1 M2010 Matematika II 26. března 2009 Lokální a absolutní extrémy Demonstrační příklady c Silvie Kuráňová, Jan Vondra (PřF MU) Zpět Dok Dok 2 Lokální a absolutní extrémy Klíčovými pojmy v této kapitole jsou * (ostré) lokální minimum a maximum, * stacionární bod, * (ostré) absolutní extrémy. Zde připomeňme jen, že: Hledáme-li lokální extrémy, pak zadanou funkci vyšetřujeme pouze lokálně (tj. v okolí nějakého bodu), hledáme-li absolutní extrémy, pak vyšetřujeme nejmenší a největší hodnotu dané funkce na předepsané množině M. Zpět Dok Dok 3 Příklad 1 ­ lokální extrémy Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) = x2+y2 2 v bodě [0, 0] lokální minimum. 3 Příklad 1 ­ lokální extrémy Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) = x2+y2 2 v bodě [0, 0] lokální minimum. Řešení Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0. 3 Příklad 1 ­ lokální extrémy Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) = x2+y2 2 v bodě [0, 0] lokální minimum. Řešení Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0. Funkce f(x, y) = x2+y2 2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem ostrým. Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1. 3 Příklad 1 ­ lokální extrémy Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) = x2+y2 2 v bodě [0, 0] lokální minimum. Řešení Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0. Funkce f(x, y) = x2+y2 2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem ostrým. Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1. Jestliže spočítáme parciální derivace funkce f(x, y): fx = x 2 x2 + y2 , fy = y 2 x2 + y2 zjistíme, že v bodě [0, 0] neexistuje ani jedna parciální derivace funkce f(x, y)! 3 Příklad 1 ­ lokální extrémy Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) = x2+y2 2 v bodě [0, 0] lokální minimum. Řešení Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0. Funkce f(x, y) = x2+y2 2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem ostrým. Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1. Jestliže spočítáme parciální derivace funkce f(x, y): fx = x 2 x2 + y2 , fy = y 2 x2 + y2 zjistíme, že v bodě [0, 0] neexistuje ani jedna parciální derivace funkce f(x, y)! Pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě, nemusí mít funkce v tomto bodě parciální derivace (nemusí zde být dokonce ani spojitá). Zpět Dok Dok 4 Obrázek 1: Graf funkce z = x2+y2 2 . Zpět Dok Dok 5 Hledání lokálních extrémů Funkce f může mít lokální extrémy pouze ve stacionárních bodech, nebo v bodech, v nichž neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu. Algoritmus pro nalezení lokálních extrémů 1. Spočítáme parciální derivace prvního řádu funkce f(x, y) a položíme je rovny nule. Tím získáme systém rovnic. Dále nalezneme všechny body, v nichž neexistuje aspoň jedna první parciální derivace. 2. Určíme všechna řešení systému ­ stacionární body [x0, y0]. V nich může, ale nemusí být extrém. 3. Spočteme parciální derivace druhého řádu a dosadíme do vzorce D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)] 2 . 4. Pro jednotlivé stacionární body určíme D(x0, y0), případně fxx(x0, y0). Je-li: * D(x0, y0) > 0 a fxx(x0, y0) > 0, jde o ostré lokální minimum. * D(x0, y0) > 0 a fxx(x0, y0) < 0, jde o ostré lokální maximum. * D(x0, y0) < 0, pak ve stacionárním bodě lokální extrém nenastává. 5. Nelze-li rozhodnout podle výše uvedených kritérií nebo vyšetřujeme body v nichž neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu, použijeme definici extrému. Zpět Dok Dok 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení Funkce z = xy(4 - x - y) je polynomem proměnných x, y její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení Funkce z = xy(4 - x - y) je polynomem proměnných x, y její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. 1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule. zx = y(4 - x - y) - xy = y(4 - 2x - y) = 0 y1 = 0, y2 = 4 - 2x zy = x(4 - x - y) - xy = x(4 - x - 2y) = 0 x1 = 0, x2 = 4 - 2y 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení Funkce z = xy(4 - x - y) je polynomem proměnných x, y její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. 1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule. zx = y(4 - x - y) - xy = y(4 - 2x - y) = 0 y1 = 0, y2 = 4 - 2x zy = x(4 - x - y) - xy = x(4 - x - 2y) = 0 x1 = 0, x2 = 4 - 2y 2. Dstáváme čtyři stacionární body: P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 = 4 3 , 4 3 . 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení Funkce z = xy(4 - x - y) je polynomem proměnných x, y její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. 1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule. zx = y(4 - x - y) - xy = y(4 - 2x - y) = 0 y1 = 0, y2 = 4 - 2x zy = x(4 - x - y) - xy = x(4 - x - 2y) = 0 x1 = 0, x2 = 4 - 2y 2. Dstáváme čtyři stacionární body: P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 = 4 3 , 4 3 . 3. Spočítáme parciální derivace druhého řádu. zxx = -2y, zyy = -2x, zxy = 4 - 2x - 2y a dosadíme do vztahu D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)] 2 = -4x2 - 4y2 + 16x + 16y - 4xy - 16. 