Lokální extrémy Řešené příklady 6. Lokální extrémy Vyšetřete lokální extrémy následujících funkcí více proměnných: Příklad 6.1. f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 + 5x + 2y. Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 2x + 2y + 5 = 0, fy = 2x + 6y + 2 = 0. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R2 a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry. 2 2 -5 2 6 -2 2 2 -5 0 4 3 2 2 -5 0 1 3 4 1 0 -13 4 0 1 3 4 . Nalezli jsme stacionární bod a = -13 4 , 3 4 . Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí fxx = 2, fxy = 2, fyy = 6. Odtud plyne, že f = f (a) = 2 2 2 6 . Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium (viz učební text). Platí D1(a) = 2 > 0 a D2(a) = 8 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a = -13 4 , 3 4 lokální minimum funkce f. Příklad 6.2. f(x, y) = 2xy - 3x2 - 2y2 + x + y. Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 2y - 6x + 1 = 0, fy = 2x - 4y + 1 = 0. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R2 a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a = = 3 10 , 4 10 . Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí fxx = -6, fxy = 2, fyy = = -4. Odtud plyne, že f = f (a) = -6 2 2 -4 . Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a) = -6 < 0 a D2(a) = 20 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a = 3 10 , 4 10 lokální maximum funkce f. Příklad 6.3. f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 . Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 6x2 + y2 + 10x = 0, ÚM FSI VUT v Brně 19 Lokální extrémy Řešené příklady fy = 2xy + 2y = 0. Jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne 2y(x + 1) = 0. Odtud x = -1 y = 0. Dosazením x = -1 do první rovnice dostáváme 6 + y2 - 10 = 0, odkud y = 2. Dále dosazením y = 0 dostáváme 6x2 + 10x = 0, odkud x = 0 x = -5 3 . Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a1 = [0, 0], a2 = [-5 3 , 0], a3 = [-1, 2], a4 = [-1, -2]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (ai), i = 1, 2, 3, 4. Platí fxx = 12x + 10, fxy = 2y, fyy = 2x + 2. Odtud plyne, že f = 12x + 10 2y 2y 2x + 2 . Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a1) = 10 0 0 2 , f (a2) = -10 0 0 -4 3 , f (a3) = -2 4 4 0 , f (a4) = -2 -4 -4 0 . Určíme hlavní minory matic f (ai) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a1) = 10 > 0, D2(a1) = 20 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a1 lokální minimum funkce f. Dále D1(a2) = -10 < 0, D2(a2) = 40 3 > 0. V bodě a2 nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D1(a3) = -2 < 0, D2(a3) = -16 < 0 a D1(a4) = -2 < 0, D2(a4) = -12 < 0. Podle kritéria nenastává v bodě a3 ani v bodě a4 lokální extrém funkce f. Příklad 6.4. f(x, y) = x3 + xy2 - 2xy - 5x. Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 3x2 + y2 - 2y - 5 = 0, fy = 2xy - 2x = 0. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne x(y-1) = 0. Odtud x = 0y = 1. Dosazením x = 0 do první rovnice dostáváme y2 - 2y - 5 = 0, odkud y = 1 6. Dále dosazením y = 1 dostáváme 3x2 - 6 = 0, odkud x = 2. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a1 = [ 2, 1], a2 = [- 2, 1], a3 = [0, 1 + 6], a4 = [0, 1 - 6]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (ai), i = 1, 2, 3, 4. Platí fxx = 6x, fxy = 2y - 2, fyy = 2x. Odtud plyne, že f = 6x 2y - 2 2y - 2 2x . Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a1) = 6 6 0 0 2 2 , f (a2) = -6 2 0 0 -2 2 , f (a3) = 0 2 6 2 6 0 , f (a4) = 0 -2 6 -2 6 0 . Určíme hlavní minory matic f (ai) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a1) = 6 2 > 0, D2(a1) = 24 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a1 lokální minimum funkce f. Dále D1(a2) = -6 2 < 0, D2(a2) = 24 > 0. V bodě a2 nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D1(a3) = 0, D2(a3) = -24 < 0 a D1(a4) = 0, D2(a4) = -24 < 0. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a3, a4 dochází k lokálním extrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 1 + 6. Zřejmě platí f x, 1 + 6 = x3 + 1 + 6 2 x - 2x 1 + 6 - 5x = x3 . Je-li x > 0, pak f x, 1 + 6 > 0, Je-li x < 0, pak f x, 1 + 6 < 0. Odtud plyne, že v bodě a3 není lokální extrém. Podobně postupujeme v případě bodu a4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 1 - 6. Zřejmě platí f x, 1 - 6 = x3 + 1 - 6 2 x - 2x 1 - 6 - 5x = x3 . Je-li x > 0, pak f x, 1 - 6 > 0, Je-li x < 0, pak f x, 1 - 6 < 0. Odtud plyne, že ani v bodě a4 není lokální extrém. ÚM FSI VUT v Brně 20 Lokální extrémy Řešené příklady Příklad 6.5. f(x, y) = 2x3 - 3xy + 2y3 + 1. Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 6x2 - 3y = 0, fy = -3x + 6y2 = 0. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y = 2x2 . Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6(2x2 )2 - 3x = 0, odkud x = 0 x = 1 2 . Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a1 = [0, 0], a2 = 1 2 , 1 2 . Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a1) a f (a2). Platí fxx = 12x, fxy = -3, fyy = 12y. Odtud plyne, že f = 12x -3 -3 12y . Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a1) = 0 -3 -3 0 , f (a2) = 6 -3 -3 6 . Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a1) = 0, D2(a1) = -9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a1 nastává extrém funkce f. Dále D1(a2) = 6 > 0, D2(a2) = 27 > 0. V bodě a2 nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a1. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou x, tj. přímkou y = 0. Zřejmě platí f(x, 0) = 2x3 + 1. Je-li x > 0, pak f(x, 0) > 1 = f(a1). Je-li x < 0, pak f(x, 0) < 1 = f(a1). Odtud plyne, že v bodě a2 není lokální extrém. Příklad 6.6. f(x, y, z) = x3 + y2 + 1 2 z2 - 3xz - 2y + 2z. Řešení. Sestavíme soustavu rovnic fx = 3x2 - 3z = 0, fy = 2y - 2 = 0, fz = z - 3x + 2 = 0. Ze druhé rovnice plyne y = 1. Ze třetí plyne z = 3x-2. Dosazením do první rovnice dostáváme 3x2 -3(3x- 2) = 0, odkud x = 1 x = 2. Soustava má dvě řešení a1 = [1, 1, 1], a2 = [2, 1, 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a1) a f (a2). Platí fxx = 6x, fyy = 2, fzz = 1, fxy = 0, fxz = -3, fyz = 0. Odtud plyne, že f = 6x 0 -3 0 2 0 -3 0 1 . Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a1) = 6 0 -3 0 2 0 -3 0 1 , f (a2) = 12 0 -3 0 2 0 -3 0 1 . Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a1) = 6 > 0, D2(a1) = 12 > 0, D3(a1) = -6 < 0. Podle kritéria nenastává v bodě a1 lokální extrém funkce f. Dále D1(a2) = 12 > 0, D2(a2) = 24 > 0, D3(a2) = 6 > 0. V bodě a2 nastává lokální minimum funkce f. ÚM FSI VUT v Brně 21 Lokální extrémy Řešené příklady Příklad 6.7. f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z. Řešení. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava fx = 3x2 + 12y = 0, fy = 2y + 12x = 0, fz = 2z + 2 = 0. Z třetí rovnice plyne z = -1. Ze druhé plyne y = -6x. Dosazením do první rovnice dostáváme x2 - 24x = = 0, odkud x = 0 x = 24. Soustava má dvě řešení a1 = [0, 0, -1], a2 = [24, -144, -1]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a1) a f (a2). Platí fxx = 6x, fyy = 2, fzz = 2, fxy = 12, fxz = 0, fyz = 0. Odtud plyne, že f = 6x 12 0 12 2 0 0 0 2 . Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a1) = 0 12 0 12 2 0 0 0 2 , f (a2) = 144 12 0 12 2 0 0 0 2 . Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D1(a1) = 0, D2(a1) = -144 < 0, D3(a1) = -288 < 0. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a1 nastává lokální extrém funkce f. Dále D1(a2) = 144 > 0, D2(a2) = 288 > 0, D3(a2) = 288 > 0. V bodě a2 nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a1. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou x = x, y = 0, z = -1. Zřejmě platí f(x, 0, -1) = x3 - 1. Je-li x > 0, pak f(x, 0, -1) > -1 = f(a1), Je-li x < 0, pak f(x, 0, -1) < -1 = f(a1). Odtud plyne, že v bodě a1 není lokální extrém. Příklad 6.8. f(x, y) = e x 2 x + y2 . Řešení. Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava fx = e x 2 1 2 x + y2 + e x 2 = e x 2 x 2 + y2 2 + 1 = 0, fy = 2ye x 2 = 0. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y = 0. Dosazením do první rovnice dostáváme x 2 +1 = 0. Odtud x = -2. Soustava má jediné řešení a = [-2, 0]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a f (a). Platí fxx = 1 4 e x 2 x + y2 + 4 , fxy = ye x 2 , fyy = 2e x 2 . Odtud plyne, že f = 1 4 e x 2 x + y2 + 4 ye x 2 , ye x 2 2e x 2 , f (a) = 1 2e 0 0 2 e . Určíme hlavní minory matice. Platí D1(a) = 1 2e > 0, D2(a) = 1 e2 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. ÚM FSI VUT v Brně 22 Lokální extrémy Řešené příklady Příklad 6.9. f(x, y) = x2 + y2 e-x2 -y2 . Řešení. Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava fx = 2x(1 - x2 - y2 ) ex2+y2 = 0, fy = 2y(1 - x2 - y2 ) ex2+y2 = 0. Nalezneme stacionární body. Z první rovnice plyne x = 0 x2 + y2 = 1 a ze druhé rovnice plyne y = 0 x2 + y2 = 1. Nalezli jsme stacionární bod a = [0, 0] a body b na kružnici x2 + y2 = 1. Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí fxx = 2(1 - x2 - y2 )(1 - 2x2 ) - 4x2 ex2+y2 , fxy = -4xy(2 - x2 - y2 ) ex2+y2 , fyy = 2(1 - x2 - y2 )(1 - 2y2 ) - 4y2 ex2+y2 . Odtud plyne, že f = 2(1-x2 -y2 )(1-2x2 )-4x2 ex2+y2 -4xy(2-x2 -y2 ) ex2+y2 -4xy(2-x2 -y2 ) ex2+y2 2(1-x2 -y2 )(1-2y2 )-4y2 ex2+y2 , f (a) = 2 0 0 2 , f (b) = -4x2 e -4xy e -4xy e -4y2 e . Určíme hlavní minory matic. Platí D1(a) = 2 > 0, D2(a) = 4 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. D1(b) = -4x2 e > 0, D2(b) = 0. Podle kritéria nelze rozhodnout. Platí však f(b) = 1 e c ec pro libovolné c 0. Odtud plyne, že na x2 + y2 = 1 nastává neostré maximum f. Příklad 6.10. f(x, y) = e2x (x + y2 + 2y). Řešení. Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava fx = e2x (2y2 + 2x + 4y + 1) = 0, fy = 2e2x (y + 1) = 0. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y = -1. Dosazením do první rovnice dostáváme x = 1 2 . Soustava má jediné řešení a = 1 2 , -1 . Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí fxx = 4e2x (x + y2 + 2y + 1), fxy = 4e2x (y + 1), fyy = 2e2x . Odtud plyne, že f = 4e2x (x + y2 + 2y + 1) 4e2x (y + 1) 4e2x (y + 1) 2e2x , f (a) = 2e 0 0 2e . Určíme hlavní minory matice. Platí D1(a) = 2e > 0, D2(a) = 4e2 > 0. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. ÚM FSI VUT v Brně 23