Plošný integrál
Několik pojmů
•  Při našich úvahách budeme často využívat skalární součin dvou vektorů. Platí
F ■ ň = \F\\ň\ cos a,
kde a je úhel, který svírají vektory F a ň. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý, pak je skalární součin kladný. Pokud je úhel dvou vektorů tupý, pak je skalární součin záporný.
Známe-li souřadnice vektorů F = (Fi, F2, F3) a ň = (n-i, n-2, «-3), pak
F • n = F1n1 + F2n2 + F3n3.
•  V našich úvahách budeme vždy předpokládat, že plocha S je grafem funkce z = f (x, y) na uzavřené oblasti D.
•  Připomeňme, že tečná rovina k ploše S v bodě [xo, ž/o] má rovnici
z = f(x0, ž/o) + íx{xo, yo){x - x0) + fy(x0, ž/o)(ž/ - ž/o)-
Protože víme, že rovina g : ax + by + cz + d = 0 má normálový vektor ň = (a, 6, c), vidíme, že tečná rovina má normálový vektor ň = (fx, fy, —1) nebo ň = (—fx, —fy, !)• Pro velikost tohoto vektoru platí \n\ =   //2 + /2 + 1.
•  V případě plošných integrálů 2. druhu budeme hovořit o orientaci plochy S. Ta je určena volbou směru vektoru normály ň. Jesliže vektor ň svírá ostrý úhel s kladným směrem osy z (tedy s vektorem (0,0,1), říkáme "míří vzhůru", pak ň = (—fx, —fyA)- Svírá-li ň tupý úhel s kladným směrem osy z, tedy "míří dolů", pak ň = (fx,fy,—l-)- Konečně pokud vektor ň je kolmý na osu z, pak
n=  (fx,fy,0).
•  Velikost obsahu plochy S budeme značit m(S) a vypočteme ji ze vztahu
m(S) =   / /   yjfl+fl + ldxdy.
Příklad 1: Vypočtěte obsah plochy S, která je grafem funkce z = xy, pro D : x2 + y2 < r2 (část hyperbolického paraboloidu ležícího uvnitř válcové plochy).
Platí
fx = y,        fy = x,        pro        0 < x2 + y2 < r2.
Po zavedení polárních souřadnic dostáváme
m(S) =         v 1 + x2 + y2 dxdy =   /      dip /    \J\ + g2 g dg = |1 + g   = t\
JJd                                Jo        Jo
2tt            fVí+r2
d<p-              t2 dt = 2n
o           Ji
Vu
2tt
3^
Plošný integrál 1. druhu
•  Jedná se o integrál ze skalární funkce přes plochu S.
•  Výpočet plošného integrálu 1. druhu převádíme na výpočet dvojného integrálu. Je-li plocha S grafem funkce z = f(x,y) na uzavřené oblasti D, platí
F{x,y,z)dS=   li   F{x,y,f{x,y))^l + f2 + f2 dxdy.
1
• Příkladem aplikace je určení hmotnosti M plochy S, jestliže známe hustotu q{x, y, z) v libovolném bodě (x, y, z) plochy. Protože platí
Q=—-^7        tedy        m = gm(S), dostáváme
M= jj  g{x,y,z)dS=   II   g(x,y, f(x,y)) y'l + f2 + f2 dxdy.
• Příklad 2: Vypočtěte hmotnost kuželové plochy S : z = \J x2 + y2, 0 < z < 2, je-li hustota plochy g konstantní.
Platí
f   -          X                   f  -          y
Jx ~     /-t,—:------ft'              Jy ~
a/x2 + y2                   \Jx2 + y2
tedy
M =         g(x, y, z) dS =         g*   —^------2 H----ö------2 "^ ^ <^xt% = v 2g / /   dxdy = 4v 2"7T£>.
Při výpočtu jsme užili skutečnosti, že poslední integrál vyjadřuje obsah oblasti D, tedy kruhu o poloměru 2.
Plošný integrál 1. druhu — řešené příklady na procvičení
1. Vypočtěte integrál JsxyzdS, kde S je část roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu (tedy pro x > 0, y > 0 a z > 0).
Plochu S* vyjádříme takto: 0 < x < 1, 0 < y < 1 — x, z = /(x, y) = 1 — x — y. Platí
fx(x,y) = -1,        fy(x,y) = -1>        ^ = v7! + (-1)2 + (-1)2 áxt% = VŽdxdy.
Dostáváme
/  xyz dS* = v 3 / /   xy (1 — x — y) dxdy = v 3 /    dx          xy (1 — x — y) dy =
Js                    JJd                                      Jo        Jo
a/3 /    x
/o
y___-cy___y_
2        2        3
dx = v3 /    — (1 — x)   dx = ... =-----.
o                    Jo   $                                120
2. Vypočtěte integrál f„    , d,s     , kde S* je část plochy z = xy vyťaté válcem x? +y2 = 1.
y'xß+y2
Plochu S* vyjádříme takto: z = /(x, y) = xy pro body oblasti D, kterou je kruh x2 + y2 = 1. Platí
íx{x,y)=y,        fy{x,y)=x,        dS = \]\ + x2 + y2 dxdy.
Plošný integrál převedeme na dvojný integrál
dS           ľ ľ  ^\ + x2+y2
- dxdy.
s \Jx2 + y2      JJd     \Jx2 + y*
Dvojný integrál transformujeme do polárních souřadnic. Oblast D je popsána nerovnicemi 0 < g < 1, 0 < y < 2y.
-----                dxdy =         dtp I    -------------dg= -           g\]\ + g2 + ln ( g + \]\ + g2 )      d<p =
\jx2 + y2                 Jo         Jo          Q                 2 Jo     L                        v                    Jio
= -K (VŽ + ln (1 + a/2
Přitom integrál J \J\ + g2 dg řešíme metodou per partes, kde volíme u = \J\ + g2 a v' = 1.
2
3. Vypočtěte integrál Js x dS, kde S je horní polovina kulové plochy z = \J\ — x2 — y2.
Plochu S vyjádříme takto: z = f{x, y) = \J\ — x2 — y2 pro body oblasti D, kterou je kruh x? +y2 = 1. Platí
fx(x,y) =
y/í - x2 - y
2'
fvix>y) =
-y
y/í - x2 - y
2'
dS=AÍ
ŽT
1 — x2 — y2      1 — x2 — y
■dxdy.
Plošný integrál převedeme na dvojný integrál a využijeme polárních souřadnic x = gcosíp, x Qsmip, kde 0<g<laO<^< 2n. Platí
ŕ71     ŕ            r~i               ŕ71               ŕ    g2
x dS =  /      df       g cos f \   --------^gdg=   I      cos <f dip-   I    —             dg.
s              Jo          J o               V 1 - Q2               I-                       I-   - /i - -2
o
0     \f\-Q"
Tento integrál je roven nule, protože f0   cos ip dip = 0.
4. Pomocí plošného integrálu 1. druhu vypočtěte obsah povrchu parabolické plochy z = x2 + y2, kde 0 < z <9.
Obsah plochy S je dán integrálem fs dS. Máme
z = f{x,y)=x2 +y2,        fx(x,y) = 2x,        fy(x,y) = 2y,        dS = \J\ + 4x2 + Ay2dxdy.
Použijeme polárních souřadnic
dS =  //   v7! + 4x2 + 4y2 dxdy =   /      ckp ■   I    g^/í + 4g2 dg = \í + 4g2 =t\ = 2n-  /     Vidt
S             J J D                                                 JO               JO                                                                        ° Jí
37
TT
f^-l
Plošný integrál 1. druhu — další příklady k procvičení
1. Vypočtěte integrál fs (2x + |y + z) dS, kde S je část roviny 6x + Ay + 3z = 12 v 1. oktantu.
Výsledek 4a/61.
2.  Vypočtěte integrál Js y dS, kde S je část roviny 3x + Ay + 3z = 12 v 1. oktantu. Výsledek 2i/34.
3.  Vypočtěte obsah části plochy z = ^ {x2 +y2) ležící uvnitř válcové plochy x2 + y2 = 1 Výsledek f7r(2v/2 - 1).
3
Plošný integrál 2. druhu
Protože nejdůležitější aplikací plošného integrálu 2. druhu je výpočet toku vektorového pole orientovanou plochou, provedeme výklad tohoto integrálu na výpočtu této veličiny.
Přitom si představíme, že část prostoru je vyplněna nestlačitelnou proudící kapalinou, přičemž rychlost každé částice je určena jen její polohou a nezávisí na čase. Pole rychlosti tohoto proudění je popsáno vektorovou funkcí F(x,y,z) = (P(x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z)). Ve zkoumané části prostoru se nachází orientovaná plocha S. Chceme zjistit, jaké množství tekutiny proteče plochou za jednotku času ve směru její orientace, tj. na tu stranu plochy, kam směřují její normálové vektory určující orientaci. I v tomto případě budeme uvažovat plochu, která je grafem funkce z = f(x,y) na nějaké oblasti D.
Je-li plocha S orientovaná tak, že normálové vektory "směřují nahoru", tj. svírají s kladným směrem osy z ostrý úhel, pak
// F(x,y,y)-dŠ=   // F(x,y, z) • ft(x,y, z) dS, kde ň je jednotkový normálový vektor plochy S
~Jx                       ~Jy                          *■
,! + /' + fy  V1 + íl + fy  V: + íl + f^
Máme tedy
F{x,y,z)-dS=  //   {P{x,y, z),Q{x,y, z),R{x,y,z))    \                   ^,                        ,—                      dS
1 + fZ + fS  xß + ß + ß  Ji + fl + tt
{P{x, y, f{x, y)), Q{x, y, f(x, y)), R{x, y, f(x, y))) ■                    = {-fx, -fy, 1) Jí + /| + /1 dxdy =
y/l + fŠ + fŠ                        V
{P{x, y, f(x, y)), Q{x, y, f(x, y)), R{x, y, f(x, y))) ■ {-fx, -fy, 1) dxdy.
Tedy
F(x, y,z)-dS =  / /   [-P(x, y, f(x, y))fx(x, y) - Q(x, y, f(x, y))fy(x, y) + R(x, y, f(x, y))\ dxdy.
y\ s                                       J J D
V případě, že je plocha S orientovaná tak, že normálové vektory "směřují dolů", tj. svírají s kladným směrem osy z tupý úhel, pak normálový vektor plochy S vezmeme
J x                     J y                     ~ t
1 + /I + /«2   v/l + /x2 + /„2   y/1 + fZ + fŠ
Ve výsledném vzorci tedy dostaneme opačné znaménko, ale tvar zůstává nezměněn. Speciální případy plošného integrálu 2. druhu jsou:
• a) Vektorové pole F = (0,0, R(x, y)) a S : z = f(x, y), pro (x, y) G D. Pro tok T platí
T=  11  F(x,y,z)-dŠ=± //  (0,0, R(x, y, f {x, y)) ■ {-fx{x,y), -fy{x,y), 1) dxdy. Tedy
s                               JJd
T=  íl   R{x,y,f{x,y))dxdy, jestliže normála plochy "míří nahoru" (svírá ostrý úhel s kladným směrem osy z), nebo
T=-         R{x,y,f{x,y))dxdy,
jestliže normála plochy "míří dolů" (svírá tupý úhel s kladným směrem osy z)
4
•  b) Vektorové pole F = (P(x, y, z), Q{x, y, z), 0) a z = konst.
V tomto případě ň = (0,0, ±1) a
F(x,y,z) ■ dS =  //  (P(x, y, z),Q(x, y, z),0) ■ (0, 0, ±1) dxdy = 0.
S                           J J D
Poznámka:
Ve většině textů se pro plošný integrál 2. druhu používá následující symbolika
F(x, y, z) ■ dS =  / /  P(x, y, z) dydy + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy. s                           JJs
Příklad 3: Vypočtěte tok vektorového pole F(x, y, z) = (0, 0, 2) plochou S, která je orientovaná tak, že normálové vektory svírají s kladným směrem osy z ostrý úhel nebo pravý úhel.
•  a) S : z = 2 - y, kde 0 < x < 4, y > 0 & z > 0. Platí ň = (—fx, —fy, 1) = (0,1,1)- Dostáváme
T = [í F -dŠ=  [i (0,0, 2) • (0,1,1) dxdy = 2 í í dxdy = 16.
JJs               JJd                                         JJd
Výsledek dvojného integrálu jsme získali úvahou, protože se jedná o obsah plochy D, kterou je obdélník o stranách 4 a 2 délkové jednotky. Tok plochou je tedy 16 jednotek toku.
•  b) S : z = v^-y2, 0 < x < 4, y > 0, z > 0.
I zde svírají normálové vektory plochy ostrý úhel s kladným směrem osy z a platí ň = (—fx, —fy, 1) = (0, 4_^ 2,1). Dostáváme
T =        F -dŠ=  / / (0, 0, 2) • (0,     y  2,1) dxdy = 2        dxdy = 16.
Také tady je oblast D stejný obdélník jako v části a). Tok plochou je tedy opět 16 jednotek toku.
•  c) S je válcová plocha x2 + y2 = 4, y > 0, 0 < z < 2.
V  tomto případě jsou normálové vektory kolmé na kladný směr osy z, a tedy také na vektor F = (0, 0, 2) V každém bodě válcové plochy platí
F -ň = {).
Tok vektorového pole plochou je tedy v tomto případě roven nule.
Příklad 4: Vypočtěte tok vektorového pole F = (2, —1,1) kuželovou plochou z = 2\Jx2 + y2, 0 < z < 4, která je orientovaná tak, že její normálové vektory svírají s kladným směrem osy z tupý úhel.
Platí
tedy
2x                     2y
Jx
\Jx2 + y2 '         \Jx2 + y2 '
2x              2y             \
\Jx2 + y2 ' \Jx2 + y2 '
Pro tok T pak dostáváme
T=  íí F-dŠ=  íí (2,-1,1)- (     Jľ-^,^=,-l] dxdy =
JJs               JJd                  \Vx +y    Vx +y       J
1     dxdy =         —-j^=^= dxdy —         dxdy.
d \ \/x2 + y2      \/x2 + y2        I               JJd \/x2 + y2
5
Získaný dvojný integrál jsme rozdělili na dva integrály pouze z důvodu výpočtu. První integrál vypočteme transformací do polárních souřadnic, ve kterých je oblast D určena nerovnicemi 0 < g < 2 a 0 < <p < 2n. Dostáváme
4x-2y    7   7        ŕ 7    f27r     4gcos<p-2gsm<p        7        ŕ     7       (^ ,A            n .      .   7
: dxdy =  I    dg j      —                                g ay =  /    g dg-  j      (4 cos y — 2 sin y) dip
•2-K
\Jx2 + y2              Jo       Jo     V' g2 cos2 cp + g2 sin2 y
[4 sin 92 + 2 cos 92] 0   =0
Druhý integrál, pokud neuvažujeme znaménko, vyjadřuje obsah kruhu, jehož poloměr je 2. Máme tedy
dxdy = — 4-7T.
Celkový tok T přes plochu S je roven — 4n jednotek toku.
Integrální věta Gaussova-Ostrogradského
Nechť F = (P, Q, R) je vektorová funkce definovaná na oblasti íl C 3í3 a G C íl je uzavřená ohraničená oblast, jejíž hranicí je uzavřená plocha S orientovaná podle vnějších normál. Nechť P, Q, R, Px, Qy a Rz jsou na íl spojité. Pak platí
// F ■ dŠ =  ///  div F dxdydz =  ///   (Px + Qy + Rz) dxdydz.
Výpočet toku vektoru přes uzavřenou plochu tedy převádíme na trojný integrál přes vnitřek této plochy.
Interpretujeme-li plošný integrál jako tok T vektorového pole uzavřenou plochou, pak T = T\— T2, kde Ti je množství tekutiny, které z G vyteče za jednotku času, a T2 je množství tekutiny, které do G za stejný čas přiteče.
Je-li T = 0, pak z oblasti vytéká právě tolik tekutiny, kolik do ní vtéká.
Je-li T > 0, pak z oblasti vytéká za jednotku času více tekutiny, než kolik do ní vtéká. Dá se to vysvětlit tak, že uvnitř oblasti G se nacházejí tzv. zřídla, tj. body, ve kterých nějakým způsobem přibývá tekutiny.
Když T < 0, pak z oblasti vytéká méně tekutiny, než kolik do ní vtéká. To se dá vysvětlit tím, že v oblasti se nachází tzv. nory, ve kterých se tekutina ztrácí.
Příklad 5: Vypočtete tok T = JJSF ■ dS, kde F(P,Q,R) = (y2,z2,x2), přes povrch krychle — 1 < x < 1, — l<y<la— 1 < z < 1 orientovaný tak, že normála míří zvnitřku ven.
Jsou splněny předpoklady Gaussovy-Ostrogradského věty. Přitom
divP = Pa; + g!/+Pz = 0.
Platí tedy
T = jí F -dŠ=  ííí div F dxdydz = 0.
6