6 Příklad 2 ­ lokální extrémy Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení Funkce z = xy(4 - x - y) je polynomem proměnných x, y její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. 1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule. zx = y(4 - x - y) - xy = y(4 - 2x - y) = 0 y1 = 0, y2 = 4 - 2x zy = x(4 - x - y) - xy = x(4 - x - 2y) = 0 x1 = 0, x2 = 4 - 2y 2. Dstáváme čtyři stacionární body: P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 = 4 3 , 4 3 . 3. Spočítáme parciální derivace druhého řádu. zxx = -2y, zyy = -2x, zxy = 4 - 2x - 2y a dosadíme do vztahu D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)] 2 = -4x2 - 4y2 + 16x + 16y - 4xy - 16. Zpět Dok Dok 7 4. Prověříme jednotlivé stacionární body na existenci lokálního extrému, dosadíme jejich souřadnice [x0, y0] do vzorce D(x0, y0). D(P1) = -16, D(P2) = -16, D(P3) = -16, D(P4) = 16 3 . 7 4. Prověříme jednotlivé stacionární body na existenci lokálního extrému, dosadíme jejich souřadnice [x0, y0] do vzorce D(x0, y0). D(P1) = -16, D(P2) = -16, D(P3) = -16, D(P4) = 16 3 . V bodech P1, P2, P3 tedy lokální extrém nenastává. V bodě P4 = 4 3 , 4 3 nastává ostré lokální maximum, neboť zxx(P4) = -8 3 . Situaci si můžete prohlédnout na obrázku 2. Zpět Dok Dok 8 Obrázek 2: Funkce z = xy(4 - x - y) s modře vyznačeným bodem lokálního maxima. (a) Graf funkce (,,jednotka" na ose z ukazuje hodnotu 100). (b) Detail ­ okolí lokálního maxima. Zpět Dok Dok 9 Hledání absolutních extrémů 1. Nalezneme stacionární body zadané funkce f a z nich vybereme ty, které leží v množině M. 2. Vyšetříme hranici množiny M. 3. Spočteme funkční hodnoty v nalezených bodech a určíme absolutní extrémy. Zpět Dok Dok 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení 1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M. 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení 1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M. Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. fx = 2x - 8 = 0, fy = 2y = 0 Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M. 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení 1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M. Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. fx = 2x - 8 = 0, fy = 2y = 0 Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M. 2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic. f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 (1) x2 + y2 = 1 (2) 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení 1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M. Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. fx = 2x - 8 = 0, fy = 2y = 0 Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M. 2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic. f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 (1) x2 + y2 = 1 (2) Z předpisu pro množinu M (rovnice 2) vyjádříme y2 a dosadíme do rovnice 1. Dostáváme tak novou funkci, kterou si označme např. u. u = x2 - 8x + (1 - x2 ) + 10 = -8x + 11. 10 Příklad 3 ­ absolutní extrémy Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení 1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M. Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. fx = 2x - 8 = 0, fy = 2y = 0 Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M. 2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic. f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 (1) x2 + y2 = 1 (2) Z předpisu pro množinu M (rovnice 2) vyjádříme y2 a dosadíme do rovnice 1. Dostáváme tak novou funkci, kterou si označme např. u. u = x2 - 8x + (1 - x2 ) + 10 = -8x + 11. Funkce u(x) je funkce jedné proměnné, najdeme nyní její největší a nejmenší hodnotu. Těchto extrémních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu [-1, 1] Zpět Dok Dok 11 nebo v některém z jeho krajních bodů x = -1, x = 1. 11 nebo v některém z jeho krajních bodů x = -1, x = 1. ux = -8 funkce z na intervalu [-1, 1] klesá. 11 nebo v některém z jeho krajních bodů x = -1, x = 1. ux = -8 funkce z na intervalu [-1, 1] klesá. Když funkce u(x) na celém intervalu [-1, 1] klesá, pak v žádném vnitřním bodě intervalu [-1, 1] nemá lokální extrém. Prověříme tedy krajní body: u(-1) = 19, u(1) = 3. Celkem tedy dostáváme, že fmax = 19, pro [x, y] = [-1, 0], fmin = 3, pro [x, y] = [1, 0]. 11 nebo v některém z jeho krajních bodů x = -1, x = 1. ux = -8 funkce z na intervalu [-1, 1] klesá. Když funkce u(x) na celém intervalu [-1, 1] klesá, pak v žádném vnitřním bodě intervalu [-1, 1] nemá lokální extrém. Prověříme tedy krajní body: u(-1) = 19, u(1) = 3. Celkem tedy dostáváme, že fmax = 19, pro [x, y] = [-1, 0], fmin = 3, pro [x, y] = [1, 0]. Příklad 3 ­ geometrický význam Množina M : x2 + y2 1 je v rovině xy kruhem o poloměru 1. V celém prostoru xyz pak hledáme extrémy na křivce, která vznikne průnikem válcové plochy (určené tímto kruhem) s grafem zadané funkce. Na obrázku 3 je průnik válcové plochy s grafem funkce f(x, y) = x2 -8x+y2 +10 vykreslen jako žlutá elipsa, body minima a maxima pak jako modré kuličky. Zpět Dok Dok 12 Obrázek 3: Minimum a maximum funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M. Zpět Dok Dok