Trojný integrál
Transformace do válcových souřadnic
První příklad je ten, který vám dloužím ze cvičení, druhý berte jako takovou inspiraci
na zápočtovku. (Hranaté závorky značí uzavřené intervaly)
Příklad 1. Vypočtěte objem tělesa M pro které platí: x2
+ y2
+ z2
 1 a x2
+ y2
 1
4
.
Vidíme, že se jedná o oblast, která je uvnitř koule se středem
v počátku a s poloměrem r1 = 1 a vně rotačního válce s osou
z a poloměrem r2 = 1
2
. Transformací do válcových souřadnic
dostaneme  = [0, 2],  = [1
2
, 1] (těleso ,,jde od válce ke
kouli, čili vzdálenost od osy z je minimálně 1
2
a maximálně 1).
Dosazením transformačních rovnic do rovnice koule dostaneme
2
cos2
 + 2
sin2
 + z2
 1
neboli po úpravě
z  1 - 2.
V
1 dx dy dz =
1
1
2
2
0

1-2
0
 dz d d =
1
1
2
2
0
[z]

1-2
0 d d =
1
1
2
2
0
 1 - 2 d d =
=
1
1
2
[ 1 - 2]2
0 d = 2
1
1
2
 1 - 2 d =

3
4
,
kde poslední integrál vypočteme pomocí substituce t = 1 - 2
.
Příklad 2. Vypočtěte objem tělesa M pro které platí: x2
+ y2
 z, x2
+ y2
 1, z  0.
Jedná se o válec, ze kterého je ,,vyříznut kousek rotačního paraboloidu.
Opět pomocí transformace do válcových souřadnic
dostaneme  = [0, 2]  = [0, 1] (celé těleso je uvnitř daného
válce), ve směru osy z je těleso omezené rovinou xy a daným
paraboloidem, tedy z = [0, x2
+y2
] neboli z = [0, 2
] po dosazení
válcových souřadnic.
V
1 dx dy dz =
2
0
1
0
2
0
 dz d d =
2
0
1
0
[z]2
0 d d =
=
2
0
1
0
3
d d =
2
0
[
4
4
]1
0 d =
1
4
2
0
d =
1
2

1