Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 1 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Diferenciální počet funkcí více proměnných interaktivní sbírka příkladů a testových otázek Silvie Kuráňová a Jan Vondra Prosinec 2008 -3 -2 y -3 -1,0 -1 -2 x -0,5 -1 0 0 0,0 1 0,5 z 1 2 1,0 3 1,5 2 3 Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 2 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Instrukce k testům Práce s 3D obrázky Všechny grafy funkcí dvou proměnných jsou zobrazeny jako 3D obrázky, které je možné ovládat, tj. libovolně natáčet, posunovat, zvětšovat, měnit osvětlení apod. V řešených příkladech slouží k ovládání grafů funkcí panel, v testech pak pravé tlačítko myši. Panel zobrazíme či schováme kliknutím na modrý trojúhelníček v levém horním rohu obrázku, může vypadat například1 takto: Ovládání modelu naznačují jednotlivé ikony na panelu. Panel je rozdělen na tři části. První zleva obsahuje tlačítka pro otáčení kolem bodu, otáčení kolem přímky, posunutí a zvětšení či zmenšení objektu. V druhé části panelu nás bude zajímat především tlačítko se symbolem domečku ­ umožňuje návrat k výchozímu pohledu. Dále je například možné zobrazit z jakých částí je graf složen, popřípadě některé části skrýt. V poslední části najdeme tlačítko na přepínání mezi perspektivním a pravoúhlým promítáním. Tlačítko pro režim vykreslení modelu, zde obzvláště doporučujeme vyzkoušet volby ,,Průhledné" a ,,Drátový model". Rovněž nabídka osvětlení je velmi bohatá, ale to již čtenář jistě prozkoumá sám. Poslední tlačítko umožňuje zvolit barvu pozadí, tedy například volbou žluté zvýšit kontrast při promítání ve výuce apod. Všechny grafy funkcí v tomto textu mají cihlovou barvu, jsou opatřeny souřadnými osami a na každé z os je žlutě vyznačen jednotkový bod. Výjimečně je z technického hlediska volen jiný bod na ose z a čtenář je na tento fakt upozorněn. U složitějších modelů je vždy uveden popis modelu. Navíc všechny 3D modely (narozdíl od 2D grafiky) mají bílé pozadí. 1Vzhled panelu závisí na verzi a jazyku Acrobat Readeru. Následující obrázek i text se týkají verze 8.1 v češtině. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 3 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Práce s testy Motto: ,,Cvičení dělá mistra." Ověřit si znalost dané látky je možné prostřednictvím interaktivních testů umístěných v závěru každé kapitoly. Začátek testu je nutno zahájit stisknutím volby Start testu. Test nebude možno ukončit dokud nezodpovíte všechny otázky. Typy otázek v testech 1. Výběr z možností, právě jedna správná odpověď. (a) špatně (b) špatně (c) správně (d) špatně 2. Výběr z možností, více správných odpovědí. správně špatně správně špatně 3. Zápis vlastní odpovědi. Do pole zapište výraz vlevo od rovnítka. xy = 4. Zápis vlastní odpovědi do skupiny polí, tj. tlačítko Ans ovládá postupně jednotlivá políčka. Do pole zapište výraz vlevo od rovnítka. 1 + 1 2 = + Počet správných odpovědí: Správná odpověď: Test ukončíte kliknutím na Konec testu. Stisknutím volby Výsledky se zobrazí správné odpovědi a u pole pro zápis vlastní odpovědi se objeví tlačítko Ans (do té doby neviditelné). Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 4 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Správné odpovědi Pokud si práci s testem vyzkoušíte, zjistíte, že správné odpovědi jsou po skončení testu a po stisku tlačítka Výsledky vyznačeny symbolem a nesprávné symbolem . V případě chybné odpovědi je správná varianta zvýrazněna symbolem G. Pokud bylo špatně zodpovězeno pole pro vlastní odpověď, objeví se kolem něj červený rámeček a správnou variantu si můžete prohlédnout v poli za textem ,,Správná odpověď:" po stisknutí tlačítka Ans. Toto pole je v rámci testu ,,Typy otázek v testech" umístěno na jeho konci a také v pravém panelu obrazovky (viz. str. 3). V testech na konci kapitol je toto pole zobrazováno pouze v pravém panelu obrazovky. Bodové hodnocení Získané body se zobrazí po ukončení testu červeně vedle každé otázky (případně podotázky). Standardní bodové ohodnocení je 1 bod za správnou odpověď (u otázek typu 1, 3 a 4) a záporné body za výběr chybné varianty u otázky druhého typu. Zápis matematiky v testech K zápisu odpovědí do matematického pole používáme následující notaci: * Desetinná čísla: Desetinou čárku pište jako tečku, čili 1.2 místo 1,2. * Ludolfovo číslo jako pi, Eulerovo číslo jako e. * Znak dělení: Použte lomítko /. * Znak násobení: Symbol *, např. 4*x pro 4x. * Mocnina: Symbol ^, např. 4*x^3 pro 4x3 , 12*x^(-6) pro 12x-6 . * Odmocnina: x zapište jako sqrt(x) nebo x^(1/2). Pozor! výraz x^1/2 není x. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 5 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra * Závorky: Je možno použít kulaté ( ), hranaté [ ] či složené { }. Závorky je nutné! uvádět, vymezují argumenty funkcí, definují pořadí operací. Pište sin(x) raději než sin x, 4*x*(x^2+1)^3 pro 4x(x2 + 1)3 , 4^(2*x+1) pro 42x+1 . Nepište sin^2(x) pro sin2 (x), ale (sin(x))^2. * Funkce, které můžete použít: ­ Trigonometrické: sin, cos, tan, cot, sec, csc. ­ Inverzní trigonometrické: asin, acos, atan. ­ Logaritmus: log či ln (přirozený logaritmus), př. ln(x). ­ Exponenciála: ex můžete zadat jako exp(x) nebo e^x. Vyzkoušejte si zápis matematiky! 1. 1, 5 = 2. sin(2x)3 = není totéž jako sin3 2x = 3. (x2 - 1)(x2 + 1) = 4. ln x 2 = 5. y 1+x2y2 = 6. ex2 + 3y = 7. -2x4 + x2 y + y2 x + 1 = 8. (log a)2 = Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 6 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 3. Parciální a směrové derivace Příklad 3.1. Vypočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkce z = ln x2 + y2. Řešení. Při výpočtu parciální derivace podle promnné x považujeme proměnnou y za konstantu, tj. zx = 1 x2 + y2 1 2 1 x2 + y2 2x = x x2 + y2 , zxx = 1(x2 + y2 ) - x2x (x2 + y2)2 = -x2 + y2 (x2 + y2)2 , zxy = x(-1) 1 (x2 + y2)2 2y = -2xy (x2 + y2)2 . Analogicky: zy = 1 x2 + y2 1 2 1 x2 + y2 2y = y x2 + y2 , zyy = 1(x2 + y2 ) - y2y (x2 + y2)2 = x2 - y2 (x2 + y2)2 . Na obrázku 1 je zobrazena šedá rovina y = konst., žlutě její průnik s grafem funkce. V modře vyznačeném bodě počítáme parciální derivaci podle x, což je tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy (úhel mezi černými přímkami). Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 7 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Obrázek 1: Graf funkce z = ln x2 + y2, geometrický význam parciální derivace podle x v bodě. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 8 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Příklad 3.2. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2 ) v bodě [-1, 1] ve směru vektoru u = (1, 2). Řešení. Přímým dosazením do definice a využitím l'Hospitalova pravidla dostáváme f(1,2)(1, 1) = lim t0 arctg [(1 + t)2 + (-1 + 2t)2 ] - arctg 2 t = = lim t0 arctg(2 - 2t + 5t2 ) - arctg 2 t = = lim t0 -2 + 10t 1 + (2 - 2t + 5t2)2 = - 2 5 . Situace je zobrazena na obrázku 2. V modrém bodě [1, -1] počítáme směrovou derivaci ve směru vektoru u = (1, 2). Šedá rovina je určena modrým bodem, směrem u a směrem osy z. Žlutě je označen její průnik s grafem funkce. Tečna k průniku svírá s rovinou xy úhel, jehož tangens je roven námi počítané derivaci v bodě (v obrázku se jedná o úhel mezi černými přímkami). Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 9 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Obrázek 2: Graf funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2 ), geometrický význam směrové derivace v bodě. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 10 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Příklad 3.3. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = x2 + y2 v bodě [1, 1] ve směru vektoru u = (1, 0). Řešení. Přímým dosazením do definice a následným využitím l'Hospitalova pravidla dostá- váme f(1,0)(1, 1) = lim t0 (1 + t)2 + 12 - 12 + 12 t = lim t0 1 + 2t + t2 + 1 - 2 t = = lim t0 2 + 2t + t2 - 2 t = lim t0 1 2 1 2+2t+t2 (2t + 2) 1 = = 1 2 1 2 2 = 2 2 . V tomto příkladu jsme počítali směrovou derivaci v bodě ve směru (1, 0). Všimněme si, že obrázek 3 je obdobný jako obrázek 1. Jinými slovy: Parciální derivace podle x je směrová derivace ve směru (1, 0) a parciální derivace podle y je směrová derivace ve směru (0, 1). Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 11 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Obrázek 3: Graf funkce f(x, y) = x2 + y2. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 12 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Parciální derivace ­ test 1 1. Rozhodněte, zda platí: Nechť funkce f má v okolí bodu [x0, y0] parciální derivace fx, fy a smíšenou parciální derivaci fxy, která je v bodě [x0, y0] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální derivace fyx(x0, y0) a platí: fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0) (a) ano, tvrzení platí (b) ne, tvrzení neplatí 2. Najděte parciální derivace 1. řádu funkce z = x3 + 2x2 y + 3xy2 + 4x - 5y + 100. zx = zy = 3. Najděte všechny parciální derivace prvního řádu funkce f(x, y) = sin(x y) a vyhodnoťte je v bodě [ 3 , 4]. fx = fx( 3 , 4) = fy = fy( 3 , 4) = 4. Odpovězte: (a) Kolik smíšených parciálních derivací třetího řádu může mít funkce dvou proměn- ných? (b) Jestliže jsou všechny její smíšené derivace spojité, kolik různých hodnot mohou mít v daném bodě? 5. Smíšená parciální derivace 2. řádu funkce z = cos x2 y je . Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 13 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Rozhodněte zda funkce z = x + y x - y vyhovuje rovnici x z x + 2y z y = 0. (a) vyhovuje (b) nevyhovuje 7. Rozhodněte zda funkce z = x2 + y2 vyhovuje rovnici x z x + y z y = z. (a) vyhovuje (b) nevyhovuje 8. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce z = x2 (1 + y2 ). 2 z x2 = 2 z xy = 2 z y2 = Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 14 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Parciální derivace ­ test 2 1. Rozhodněte, zda platí: Má-li funkce f : R2 R obě parciální derivace v bodě [x0, y0], pak je v tomto bodě spojitá. (a) ano, věta platí (b) ne, věta neplatí 2. Najděte parciální derivace 1. řádu funkce z = x sin(x + 2y). zx = zy = 3. Najděte všechny parciální derivace prvního řádu funkce z = arctan x y a vyhodnoťte je v bodě [-1, 1]. zx = zx(-1, 1) = zy = zy(-1, 1) = 4. Zodpovězte: (a) Kolik parciálních derivací třetího řádu může mít funkce dvou proměnných? (b) Jestliže jsou všechny tyto smíšené derivace spojité, kolik různých hodnot mohou mít v daném bodě? 5. Rozhodněte zda funkce w = x2 + yz vyhovuje rovnici x w x + y w y + z w z = 2w. (a) vyhovuje (b) nevyhovuje Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 15 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Rozhodněte zda funkce z = xey vyhovuje rovnici x z x = z y . (a) vyhovuje (b) nevyhovuje 7. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce w = x3 y3 z3 . 2 w x2 = 2 w y2 = 2 w z2 = 2 w xy = 2 w xz = 2 w yz = 8. Smíšená parciální derivace 2. řádu funkce z = ln x2 + y2 je Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 16 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Parciální derivace ­ test 3 1. Rozhodněte, zda platí: Nechť funkce f má v okolí bodu [x0, y0] parciální derivace fx, fy a smíšenou parciální derivaci fxy. Pak existuje také smíšená parciální derivace fyx(x0, y0) a platí: fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0) (a) ano, tvrzení platí (b) ne, tvrzení neplatí 2. Najděte parciální derivace 1. řádu funkce z = arctan x - y 1 + xy . zx = zy = 3. Najděte všechny parciální derivace prvního řádu funkce f(x, y) = y sin x a vyhodnoťte je v bodě [ 3 , 4]. fx = fx( 3 , 4) = fy = fy( 3 , 4) = 4. Nechť existují všechny parciální derivace třetího řádu funkce tří proměnných a jsou spojité. Kolik různých hodnot mohou mít tyto derivace v daném bodě? 5. Vyhovuje funkce w = 1 x2 + y2 + z2 rovnici x w x + y w y + z w z = -2w? (a) vyhovuje (b) nevyhovuje Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Parciální a směrové derivace Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 17 z 17 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Rozhodněte zda funkce z = arccos x y vyhovuje rovnici 2 z xy = - 2 z yx . (a) vyhovuje (b) nevyhovuje 7. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce z = xey - yex . 2 z x2 = 2 z xy = 2 z y2 = Počet správných odpovědí: