (x — y) dy, kde C je kružnice x1 + y2 = 4. Parametrické rovnice kružnice jsou
x = 2 cos t,        y = 2 sin t,        ís[0, 27r].
Máme tedy:
/•27T                                                                                                    /-27T
(x + y) dx — (x — y) dy =  I     2 (cost + siní) (—2 sin t) dt —  I     2 (cost — siní) (2 cos t) dt =
Jo                                                                   Jo
= -4 /      dt = -8tt. Jo
6.  Vypočtěte práci silového pole a = y\ — arf při přemisťování hmotného bodu po horní části elipsy ^ + ^ = 1 od bodu A = [3,0] do bodu B = [-3,0].
Parametrické rovnice části elipsy jsou
x = 3 cos t,        y = 2 sin t,        íg[0,7t].
Práce silového pole a = axľ+ ayfpo křivce C je dána křivkovým integrálem 2. druhu
W =   /   ax dx + ay dy. Je
Máme tedy:
f                                                    í'Tľ                                                                       í'lľ                                                                    í'lľ
W = j   ydx — xdy=  /    2 siní (—3 siní) dt —  /    3 cos t (2 cost) dt =  /    [—6sin2 t — 6cos21] dt = Je                       Jo                                   Jo                                  Jo
= —6 /     dt = — 6-7T.
Jo
Záporná hodnota práce signalizuje, že částice se pohybuje proti působení silového pole.
Křivkový integrál — příklady k procvičení
1.  Vypočtěte fc x2 ds, kde C je "horní" půlkružnice x2 + y2 = a2 pro y > 0. Výsledek ^-tt.
2.  Vypočtěte Jc ^_, kde C je úsečka AB, kde A = [0, -2] a B = [4,0]. Výsledek a/Š In 2.
3.  Vypočtěte fc xy ds, kde C je čtvrtina kružnice x2 + y2 = 4 v 1. kvadrantu. Výsledek 4.
4.  Vypočtěte fc y2 dx + x2 dy z bodu O = [0,0] do bodu B = [í, 1] po následujících křivkách: a) úsečka OB; b) část paraboly y = x2; c) část paraboly x = y2; d) lomená čára O AB, kde A = [í, 0].
Výsledky: a) §;, b) ^; c) ^; d) 1.
5.  Vypočtěte fc (2x — y) dx + xdy z bodu O = [0,0] do bodu A = [2,1] po následujících křivkách: a) úsečka OA; b) část paraboly x2 — Ay = 0.
Výsledky: a) 4;, b) f.
6.  Vypočtěte fc (x + y) dx — x dy, kde C je křivka \x\ + \y\ = 1 orientovaná kladně. Výsledek -4.
3
Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě
1. Vypočtěte Jc,2xydx + x2 dy z bodu A = [1,1] do bodu B = [2,4] po následujících křivkách: a) úsečka AB; b) část paraboly y = x2; c) lomená čára ACB, kde C = [2,1].
Funkce P(x,y) = 2xy a Q(x,y) = x2 i jejich derivace Py(x,y) = 2x a Qx(x,y) = 2x jsou funkce spojité na 3č2. Platí Py(x,y) = Qx(x,y) pro všechny body [x,y] G 3č2. Hodnota integrálu tedy nezávisí na integrační cestě.
Vypočtěme integrál např. po úsečce AB. Její parametrické rovnice jsou například x = í +t, y = 1 + 3í, kde t G [0,1]. Platí dx = dt a dy = 3dt, tedy
2xydx + x2dy=       2 (t + 1) (3r + 1) dt +  /   3 (t + l)2 dt =  /   (9t2 + 14r + 5) dt =
[3t3 + 7t2 + 5t]1 = 15.
Můžeme postupovat i tak, že hledáme kmenovou funkci F(x, y), pro kterou je výraz P(x, y) dx + Q(x, y) dy jejím totálním diferenciálem a tedy platí
Fx(x,y) = P(x,y)        a        Fy(x, y) = Q(x,y). Libovolnou z těchto rovnic integrujeme. Například integrací první rovnice podle x dostaneme
F(x,y) =      2xydx = x2y+ cp(y).
Parciální derivací této funkce podle proměnné y získáme funkci Fy, kterou ale známe
x2 +(fi'(y) = x2. Pak ip'(y) = 0 a tedy <p{y) = C. Pro kmenovou funkci dostáváme F(x, y) = x2y + C. Platí
í P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F(B) - F(A). ■Je
Dostáváme
/  2xy dx + x2dy = F(2, 4) - F(í, 1) = 16 - 1 = 15. Je
2. Vypočtěte Jc (3x2y + l) dx + (x3 — l) dy z bodu A = [0, 0] do bodu B = [2, 2], když křivka C je úsečka AB.
Funkce P(x, y) = (ßx2y + l) a Q(x, y) = (x3 — l) i jejich derivace Py(x, y) = 3x2 a Qx(x, y) = 3x2 jsou funkce spojité na 3č2. Platí Py(x, y) = Qx(x, y) pro všechny body [x, y] G 3č2. Hodnota integrálu tedy nezávisí na integrační cestě.
Hledáme kmenovou funkci F(x, y), pro kterou je výraz P(x, y) dx + Q(x, y) dy jejím totálním diferenciálem a tedy platí
Fx(x,y) = P(x,y)        a        Fy{x,y) = Q{x,y). Libovolnou z těchto rovnic integrujeme. Například integrací první rovnice podle x dostaneme
Parciální derivací této funkce podle proměnné y získáme funkci Fy, kterou ale známe
x3 + <f'(y) =x3 -1.
Pak ip'(y) = — 1 a tedy <p{y) = —y + C. Pro kmenovou funkci dostáváme F(x, y) = x3y + x — y + C. Platí
f P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F(B) - F(A). ■Jc
Dostáváme
(3x2y + 1) dx + (x3 - 1) dy = F{2, 2) - F(0,0) = 16 - 0 = 16.
c
4
3.  Vypočtěte Jc,2xydx + (x2 + l) dy, kde C je křivka x = cost, y = siní, t G [0, 2iť\ orientovaná kladně.
Funkce P(x,y) = 2xy a Q(x,y) = x2 + 1 i jejich derivace Py(x,y) = 2x a Qx(x,y) = 2x jsou funkce spojité na 3í2. Platí Py(x,y) = Qx(x,y) pro všechny body [x,y] G 3í2. Hodnota integrálu tedy nezávisí na integrační cestě, kterou je v tomto případě kružnice x2 + y2 = 1. Počáteční bod [1, 0] splývá s koncovým bodem.
Existuje kmenová funkce F(x,y) a platí
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F(B) - F (A).
c
Protože počáteční a koncový bod křivky splývají, je hodnota integrálu rovna 0.
4.  Vypočtěte fc (x — y) dx + x dy, kde C je kladně orientovaná křivka, kterou představuje obvod čtverce ABCD s vrcholy A = [2, 2], B = [-2, 2], C = [-2, -2} a D = [2, -2}.
Funkce P(x,y) = x — y a Q(x,y) = x i jejich derivace Py(x,y) = —1 a Qx(x,y) = 1 jsou funkce spojité na 3í2. Křivka C je uzavřená po částech hladká křivka v 3í2. Jsou splněny podmínky Greenovy věty a platí tedy (M je množina bodů uvnitř a na křivce C)
P(x,y)dx + Q(x,y)dy=   //    (Qx(x,y) - Py(x,y)) dxdy. c                                         J Jm
V našem případě
(x — y) dx + x dy =   / /    (1 + 1) dxdy = 2        dx        dy = 32.
ic                                 JJm                           J-1        J-1
Při výpočtu jsme užili skutečnosti, že dvojný integrál vyjadřuje obsah čtverce ABCD.
5. Pomocí Greenovy věty vypočtěte Jc,2xydx + (x2 + l) dy, kde C je křivka x = cost, y = siní, t G [0, 2n] orientovaná kladně.
Funkce P(x, y) = 2xy a Q (x, y) = x2 + 1 i jejich derivace Py(x, y) = 2x a Qx(x, y) = 2x jsou funkce spojité na 3í2. Křivka C je uzavřená po částech hladká křivka v 3í2. Jedná se o kružnici x2 +y2 = 1. Jsou splněny podmínky Greenovy věty a platí tedy (M je množina bodů uvnitř a na křivce C)
P(x,y)dx + Q(x,y)dy=   //    (Qx(x,y) - Py(x,y)) dxdy. c                                         JJm
V našem případě
/   2xy dx + {x   + l) dy =   / /    (2x — 2x) dxdy = 0. Je                                   JJm
6. Pomocí Greenovy věty vypočtěte fc (xy + x + y) dx+(xy + x — y) dy, kde C je kladně orientovaná křivka: a) x2 + y2 = x; b) x2 + y2 = 1. Výsledky ^, resp. 0.
Křivkový integrál v prostoru
1. Vypočtěte Jc (x + 2y - z - 1) ds, kde C je úsečka AB, kde A = [1,1, 2], B = [2,1,0].
Úsečka AB má směrový vektor například u = (1,0, —2), pak její parametrické rovnice jsou
C:x=í+t,        y=l,        z = 2-2t       t G [0,1]. Platí:
dx = dt,        dy = 0,        dz = -2dt,        ds = y/l2 + O2 + (-2)2 dt = VŠdt.
Máme tedy:
i                                                                         ri
/  (x + 2y-z-í) ds= /   (í+t + 2-2 + 2t-í)VŠdt = a/Š /   3tdt = V5 Jc                                    Jo                                                          Jo
ŕ-
2
3      r-
= -a/Š.
2
o      z
5
2. Vypočtěte fc x2z   2 ds, kde C je část šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at pro í G [0, 2tt]. Platí:
dx=—asinídí,         dy = acostdt,         dz = adt,         ds = -Ja2(sin  í + cos2 í) + a2 dí = \/2adí.
Máme tedy:
,2                                 /-27T ,,2+2                         rt3_,27r
j   —r,------ň «s = V 2a /      —-r- dt = v2a
Jex + y                  Jo    a
3
r-    87T3
= V2a—.
3. Vypočtěte práci silového pole a = x\ + 2k při přemisťování hmotného bodu po průnikové křivce válce ^ + ( = la roviny z = 2 z bodu A = [0, 3, 2] do bodu B = [2,0, 2]. Parametrické rovnice křivky jsou
7ľ
x = 2 cos t,         y = 3 sin t,         z = 2,         í £ [-,0],
Práce silového pole a = axľ+ ayf+ azk po křivce C je dána křivkovým integrálem 2. druhu
W =   /   ax dx -\- ay dy -\- az dz. 'c
Máme tedy:
,■                                           ,-0                                                            ,-0                                      ,-0                                    ,-0
W=      xdx + 2dz=       2cost (-2 sin t) dt+       0.3sinídí+/   2.0 dt=-2       sin 2í dí = 2 [cos 2í]
Křivkový integrál v prostoru — příklady pro procvičení
1. Vypočtěte Jc (x + z) ds, kde C je úsečka AB, kde A = [1, 0,1], B = [1,1, 2]. Výsledek ^.
Plošný integrál 1. druhu
1. Vypočtěte integrál JsxyzdS, kde S je část roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu (tedy pro x > 0, y > 0 a z > 0).
Plochu S* vyjádříme například takto: 0<x<í,0<y<í— x, z = f(x, y) = 1 — x — y. Platí
fx(x,y) = -1,         fy(x,y) = -1>         «^ = v7! + (-1)2 + (-1)2 áxt% = VŽdxdy.
Dostáváme
»1            /.l-X
/  xyz dá* = v 3 / /    xy (\ — x — y) dxdy = v 3 /    dx            xy (\ — x — y) dy =
J s                      JJm                                          Jo        Jo
120'
r-  /         y        xyz      yö                      r  /   x              3
= V 3 /    x   —-----------------—          dx = V3 /    — (1 - xj   dx = ... =
Jo         2         2         3 _ n                      Jo   6
2. Vypočtěte integrál („    , d,s     , kde S je část plochy z = xy vyťaté válcem x2 + y2 = 1.
\x<2jry2
Plochu S* vyjádříme například takto: z = f(x, y) = xy pro body oblasti M, kterou je kruh x2 +y2 = 1. Platí
fx(x,y)=y,         fy(x,y)=x,         dS = \Jl + x2 + y2 dxdy.
Plošný integrál převedeme na dvojný integrál
dS       _   f f   v/í+x2+y2
\Jx2 + y2      JJm     \Jx2 +
dxdy.
ŽT
6
Dvojný integrál transformujeme do polárních souřadnic. Oblast M je popsána nerovnicemi 0 < g < 1,0 <ip <2ip.
•y/l + x2 +y2 M     \Jx2 + y2
•2-K
dxdy =  I      dip
o            Jo            9
1 y/l + e*Q
dg = —
o
2tt r        ___________                                   ___________   1
g\J\ + g2 + In g + \J\ + g2     d<p =
Jo
= 7T ( a/2 + In f 1 + a/2
Přitom integrál J" -y/l + g2 dg řešíme metodou per partes, kde volíme u = \J\ + g2 a»=l.
3. Vypočtěte integrál Js x dS, kde S je horní polovina kulové plochy z = \J\ — x2 — y2.
Plochu S vyjádříme například takto: z = f{x, y) = \J\ — x2 — y2 pro body oblasti M, kterou je
kruh x? + y2 = 1. Platí
— T
fx{x,y) =
y/í - x2 - y
2'
fvix>y) =
y/í - x2 - y
2'
dS=i   1
1 — x2 — y2      1 — x2 — y-
■dxdy.
Plošný integrál převedeme na dvojný integrál a využijeme polárních souřadnic x = gcostp, x gsiiítp, kde 0<g<laO<^< 2n. Platí
T—                     ľ27*                    ľ1      g2
x dS =  II    gcosip\j-------7jgdgd<p=  /     cos w dip. /    —^^
s             JJm            V i -e                   '"                   '"  -/1 - -2
o
0     \f\- Q"
Tento integrál je roven nule, protože f0   cos ip dip = 0.
4. Pomocí plošného integrálu 1. druhu vypočtěte povrch parabolické plochy z = x2+y2, kde 0 < z < 9. Obsah plochy S je dán integrálem Js dS. Máme
z = f(x,y) =x2 +y2,        fx(x,y) = 2x,        fy{x,y) = 2y,        dS = \]\ + 4x2 + 4y2dxdy.
Použijeme polárních souřadnic
dS =\l    y/l+4x2 + 4y2dxdy=  j      dip. j   g^í + Ag2 dg = |1 + Ag2 = t\ = 2tt-  /     Vidt s           JJm                                       Jo           Jo                                                         8 Jí
37
TY
/JľŤ2-!
Plošný integrál — příklady k procvičení
1.  Vypočtěte integrál Js (2x + |y + z) dS, kde S je část roviny 6x + Ay + 3z = 12 v 1. oktantu. Výsledek 4a/6L
2.  Vypočtěte integrál Js y dS, kde S je část roviny 3x + Ay + 3z = 12 v 1. oktantu. Výsledek 2a/34.
3.  Vypočtěte obsah části plochy z = ^ (x2 + y2) ležící uvnitř válcové plochy x2 + y2 = 1 Výsledek
|tt(2a/2-1).
Plošný integrál 2. druhu
Vypočtěte JJsx2z dS, kde S* je část plochy z = \J\ — x2 — y2 ležící uvnitř válcové plochy x2 + y2 = 1. Plocha S je orientovaná tak, že normála míří vzhůru. Parametrické rovnice plochy S jsou
x = u cos v
y = u sin v z=\/\ -m2,         m G [0,1],         wg[0,2tt].
7