Nehomogenní LDR druhého řádu
Variace konstant
Kramerovým pravidlem pomocí Wronskianu
Interaktivní kvizy
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých kvizů a potom mi prosím vyplňte                 na webu.
Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně   šiřitelný  AcroT[=XeDucation   bundle,
zdrojový soubor pro T[=X              a přečíst si návod na
domovské stránce.
1.   Teorie
Definice 1	Budte p,	q reálná čísla	a f funkce definovaná a spojitá na		intervalu 1.	Diferenciální rovnice	
			y" + py' + qy ■■	-f(x)			(1)
se nazývá	lineární diferenciální rovnice (zkráceně LDR)			druhého řádu	s konstantními koeficienty.		
Definice 2	Nahradíme-li v nehomogenní LDR (1) pravou	stranu (tj.	funkci f) nulovou funkcí obdržíme	
rovnici				
	y" + py' + qy =	0.		(2)
Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice příslušná (asociovaná)			k rovnici (1).	
Větal systém	Je-li yp(x) partikulárním řešením rovnice řešení asociované homogenní LDR (2),/e	(1) a tvoří-li funkce funkce		yi	(x)a	y2M	fundamentální
	y(x) = Ay,{x) + By2{x) *	yP{x),	A € IR,	B	e R		(3)
obecným řešením rovnice (1).							
Věta 2 Uvažujme rovnici
y" + py' + qy = f(x).
(4)
Budte y^(x) ay2(x) funkce tvořící fundamentální systém řešení asociované homogenní LDR. Budte A(x) a B(x) diferencovatelné funkce, jejichž derivace jsou dány vztahy
A'(x) =
W,(x) W{x)
kde
y;w  y'2(x)
W{x) = Pak funkce yp(x) daná vztahem
W,(x) =
a      B'(x) =
O      y2(x)
m  y'2(x)
W2(x) W(x)'
W2{x) =
y,(x)      O y\(x)   f(x)
yp(x) = A(x)y,(x) + B(x)y2(x) je partikulátním řešením rovnice (1). Funkce
y(x) = Ay-f (x) + By2{x) + yp{x),    A e IR, B € IR, je obecným řešením rovnice (1).
(5)
2.   Testy
Na následujících strnách máte řešit nehomogenní LDR variací konstant
•   Funkce z fundamentálního systému řešení nejsou určeny jednoznačně. Po správném nalezení těchto funkcí (nebo po shlédnutí nápovědy) vám bude sděleno, kterou z funkcí máte v dalším považovat za y, a kterou za y2. Potom jsou odpovědi na otázky ohledně W, H^, W2, A' a B' jednoznačné .
•   Funkce A a B jsou určeny jednoznačně až na aditivní konstantu.
•  partikulární řešení je určeno jednozačně, až na aditivní faktor, který je řešením asociaovane homogenní LDR. Například tedy obě odpovědi y=1ay = 1+ sin(x) + 2cos(x) jsou brány jako ekvivalentní pro rovnici y" + y = 1.
•  Obecné řešení musí obsahovat dvě konstanty A a B a být lineární vzhledem k těmto konstantám. Jinak, přesně jak bychom očekávali, odpovědi y = 1 + /4sin(x) + ßcos(x), y = 1 + sin(x) + A cos(x) + 3ßsin(x) nebo y = 1 + A sin(x) - ß(cos(x) - sin(x)) jsou brány jako ekvivalentní, protože jde o jiný zápois téhož.
Úvodní
Titulní
«
Strana
Full
Kvíz. Řešte y" + y = 1.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 5 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" + y = x.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 6 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" - 3y' + 2y = ex.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
ty., A'M = W = w9
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 7 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" + Ay = x.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana8z15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" + y = x + 2.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 9 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" - 2y' + y = —.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x)
W,{x)
W2(x)
AW - w -
B'(x)
W2
W
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Kvíz. Řešte y" - by' + 6y = e2x.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 11 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" + y
COS*
sinx'
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentální systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W(x) =
W,{x)
W2(x)
* w - w -
B'(x)
W2
W
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
CD   LU   —
Print
Titulní strana
44
►►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" + 2y' - 3y = ex.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
ty., A'M = W = w9
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 13 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" - Ay = e2x.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 14 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz. Řešte y" - Ay = xex.
1. Char. rce. asoc. hom. LDR (v proměnné z):
2.  Fundamentálni systém:
3. Hledejte partikulární řešení va tvaru yp = A(x)y-Í (x) + B(x)y2{x)
W{x) = W,(x) = W2(x) =
A'M = W =
*w - w"
5.  Integrováním dostaneme
A(x) = B(x) =
6.  Partikulární řešení: yp =
7. Obecné řešení s konstantami A a B:
y =
Úvodní strana
Print
Titulní strana
44
►►
Strana 15 z 15
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec