Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících
funkcí dvou proměnných:
Příklad 1.1. f(x, y) =

4 - x2 + y2 - 9.
Řešení. (4 - x2
 0)  (y2
- 9  0)  (x2
 4)  (y2
 9)  (|x|  2)  (|y|  3)  x  -2, 2  y 
(-, -3  3, ). Tedy Df = -2, 2 × (-, -3  3, ) . Viz Obr. 1.1.
Obr. 1.1: Df pro f(x, y) =

4 - x2 + y2 - 9
Příklad 1.2. f(x, y) = ln xln (y - x) .
Řešení. xln (y - x) > 0  (x > 0  ln (y - x) > 0)  (x < 0  ln (y - x) < 0)  (x > 0  y - x > 1) 
 (x < 0  0 < y - x < 1).
Tedy Df = {[x, y]  R × R : (x > 0  y > x + 1)  (x < 0  y < x + 1  y > x)}. Viz Obr. 1.2.
Obr. 1.2: Df pro f(x, y) = ln xln (y - x)
Příklad 1.3. f(x, y) =

x sin y.
Řešení. x sin y  0  (x  0  sin y  0)  (x  0  sin y  0).
Tedy Df = {[x, y]  R × R : (x  0  y  
k=0 2k, (2k + 1) )  (x  0  y  k=0
(2k - 1), 2k )}. Viz
Obr. 1.3.
Obr. 1.3: Df pro f(x, y) =

x sin y
ÚM FSI VUT v Brně 1
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady
Příklad 1.4. f(x, y) = (1 - ln y)ln (-x).
Řešení. (1 - ln y)ln (-x)  0  (1 - ln y  0  ln (-x)  0)  (1 - ln y  0  ln (-x)  0) 
 (ln y  1  x  -1)  (ln y  1  0 > x  -1).
Tedy Df = {[x, y]  R × R : (0 < y  e  x  -1)  (y  e  -1  x < 0)}. Viz Obr. 1.4.
Obr. 1.4: Df pro f(x, y) = (1 - ln y)ln (-x)
Příklad 1.5. f(x, y) = ln (x2
- y) +

x - 2y + 4.
Řešení. x2
- y > 0  x - 2y + 4  0  y < x2
 y  1
2 x + 2.
Tedy Df = {[x, y]  R × R : y < x2
 y  1
2 x + 2}. Viz Obr. 1.5.
Obr. 1.5: Df pro f(x, y) = ln (x2
- y) +

x - 2y + 4
Příklad 1.6. f(x, y) = ln x + y
2x .
Řešení. x + y
2x > 0  2x2
+y
2x > 0  (2x2
+ y > 0  2x > 0)  (2x2
+ y < 0  2x < 0). Tedy Df = {[x, y] 
R × R : (x > 0  y > -2x2
)  (x < 0  y < -2x2
)}. Viz Obr. 1.6.
Obr. 1.6: Df pro f(x, y) = ln x + y
2x
Příklad 1.7. f(x, y) = 1 - (x2 + y)2.
Řešení. 1 - (x2
+ y)2
 0  (x2
+ y)2
 1  |x2
+ y|  1  (x2
+ y  0  -x2
- y  1)  (x2
+ y  0 
 x2
+ y  1)  0  x2
+ y  1  -1  x2
+ y  0  -1 - x2
 y  1 - x2
.
Tedy Df = {[x, y]  R × R : -1 - x2
 y  1 - x2
}. Viz Obr. 1.7.
ÚM FSI VUT v Brně 2
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady
Obr. 1.7: Df pro f(x, y) = 1 - (x2 + y)2
Příklad 1.8. f(x, y) = sin (x2 + y2) .
Řešení. sin (x2
+ y2
)  0  2k  (x2
+ y2
)  (2k + 1), k  Z  2k  x2
+ y2
 2k + 1, kde k  Z.
Tedy Df = 
k=0{[x, y]  R × R : 2k  x2
+ y2
 2k + 1}. Viz Obr. 1.8.
Obr. 1.8: Df pro f(x, y) = sin (x2 + y2)
Příklad 1.9. f(x, y) = arcsin 2y(1 + x2
) - 1 .
Řešení. -1  2y(1 + x2
) - 1  1  0  2y(1 + x2
)  2  0  y  1
1+x2 .
Tedy Df = {[x, y]  R × R : 0  y  1
1+x2 }. Po vyšetření průběhu funkce 1
1+x2 již snadno nakreslíme
definiční obor. Viz Obr. 1.9.
Obr. 1.9: Df pro f(x, y) = arcsin 2y(1 + x2
) - 1
Příklad 1.10. f(x, y) = ln (1 + x2 - y2 - 9) + arctg 15 - x2 - y2 - 2x.
Řešení. 1 + x2 - y2 - 9 > 0  15 - x2
- y2
- 2x  0  x2
- y2
- 9  0  x2
+ y2
+ 2x  15.
Tedy Df = {[x, y]  R × R : x2
- y2
 9  (x + 1)2
+ y2
 16}. Viz Obr. 1.10.
Obr. 1.10: Df pro f(x, y) = ln (1 + x2 - y2 - 9) + arctg 15 - x2 - y2 - 2x
ÚM FSI VUT v Brně 3
Grafy funkce dvou proměnných (metoda řezů) 4
2. Grafy funkce dvou proměnných (metoda řezů)
Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí:
Příklad 2.1. f(x, y) =
x
y
 ln (3x - 2y) rovinou z = 0.
Řešení. Předně vyšetříme definiční obor. Platí [x, y]  Df  y = 0  3x - 2y > 0  y = 0  y < 3
2 x. Odtud
plyne, že Df = {[x, y]; y < 3
2 x  y = 0}. Viz Obrázek 2.1. Najít řez rovinou z = 0 znamená řešit rovnici
x
y  ln (3x - 2y) = 0. Platí x
y  ln (3x - 2y) = 0  x = 0  3x - 2y = 1  x = 0  y = 3
2 x - 1
2 . Odtud
a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz Obrázek 2.1.
Obr. 2.1:
Příklad 2.2. f(x, y) = x3
+ x2
- y2
rovinou z = 0.
Řešení. Definiční obor funkce f(x, y) = x3
+ x2
- y2
je celá rovina R2
. Najít řez rovinou z = 0 znamená
vyřešit rovnici x3
+ x2
- y2
= 0. Platí y2
= x3
+ x2
a odtud y = 

x3 + x2. Odtud plyne, že hledaný řez
je symetrický podle osy x. Vyšetříme průběh funkce g(x) = 

x3 + x2. Předně x  Dg  x2
(x + 1) 
0  x  -1. Tedy Dg = -1, ). Určíme první derivaci g (x) = 1
2
3x2
+2x
x3+x2
= 1
2
x(3x+2)

x3+x2
. Definiční obor
derivace g je Dg = (-1, ) - {0}. Jediný nulový bod je x = -2
3 . Dosazením vhodných bodů zjistíme
signum g na příslušných intervalech. Na (-1, -2
3 ) je g kladná, na (-2
3 , 0) záporná a na (0, ) kladná.
Odtud plyne, že funkce g je na (-1, -2
3 ) rostoucí, na (-2
3 , 0) klesající a na (0, ) rostoucí. V bodě x = -2
3
je maximum g(-2
3 ) = 2

3
9  0.38 a v bodě x = 0 je minimum g(0) = 0. Druhá derivace po úpravě vychází
g (x) = 1
4
x(3x+4)
(x+1)

x2(x+1)
. Odtud plyne, že na intervalu (-1, 0) je funkce g konkávní a na (0, ) konvexní.
Bod x = 0 není inflexní bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g
a tím i obrázek celého řezu. Viz Obrázek 2.2.
Obr. 2.2:
ÚM FSI VUT v Brně 4
Grafy funkce dvou proměnných (metoda řezů) 5
Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných.
Příklad 2.3. f(x, y) = x2 + y2.
Řešení. Definiční obor funkce f(x, y) = x2 + y2 je celá rovina R2
a Hf = 0, ). Řezy rovinami z = c
jsou pro z > 0 kružnice x2
+ y2
= c2
, pro z = 0 bod [0, 0] a pro c < 0 jsou řezy prázdné množiny. Řezy
rovinami y = c jsou tvaru z =

x2 + c2. Po umocnění dostáváme z2
- x2
= c2
, z  0. Tedy řezy jsou pro
c = 0 ramena rovnoosých hyperbol a pro c = 0 je řez z = |x|. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy.
Viz Obrázek 2.3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = 2 a y = 1.
Obr. 2.3:
Příklad 2.4. f(x, y) = |x| + |y|.
Řešení. Pro f(x, y) = |x| + |y| platí, že Df = R2
a Hf = 0, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z > 0 tvořeny
čtyřmi úsečkami y = x  c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = 0 je řez bod [0, 0] a pro c < 0 jsou řezy
prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = |x| + c. Viz Obrázek 2.4.
Obr. 2.4:
Příklad 2.5. f(x, y) = 1 - (x + y).
Řešení. Pro f(x, y) = 1 - (x + y) platí, že [x, y]  Df  1 - (x + y)  0  y  1 - x. Tedy Df =
{[x, y], y  1-x}. Zřejmě Hf = 0, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z  0 přímky y = 1-x-c2
. Pro c < 0
jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru x = 1 - z2
- c, z  0. Tyto řezy jsou poloviny
parabol. Graf funkce f je na Obrázku 2.5.
Obr. 2.5:
Příklad 2.6. f(x, y) = e-x2
-y2
.
ÚM FSI VUT v Brně 5
Grafy funkce dvou proměnných (metoda řezů) 6
Řešení. Pro f(x, y) = e-x2
-y2
je Df = R2
a Hf = 0, 1 . Řezy rovinami z = c jsou pro z > 0 tvořeny
kružnicemi x2
+ y2
= ln 1
c . Pro z = 1 je řez bod [0, 0] a pro c  0 jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami
y = c jsou tvaru z = e-x2
-c2
. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne
rotací grafu funkce y = e-x2
okolo osy z. Viz Obrázek 2.6.
Obr. 2.6:
Příklad 2.7. f(x, y) = 1
x2+y2 .
Řešení. Pro f(x, y) = 1
x2+y2 je Df = R2
-{[0, 0]} a Hf = (0, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z > 0 tvořeny
kružnicemi x2
+ y2
= 1
c . Pro c  0 jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = 1
x2+c2 .
Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = 1
x2 okolo osy
z. Viz Obrázek 2.7.
Obr. 2.7:
Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému (O, x, y, z) zakreslete definiční obory následujících funkcí
tří proměnných.
Příklad 2.8. f(x, y, z) = 1 - x2 + y2 - z + 1 - x2 + y2 + z
Řešení. Pro f(x, y, z) = 1 - x2 + y2 - z + 1 - x2 + y2 + z platí [x, y, z]  Df  1- x2 + y2 -z 
0  1 - x2 + y2 + z  0  z  1 - x2 + y2  z  x2 + y2 - 1. Df = {[x, y, z] :
- 1  x  1, -

1 - x2  y 

1 - x2, x2 + y2 - 1  z  1 - x2 + y2}. Definiční obor je těleso
ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz Obrázek 2.8.
Obr. 2.8:
ÚM FSI VUT v Brně 6
Grafy funkce dvou proměnných (metoda řezů) 7
Příklad 2.9. f(x, y, z) = z - x2 + y2 + 6 - (x2 + y2 + z).
Řešení. Pro f(x, y, z) = z - x2 + y2 + 6 - (x2 + y2 + z) platí [x, y, z]  Df  z - x2 + y2 
0  6 - (x2
+ y2
+ z)  0  z  x2 + y2  z  6 - (x2
+ y2
). Df = {[x, y, z], -2  x  2, -

4 - x2 
y 

4 - x2, x2 + y2  z  6 - (x2
+ y2
)}. Definiční obor je těleso ohraničené shora paraboloidem a zdola
kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice x2
+ y2
= 4. Viz Obrázek 2.9.
Obr. 2.9:
Příklad 2.10. f(x, y, z) = 1 - (x2 + y2 + z2) + 7/5 - (x + z).
Řešení. Pro f(x, y, z) = 1 - (x2 + y2 + z2) + 7/5 - (x + z) platí [x, y, z]  Df  1 - (x2
+ y2
+ z2
) 
0 7
5 -(x+z)  0  x2
+y2
+z2
 1z  7
5 -x. Definiční obor je koule o poloměru 1 se středem v počátku,
ze které je rovinou odříznuta její část. Viz Obrázek 2.10.
Obr. 2.10:
ÚM FSI VUT v Brně 7