newtonleibniz.mw

Newtonova - Leibnizova formule 

S využitím Newtonovy-Leibnizovy formule vypočtěte určité integrály: 

> i1:=Int(x^2, x=1..2);
 

(Typesetting:-mprintslash)([i1 := Int(x^2, x = 1 .. 2)], [Int(x^2, x = 1 .. 2)]) 

> F:=unapply(int(x^2,x),x);
 

(Typesetting:-mprintslash)([F := proc (x) options operator, arrow; 1/3*x^3 end proc], [proc (x) options operator, arrow; 1/3*x^3 end proc]) 

> F(2)-F(1);
 

7/3 

Přímým výpočtem pomocí Maplu dostaváme 

> i1=value(i1);
 

Int(x^2, x = 1 .. 2) = 7/3 

> i2:=Int(1/x^2, x=-1..1);
 

(Typesetting:-mprintslash)([i2 := Int(1/x^2, x = -1 .. 1)], [Int(1/x^2, x = -1 .. 1)]) 

Pokud bychom "slepě" použili předcházející postup, dostaneme 

> F:=unapply(int(1/x^2,x),x);
 

(Typesetting:-mprintslash)([F := proc (x) options operator, arrow; -1/x end proc], [proc (x) options operator, arrow; -1/x end proc]) 

> F(1)-F(-1);
 

-2 

což zjevně neplatí, protože 

> plot(1/x^2, x=-1..1, y=0..10, discont=true);
 

Plot 

f není na intervalu 〈-1,1〉 ohraničená, a proto určitý integrál diverguje 

> Int(1/x^2, x=-1..1):%=value(%);
 

Int(1/x^2, x = -1 .. 1) = infinity 

> i3:=Int(1/(2-cos(x)), x=0..2*Pi);
 

(Typesetting:-mprintslash)([i3 := Int(1/(2-cos(x)), x = 0 .. 2*Pi)], [Int(1/(2-cos(x)), x = 0 .. 2*Pi)]) 

> F:=unapply(int(1/(2-cos(x)),x),x);
 

(Typesetting:-mprintslash)([F := proc (x) options operator, arrow; 2/3*3^(1/2)*arctan(tan(1/2*x)*3^(1/2)) end proc], [proc (x) options operator, arrow; 2/3*3^(1/2)*arctan(tan(1/2*x)*3^(1/2)) end proc]... 

Opět "slepou" aplikací Newtonovy-Leibnizovy formule dostáváme 

> F(2*Pi)-F(0);
 

0 

což je očividně chybný výsledek, protože integrand je kladná funkce, takže integrál musí mít kladnou hodnotu. 

> plot(1/(2-cos(x)), x=0..2*Pi);
 

Plot 

> Int(1/(2-cos(x)), x=0..2*Pi):%=value(%);
 

Int(1/(2-cos(x)), x = 0 .. 2*Pi) = 2/3*Pi*3^(1/2) 

(pro spravný výpočet bychom museli použít konstrukci primitivní funkce z minulého cvičení).