May 20, 2008 11:43
Robert Mařík, http://www.mendelu.cz/user/marik
Najděte lokální extrémy funkcí dvou proměnných.
Zkratky: LM=lokální maximum; lm=lokální minimum; sp=sedlo; ??=nelez rozhodnout podle
druhých derivací
Souřadnice bodů nejsou zrovna nejšikovněji zapsané, protože je vše generováno na počíači v Maplu.
Takže třeba {y = -9, x = 7} značí bod [7, -9]. Ale kažý by to měl pochopit a snad mi to laskavý
čtenář promine :).
1. z = x2
y2
- x2
- y2
Návod: zx = 2 xy2
- 2 x
zy = 2 x2
y - 2 y
Výsledek:
LM: {x = 0, y = 0};
sp: {x = 1, y = 1};
sp: {x = 1, y = -1};
sp: {x = -1, y = 1};
sp: {x = -1, y = -1};
2. z = x4
+ y4
- x2
- 2 xy - y2
Návod: zx = 4 x3
- 2 x - 2 y
zy = 4 y3
- 2 x - 2 y
Výsledek:
??: {y = 0, x = 0}
lm: {y = 1, x = 1};
lm: {x = -1, y = -1};
3. z = xy - x2
- y2
+ x + y
Návod: zx = y - 2 x + 1
zy = x - 2 y + 1
Výsledek:
LM: {y = 1, x = 1};
4. z = xy (4 - x - y)
Návod: zx = y (4 - x - y) - xy
zy = x (4 - x - y) - xy
Výsledek:
sp: {y = 0, x = 4};
sp: {y = 4, x = 0};
LM: {x = 4/3, y = 4/3};
sp: {y = 0, x = 0};
5. z = 2 x3
+ xy2
+ 5 x2
+ y2
Návod: zx = 6 x2
+ y2
+ 10 x
zy = 2 xy + 2 y
Výsledek:
LM: {x = -5/3, y = 0};
sp: {x = -1, y = -2};
sp: {x = -1, y = 2};
lm: {y = 0, x = 0};
6. z = 2 xy + 3 x2
+ 2 y2
+ 10
Návod: zx = 2 y + 6 x
zy = 2 x + 4 y
Výsledek:
lm: {y = 0, x = 0};
7. z = 9 x - 9 y - x2
- y2
Návod: zx = 9 - 2 x
zy = -9 - 2 y
Výsledek:
LM: {y = -9/2, x = 9/2};
8. z = x3
+ 2 xy + y3
Návod: zx = 3 x2
+ 2 y
zy = 2 x + 3 y2
Výsledek:
sp: {y = 0, x = 0};
LM: {y = -2/3, x = -2/3};
9. z = x2
+ y2
- 1/2 xy - 4 x + 4 y + 3
Návod: zx = 2 x - 1/2 y - 4
zy = 2 y - 1/2 x + 4
Výsledek:
lm: {y = -8/5, x = 8/5};
10. z = x4
+ y4
- 4 xy + 30
Návod: zx = 4 x3
- 4 y
zy = 4 y3
- 4 x
Výsledek:
lm: {y = -1, x = -1};
lm: {x = 1, y = 1};
sp: {y = 0, x = 0};
11. z = 3 x3
+ 3 x2
y - y3
- 15 x
Návod: zx = 9 x2
+ 6 xy - 15
zy = 3 x2
- 3 y2
Výsledek:
LM: x = -

5, y =

5 ;
lm: y = -

5, x =

5 ;
sp: {x = 1, y = 1};
sp: {x = -1, y = -1};
12. z = x3
+ y3
- 9 xy + 27
Návod: zx = 3 x2
- 9 y
zy = 3 y2
- 9 x
Výsledek:
lm: {y = 3, x = 3};
sp: {y = 0, x = 0};
13. z = x ln(x2
+ y)
Návod: zx = ln(x2
+ y) + 2 x2
x2+y
zy = x
x2+y
Výsledek:
sp: {x = 0, y = 1};
14. z = ln(1/6 x)+2 ln(y)+ln(12-x-y)
Návod: zx = x-1
- (12 - x - y)
-1
zy = 2 y-1
- (12 - x - y)
-1
Výsledek:
LM: {x = 3, y = 6};
1
May 20, 2008 11:43
Robert Mařík, http://www.mendelu.cz/user/marik
15. z = e1/2 x
x + y2
Návod: zx = 1/2 e1/2 x
x + y2
+ e1/2 x
zy = 2 e1/2 x
y
Výsledek:
lm: {y = 0, x = -2};
16. z = xy + 50 x-1
+ 20 y-1
Návod: zx = y - 50 x-2
zy = x - 20 y-2
Výsledek:
lm: {y = 2, x = 5};
17. z = sin(x) + sin(y) + sin(x + y)
Návod: zx = cos(x) + cos(x + y)
zy = cos(y) + cos(x + y)
Výsledek:
sp: {x = , y = };
LM: y = arctan(

3), x = arctan(

3) ;
lm: y = arctan(-

3), x = arctan(-

3) ;
18. z = xy ln(x2
+ y2
)
Návod: zx = y ln(x2
+ y2
) + 2 x2
y
x2+y2
zy = x ln(x2
+ y2
) + 2 xy2
x2+y2
Výsledek:
sp: {x = 1, y = 0};
sp: {x = -1, y = 0};
sp: {x = 0, y = -1};
sp: {x = 0, y = 1};
lm: x = 1/2

2

e-1, y = 1/2

2

e-1 ;
lm: x = -1/2

2

e-1, y = -1/2

2

e-1 ;
LM: y = 1/2

2

e-1, x = -1/2

2

e-1 ;
LM: x = 1/2

2

e-1, y = -1/2

2

e-1 ;
19. z = ln(x - y) - x2
+ 6 y
Návod: zx = (x - y)
-1
- 2 x
zy = - (x - y)
-1
+ 6
Výsledek:
LM: x = 3, y = 17
6 ;
20. z = ey
x2
+ 2 y + 2
Návod: zx = 2 ey
x
zy = ey
x2
+ 2 y + 2 + 2 ey
Výsledek:
lm: {x = 0, y = -2};
21. z = ln(x2
+ y)y
Návod: zx = 2 xy
x2+y
zy = y
x2+y + ln(x2
+ y)
Výsledek:
sp: {x = 1, y = 0};
sp: {x = -1, y = 0};
lm: x = 0, y = e-1
;
22. z = x2
+ xy + y2
- 4 ln(x) - 10 ln(y)
Návod: zx = 2 x + y - 4 x-1
zy = x + 2 y - 10 y-1
Výsledek:
lm: {x = 1, y = 2};
23. z = 2 x3
+ xy2
- 5 x2
+ y2
Návod: zx = 6 x2
+ y2
- 10 x
zy = 2 xy + 2 y
Výsledek:
sp: {x = 0, y = 0};
lm: {y = 0, x = 5/3};
24. z = 2 x3
+ xy2
+ 5 x2
+ y2
Návod: zx = 6 x2
+ y2
+ 10 x
zy = 2 xy + 2 y
Výsledek:
LM: {x = -5/3, y = 0};
sp: {x = -1, y = 2};
lm: {x = 0, y = 0};
sp: {x = -1, y = -2};
25. z = 2 xy - 3 x2
- 2 y2
+ 10
Návod: zx = 2 y - 6 x
zy = 2 x - 4 y
Výsledek:
LM: {x = 0, y = 0};
26. z = ln(x - y) - x2
+ y
Návod: zx = (x - y)
-1
- 2 x
zy = - (x - y)
-1
+ 1
Výsledek:
LM: {y = -1/2, x = 1/2};
27. z = 50 xy - 5 x-1
- 4 y-1
Návod: zx = 50 y + 5 x-2
zy = 50 x + 4 y-2
Výsledek:
lm: {x = -1/2, y = -2/5};
28. z = 9 xy + x-1
+ 3 y-1
Návod: zx = 9 y - x-2
zy = 9 x - 3 y-2
Výsledek:
lm: {y = 1, x = 1/3};
29. z = xy + 2 x-1
+ 32 y-1
Návod: zx = y - 2 x-2
zy = x - 32 y-2
Výsledek:
lm: {y = 8, x = 1/2};
30. z = x3
+ y3
- 18 xy + 215
Návod: zx = 3 x2
- 18 y
zy = 3 y2
- 18 x
Výsledek:
lm: {y = 6, x = 6};
sp: {y = 0, x = 0};
31. z = 2 x3
+ xy2
- 5 x2
+ y2
Návod: zx = 6 x2
+ y2
- 10 x
zy = 2 xy + 2 y
2
May 20, 2008 11:43
Robert Mařík, http://www.mendelu.cz/user/marik
Výsledek:
sp: {y = 0, x = 0};
lm: {x = 5/3, y = 0};
32. z = 3 x - x3
y2
+ 1
Návod: zx = 3 - 3 x2
y2
+ 1
zy = 2 3 x - x3
y
Výsledek:
sp: {y = 0, x = 1};
sp: {y = 0, x = -1};
33. z = x4
+ y4
- 4 xy
Návod: zx = 4 x3
- 4 y
zy = 4 y3
- 4 x
Výsledek:
sp: {y = 0, x = 0};
lm: {y = 1, x = 1};
lm: {y = -1, x = -1};
34. z = ex
x + y2
+ y
Návod: zx = ex
x + y2
+ y + ex
zy = ex
(2 y + 1)
Výsledek:
lm: {y = -1/2, x = -3/4};
35. z = ex-y
-x2
+ 3 y2
Návod: zx = ex-y
-x2
+ 3 y2
- 2 ex-y
x
zy = -ex-y
-x2
+ 3 y2
+ 6 ex-y
y
Výsledek:
sp: {x = 0, y = 0};
lm: {x = -3, y = -1};
36. z = y

x +

x - y2
+ 4 y - x
Návod: zx = 1/2 y
x
+ 1/2 1
x
- 1
zy =

x - 2 y + 4
Výsledek:
LM: {x = 4, y = 3};
37. z = ln(x3
) + ln(y2
) + ln(3 - x - y)
Návod: zx = 3 x-1
- (3 - x - y)
-1
zy = 2 y-1
- (3 - x - y)
-1
Výsledek:
LM: {y = 1, x = 3/2};
3