1
M2010 Matematika II 12. března 2009
Parciální derivace
Jak si ji představit?
c Silvie Kuráňová, Jan Vondra (PřF MU)
Zpět Dok Dok
2
Parciální derivace ­ výpočet
Nechť je zadána funkce dvou proměnných z = f(x, y) a naším úkolem je spočítat její parciální
derivace.
* Parciální derivace podle x . . . f(x,y)
x
Proměnnou y považujeme za konstantu tj. y = konst  f(x, y)
x  počítáme obyčejnou
derivaci funkce jedné proměnné podle x.
obdobně
* Parciální derivace podle y . . . f(x,y)
y
Proměnnou x považujeme za konstantu tj. x = konst  f(x, y)
y  počítáme obyčejnou
derivaci funkce jedné proměnné podle y .
Ukažme si vše na konkrétních příkladech. U každého příkladu najdete vždy komentované
řešení a interaktivní 3D obrázek.
Doporučujeme především přepínač pro zobrazení ,,stromu" modelu ­ můžete tak postupně
zobrazovat či schovávat jednotlivé objekty prostorového obrázku.
Zpět Dok Dok
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
x2
x
= 2x
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
x2
x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2  1 = 2.
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
x2
x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2  1 = 2.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
x2
x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2  1 = 2.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
x2
y
= 0,
3
Parciální derivace ­ příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
x2
x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2  1 = 2.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
x2
y
= 0,
zy(1, 0) = 0.
Zpět Dok Dok
4
Geometrický význam výpočtu, popis k obrázku 1
Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
* y = konst  šedá rovina ,,fx: rovina" procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
* ,,fx: rovina" protíná graf funkce  žlutá křivka ,, fx: řez "
* V tuto chvíli počítáme obyčejnou derivaci podle x:
f(x, y)
x  směrnice tečny ke žluté křivce ,, fx: řez " v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy  tangens úhlu
mezi přímkami ,,fx: tečna" a ,,fx: průmět tečny" . . . zx(1, 0) = 2.
4
Geometrický význam výpočtu, popis k obrázku 1
Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
* y = konst  šedá rovina ,,fx: rovina" procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
* ,,fx: rovina" protíná graf funkce  žlutá křivka ,, fx: řez "
* V tuto chvíli počítáme obyčejnou derivaci podle x:
f(x, y)
x  směrnice tečny ke žluté křivce ,, fx: řez " v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy  tangens úhlu
mezi přímkami ,,fx: tečna" a ,,fx: průmět tečny" . . . zx(1, 0) = 2.
Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
* x = konst  šedá rovina ,,fy: rovina" procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
* ,,fy: rovina" protíná graf funkce  žlutá přímka, která je již přímo tečnou, proto
označení ,, fy: řez = tečna "
* Výpočet obyčejné derivace podle y:
f(x), y
y  směrnice tečny ke žluté křivce ,, fy: řez = tečna " v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy  tangens úhlu
mezi přímkami ,, fy: řez = tečna " a ,,fy: průmět tečny". Tyto přímky jsou rovnoběžky,
tedy zy(1, 0) = 0.
Zpět Dok Dok
5
Parciální derivace ­ geometrický význam, příklad 1
Obrázek 1: Funkce z = x2
a její parciální derivace 1. řádu v bodě [1, 0].
Zpět Dok Dok
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
 x2 + y2
y
=
1
2

1
x2 + y2
 2y =
y
x2 + y2
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
 x2 + y2
y
=
1
2

1
x2 + y2
 2y =
y
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zy(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
6
Parciální derivace ­ příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
* Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
 x2 + y2
x
=
1
2

1
x2 + y2
 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
* Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
f(x,y)
y  x = konst  f(x, y)
y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
 x2 + y2
y
=
1
2

1
x2 + y2
 2y =
y
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zy(1, 1) =
1

12 + 12
=
1

2
.
Zpět Dok Dok
7
Parciální derivace ­ geometrický význam, příklad 2
Na obrázku 2 je zobrazena tečná rovina y = konst (šedá rovina) a její průnik s grafem
funkce (žlutá křivka). V modře vyznačeném bodě počítáme parciální derivaci podle x, což
je tangens úhlu, který svírá tečná rovina s rovinou xy (úhel mezi černými přímkami).
Obrázek 2: Graf funkce z = x2 + y2 a její parciální
derivace 1. řádu podle x v bodě [1, 1].
Zpět Dok Dok
8
Parciální derivace ­ příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
8
Parciální derivace ­ příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
8
Parciální derivace ­ příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
zx =
 ln x2 + y2
x
=
1
x2 + y2

x
x2 + y2
=
x
x2 + y2
.
8
Parciální derivace ­ příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
f(x,y)
x  y = konst  f(x, y)
x  derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
zx =
 ln x2 + y2
x
=
1
x2 + y2

x
x2 + y2
=
x
x2 + y2
.
Parciální derivace ­ geometrický význam, příklad 3
Obdobná situace jako u příkladu 2, nyní ovšem počítáme parciální derivace podle x v obecném
bodě. Tento obecný bod je na obrázku 3 reprezentován jedním konkrétním (modrým)
bodem.
Zpět Dok Dok
9
Obrázek 3: Geometrický význam parciální derivace 1. řádu podle x
v bodě, graf funkce z = ln x2 + y2.
Zpět Dok Dok