Nehomogenní LDR druhého řádu
Odhad partikulárního řešení
Interaktivní kvizy
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých kvizů a potom mi prosím vyplňte                 na webu.
Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně   šiřitelný  AcroT[=XeDucation   bundle,
zdrojový soubor pro T[=X              a přečíst si návod na
domovské stránce.
1.   Teorie
Definice 1	Budte p,	q reálná čísla	a f funkce definovaná a spojitá na		intervalu 1.	Diferenciální rovnice	
			y" + py' + qy ■■	-f(x)			(1)
se nazývá	lineární diferenciální rovnice (zkráceně LDR)			druhého řádu	s konstantními koeficienty.		
Definice 2	Nahradíme-li v nehomogenní LDR (1) pravou	stranu (tj.	funkci f) nulovou funkcí obdržíme	
rovnici				
	y" + py' + qy =	0.		(2)
Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice příslušná (asociovaná)			k rovnici (1).	
Větal systém	Je-li yp(x) partikulárním řešením rovnice řešení asociované homogenní LDR (2),/e	(1) a tvoří-li funkce funkce		yi	(x)a	y2M	fundamentální
	y(x) = Ay,{x) + By2{x) *	yP{x),	A € IR,	B	e R		(3)
obecným řešením rovnice (1).							
2.   Test
Na následujících stranách máte řešit nehomogenní LDR druhého řádu metodou odhadu partikulárního řešení s použitím neurčitých koeficientů.
•  Je zadána rovnice a tvar partikulárního řešení yp. Máte určit hodnotu konstanty (konstant) které v y p vystupují, aby se po dosazení skutečně jednalo o řešení rovnice.
•   Po nalezení partikulárního řešení máte sestrojit i řešení rovnice obecné (přičtením k obecnému řešení asociované homogení rovnice).
•  Obecné řešení musí obsahovat dvě konstanty A a B a být lineární vzhledem k těmto konstantám. Jinak, přesně jak bychom očekávali, odpovědi y = 1 + /4sin(x) + ßcos(x), y = 1 + sin(x) + A cos(x) + 3ßsin(x) nebo y = 1 + A sin(x) - ß(cos(x) - sin(x)) jsou brány jako ekvivalentní, protože jde o jiný zápis téhož.
Kvíz. 1. Řešte y" + 3y' -Ay = 2. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = a.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 4 z 24
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 2. Řešte y" + 2y' + y = 5. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = a.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 5 z 24
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 3. Řešte y" + 2y' + y = 5ex. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = aex.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 6 z 24
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 4. Řešte y" -2y' -vy = 5ex. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax2ex.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Kvíz. 5. Řešte y" + Ay = 5e3x.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ae3x.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 8 z 24
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 6. Řešte y" - y = 3ex.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = axex.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosadte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice
3. Určete hodnotu konstanty   a =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 9 z 24
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 7. Řešte y" + 2y' + y = x + 1. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax + b.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                a =
x2:                                                                         "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 8. Řešte y" + y = x - 3.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax + b.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                a =
x2:                                                                         "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 9. Řešte y" - 2y' + 2y = x2 - 1.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax2 + bx + c.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
a =
==> b =
c =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 10. Řešte y" + y' - 2y = 2x + 1. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax + b.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                a =
x2:                                                                         "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 11. Řešte y" - y' - 2y = Ax + 5. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax + b.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                                 a =
x°:                                                                                "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 12. Řešte y" + 2y' + y = 5x. Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax + b.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                                 a =
x°:                                                                                "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 13. Řešte y" - y = xex.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ex(ax2 + bx).
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                                 a =
x°:                                                                                "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 14. Řešte y" - y = 3xex.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = (ax2 + bx)ex.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                                 a =
x°:                                                                                "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 15. Řešte y" - y = {3x - 2)ex.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = (ax2 + bx)ex.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
x1:                                                                                                 a =
x°:                                                                                "^ b =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 16. Řešte y" + 2y' + y = 2x2 + 1.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax2 + bx + c.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
a =
==> b =
c =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 17. Řešte y" + 4y = x2.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax2 + bx + c.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
a =
==> b =
c =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 18. Řešte y" + 2y' - 3y = 6x3 + 2x + 1.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax3 + bx2 + cx + d.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
a =
b =
==> c =
d =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 19. Řešte y" + 2y' + y = x3.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = ax3 + bx2 + cx + d.
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Pokud v předchozí rovnici vystupuje exponenciální výraz tak jím vydělte a porovnejte koeficienty u odpovídajících si mocnin. Tím sestavíte soustavu lienárních rovnic kterou vyřešíte a najdete potřebné neurčité koeficienty
a =
b =
==> c =
d =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Print
Titulní strana
U
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. 20. Řešte y" - Ay = sin x.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = bsin(x) + ccos(x).
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Porovnejte koeficienty u odpovídajících si goniometrických funkcí a vyřešte soustavu rovnic pro hledané koeficienty
sin(x) :                                                                                           b =
cos(x):                                                                                          c =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Kvíz. 21. Řešte y" - Ay' + Ay = sin x.
Partikulární řešení hledejte ve tvaru yp = bsin(x) + ccos(x).
1. Zderivujte partikulární řešení (i s neurčitými konstantami)
y'P = y'p =
2.  Dosaďte partikulární řešení a jeho derivace do zadané rovnice:
3.  Porovnejte koeficienty u odpovídajících si goniometrických funkcí a vyřešte soustavu rovnic pro hledané koeficienty
sin(x) :                                                                                           b =
cos(x):                                                                                          c =
4. Napište partikulární řešení:
yP =
5. Napište obecné řešení s konstantami A a B:
y =