Autonomní systémy Interaktivní testy
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých
kvizů a potom mi prosím vyplňte                na
webu. Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně šiřitelný AcroT[=XeDucation
bundle, zdrojový soubor pro TgX            a přečíst si
návod na domovské stránce.
Kviz.
•  V testu máte najít stacionární body autonomního systému. Poté pro jeden vybraný stacionární bod určíte Jakobiho matici, charakteristická čísla, typ a rozhodnete o stabilitě.
•  Jako proměnnou v charakteristickém polynomu požijte proměnnou z!
•  Charakteristická čísla vepište přesně nebo alespoň na tři desetinná místa. Komplexní jednotku pište jako i.
x' =x + y - 2 1. Studujeme autonomní systém
y' =x + y  - 2
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace	
d í	-) =
£x(X + y2-	-) =
l(x+y-2)-
dy
U'*'-*)■
dy
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [1,1]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       ^([1,1]) =
V
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita
/
stabilní
(g) Typ
uzel
nestabilní ohnisko
sedlo
ostatní
y     = Y      4- X  _   V
2. Studujeme autonomní systém
y =2x - y
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace
é(*:!+■'-y) -
^("2+x-y) =
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [1,2]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       J{ [1,2]) =
V
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita
stabilní                      nestabilní
(g) Typ
uzel                           ohnisko                     sedlo
/
ostatní
3. Studujeme autonomní systém
x' =x(4 - 2x - y) Ý =y(7 -x-3y)
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace A(*(4-2*-y)) =
A(yC7-*-3y)) =
d_
dy
d_
dy
(x{4 -2x- y)) (y(7 - x - 3y))
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [1,2]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       J{ [1,2]) =
V
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
/
(f) Stabilita	
stabilní	nestabilní
(g) Typ	
uzel	ohnisko
sedlo
ostatní
x =6 - x + y Studujeme autonomní systém
y' =2x + 2y
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace d(Q-x + y)
dx fx(2x + 2y) =
íy(6-X + y) fy(2X + 2y)
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [3, -3]
(c) Jakobiho matice:       J{ [3, -3])
/
V
/
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita	
stabilní	nestabilní
(g) Typ	
uzel	ohnisko
sedlo
ostatní
x' =x(x - y + 2) 5. Studujeme autonomní systém
y' =y - x
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace
A(x(x-y + 2))=                     |.(^-y + 2)) =
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [0,0]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       J{ [0,0]) =
V                  /
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita
sedlo                         ostatní
stabilní	nestabilní
(g) Typ	
uzel	ohnisko
x' =2 - x - y 6. Studujeme autonomní systém     t    x(x-1)
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f] ;
(b) Najděte derivace
é(2-*- ')-
d_ dx
(^)
d /x(a--1)\ dy\     y     l
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [1,1]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       ^([1,1]) =
V
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
/
(f) Stabilita	
stabilní	nestabilní
(g) Typ	
uzel	ohnisko
sedlo
ostatní
x' =
xy
7. Studujeme autonomní systém           y + 1
y' =2 + x + y
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f]
(b) Najděte derivace d / xy \ _
dxVy + l) Í(2 + X + y)-
-^t)
dy\y 3y\
— (2 + x + y\
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [0, -2]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       J{ [0, -2]) =
V
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita
/
stabilní
(g) Typ
uzel
nestabilní ohnisko
sedlo
ostatn
xV-2) 8. Studujeme autonomní systém                 y
X
(a) Najděte stacionární body a zapište je ve tvaru [a, b] ;   [c, d] ;   [e, f]
(b) Najděte derivace
d /x2(x-2)x =                                     d /x2(x-2)x =
dx\      y      I                                        dy\      y      I
d /y2 - 1\ _                                          d i y2 - 1 x
5x\    x    /                                     5y\    a-    /
Následující úkoly se vztahují ke stacionárnímu bodu [2,1]!
/                            \
(c) Jakobiho matice:       J{ [2,1 ]) =
V                   /
(d) Charakteristický polynom (použijte proměnnou z):
(e) Vlastní hodnoty (oddělené čárkou):
(f) Stabilita
sedlo                         ostatn
stabilní	nestabilní
(g) Typ	
uzel	ohnisko