Diferenciální rovnice prvního řádu Explicitní vzorec
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých kvizů a potom mi prosím vyplňte                 na webu.
Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně   šiřitelný  AcroT[=XeDucation   bundle,
zdrojový soubor pro T[=X              a přečíst si návod na
domovské stránce.
1.   Teorie
Definice 1 (lineární DR) Necht funkce a, b jsou spojité na intervalu I. Rovnice
y'+ a(x)y = b(x)                                                             (1)
se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc b(x) = 0 na I, nazývá se rovnice (1) homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Tvar (1) budeme v tomto testu nazývat standartním tvarem. Například rovnice 2y' + xy = 4 má normální tvary + —y = 2.
Definice 2 (homogenní rovnice) Bud dána		rovnice (1). Homogenní rovnice,	která vznikne	z rovnice
(1) nahrazením pravé strany	nulovou funkcí,	tj. rovnice		
	y'	+ a(x)y = 0		(2)
se nazývá homogenní rovnice asociovaná s nehomogenní rovnici (1).				
Věta 1 (obecné řešeni")       • Je-li yp{x) partikulární řešení nehomogenní rovnice a y0{x) obecné řešení asociované homogenní rovnice, je funkce
yM = yp{x) + y0{x)
obecným řešením nehomogenní rovnice. • Je-liyp(x) partikulární řešení nehomogenní rovnice a y0(x) nějaké netriviální řešení asociované homogenní rovnice, je funkce
y(x) = yP(x) + cy0{x)
obecným řešením této nehomogenní rovnice.
y' + a{x)y = b{x)
lineární ODR
(3)
y' + a(x)y = 0
asoc. hom. ODR
(4)
y0(x) = C  &
■ /a(x)áx
C € IR
part. řešení rce (4)
y(x) = e-la^dxUb(x)ela^dxdx + C
Obecné řešení rce (4)          (5)
Obecné řešení rce (3)          (6)
= e-Ia{x)dx Ib{x)ela{x)dxdx  +  Ce~Ia{x)dx       C € IR '---------------»---------------'-------.------'
yp(x) — part. řeš. rce (3)                                  y0(x)
Kde / • • • dx je jedna libovolná z primitivních funkcí (bez integrační konstanty) a je dána jednoznačně
až na aditivní konstantu. Proto e±ia^dx je dána jednoznačně až na nenulovou multiplikativní konstantu a partikulární řešení je dáno jednoznačně až na aditivní faktor, který je řešením asociované homogení rovnice.
2.   Testy
Testy začínají na následujících stranách, vždy jeden test na stránku.
•  Odpověď na normální tvar LDR je dána jednoznačně, až na to, jestli člen b uvedete napravo nebo nalevo.
•   Integrál funkce a je dán jednoznačně až na aditivní konstantu. Proto musíte nejprve odpovědět na tuto otázku a poté se vám zobrazí, kterou z primitivních funkcí máte použít. Potom bude odpověď na funkci b(x)e'a^dx a její integrál dána jednoznačně (resp. jednoznačně až na aditivní konstantu pro integrál).
•  Jako obvykle si můžete správné řešení zobrazit kliknutím na tlačítko (i opakovaně, pokud se tlačítko vztahuje k více políčkům). Nedělejte to ale příliš často - úlohy jsou jednoduché a máte se naučit metodu. Příklady na písemkách budou složitější1!
•  A jako obvykle: Máte-li nějakou připomínku či návrh k těmto testům, dejte mi prosím vědět!
1 delší integrály, složitější derivace ...
4065
Kvíz. 1. Řešte rovnici y' - y = 2
1.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
2.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
j a(x)dx =
3. V dalším postupu použijte / a(x) dx = -x Najděte b{x)ela{x)áx =
4.  Integrujte: / b(x)eía{x)áxdx =
5. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 2. Řešte rovnici x y' + y = x2
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
a(x)dx =
/■
4. V dalším postupu použijte / a{x) óx = \r\(x) Najděte b{x)da(x)dx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxóx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-^a(x)áx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 3. Řešte rovnici xy' - y = 1
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
j a(x)dx =
4. V dalším postupu použijte / a{x) óx = - \r\(x) Najděte b{x)da(x)dx =
5. Integrujte: / b{x)ela{x)dxóx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-^a(x)áx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 4. Řešte rovnici {x + 1)y' - 2y = (x + 1)4
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
j a(x)dx =
4. V dalším postupu použijte / a{x) dx = -2 ln(A- + 1) Najděte b{x)da(x)dx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxóx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 5. Řešte rovnici y' cos(a") + ys\r\(x) = 1
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
a(x)dx =
l
4. V dalším postupu použijte / a{x) dx = - In cos(a-) Najděte b{x)da(x)dx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxóx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)dxdx + C
1 + x2 Kvíz. 6. Řešte rovnici y' - y = ---------ex
1.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
2.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
a(x)dx =
/'
3. V dalším postupu použijte / a(x) dx = -x Najděte b{x)ela{x)áx =
4.  Integrujte: / b(x)eía{x)áxdx =
5. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)áxdx + C
Kvíz. 7. Řešte rovnici y' - y tan x = sin x
1.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
2.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
j a(x)dx =
3. V dalším postupu použijte / a{x) dx = In cos(a-) Najděte b{x)ela{x)áx =
4.  Integrujte: / b(x)eía{x)áxdx =
5. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 8. Řešte rovnici y' cos x = (y + 2 cos x) sin x
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
a(x)dx =
l
4. V dalším postupu použijte / a{x) dx = In cos(a-) Najděte b{x)da(x)dx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxdx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)dxdx + C
Kvíz. 9. Řešte rovnici {2x + 1 )y' + y = \/2x + 1 + 3
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
j a(x)dx =
/'
4. V dalším postupu použijte / a(x) dx = - ln(2A- + 1) Najděte b{x)ela{x)áx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxóx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-^a(x)áx
jb(x)eía{x)dxdx + C
2
Kvíz. 10. Reste rovnici x y' + 2y = e~x
1. Štandartní tvar rovnice je
2.  Porovnáním s obecným tvarem rovnice vidíme a(x) =
b(x) =
3.  Integrujte (konstantu integrace použijte nulovou)
a(x)dx =
/■
4. V dalším postupu použijte / a{x) dx = 2 In(A-) Najděte b{x)ela{x)áx =
5.  Integrujte: / b{x)ela{x)dxdx =
6. Napište obecné řešení
y{x) = e-la{x)dx
jb(x)eía{x)áxdx + C