Homogenní lineární diferenciální rovnice
druhého řádu
Interaktivní kvizy
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých kvizů a potom mi prosím vyplňte                 na webu.
Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně   šiřitelný  AcroT[=XeDucation   bundle,
zdrojový soubor pro T[=X              a přečíst si návod na
domovské stránce.
1.   Teorie
Definice 1 (lineárnídiferenciální rovnice druhého řádu) Budte p a q reálná čísla. Diferenciální rovnice
y" + py' + qy = 0                                                            (1)
se nazývá homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Definice 2 (charakteristická rovnice) Kvadratická rovnice
z2 + pz + q = 0.                                                              (2)
s neznámou z se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici (1). Věta 1   Uvažujme DR (1) a její charakteristickou rovnici (2).
• Jsou-liz^,z2 € IR dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice (2), definujme a y2 = eZlX .
Xi
Je-li z-,   €  IR dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (2), definujme  y, = ez y2 = xezix .
• Jsou-li z-t 2 = o ± iß £ IR dva komplexné sdružené kořeny charakteristické rovnice (2), definujme y.|(x) = eax cos(/3x) a y2(x) = eax sin(/3x) .
Potom funkce y\{x) ay2(x) tvoří fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice (1)/e
y(x, Ct , C2) = C^ (x) + C2y2(x),       C^ e IR, C2 € IR.
2.   Dvoučlenná homogenní LDR druhého řádu
Kviz. LDR druhého řádu se dvěma členy nalevo.
•   Najděte charakteristickou rovnici v proměnné z, napište např." z"2 + 3z-8=0 ".
•   Najděte fundamentální systém řešení (dvě lineárně nezávislá řešení) podle Věty 1 a zapište je jako seznam oddělený čárkami (na pořadí nezáleží). Napište tedy např. "exp (x) *cos (3x) ,
•   Najděte obecné řešení jako lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých řešení z předchozího bodu. Použijte konstanty A a B\ Pište tedy např. něco jako
" A*exp (x) *cos (3x) +B*exp (x) *sin (3x) ".
l.y" +y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
2. y" - y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
3. y" + 4y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
4. y" - 4y = O
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
5. y" + 2y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
6. y" - 2y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
7. 4y" + y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
8. 4y" - y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
9. y" + 9y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
U
► ►
Sŕrana 4 z fi
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
10. y" -9y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
«
► ►
Strana 5 z 8
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
3.   Tříčlenná homogenní LDR druhého řádu
Instrukce jsou stejné jako u předchozího testu.
Kviz.
1.4y" + 4y'-3y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
2. y" - 4y' + 4y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
3. y" -3y'- 10y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
4. y" + 2y' + 2y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
5. y" -2y' + 10y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentální systém:
Obecné řešení:                            y(x) =
B. y" -Ay' + 13y = O
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
7. y" + y' - 2y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
8. y" + 6y' + 9y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
9. y" + y' + y = 0 Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
10. y" +y'-6y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
11.4y" -4y+ y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
«
► ►
Strana7z8
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
12. y" -6y' + y = O Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
13. y" + 2y' + 3y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
14.2y" -5y' + 2y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
15. y" -4y' + 3y = 0
Charakteristická rovnice (v z):
Fundamentálni systém:
Obecné řešení:                              y (x) =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
«
► ►
Strana 8z8
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec