Rovnice matematické fyziky
cvičná písemka
I. část
1. Najděte vlastní čísla Sturmovy-Liouvilleovy úlohy
-y
= y, x  (0)
y(0) - y
(0) = 0 = y() + y
().
2. Najděte distributivní derivaci funkce f(x) =
x2
, x  0
-x2
, x < 0.
3. Najděte obecné řešení rovnice xux - yuy = x.
4. Určete typ rovnice uxx - uxy + xuyz + (x2
- y2
)uz + (y2
- z2
)ux - arctg(z2
- x2
) uy = 0
v bodě (1, 0, 4).
5. Řešte Neumanovu úlohu pro Laplaceovu rovnici
uxx + uyy = 0, x2
+ y2
< 1
u(x, y)

= x, x2
+ y2
= 1.
6. Řešte Dirichletovu úlohu pro Poissonovu rovnici
uxx + uyy = 2, x > y2
u(x, y) = 0, x = y2
.
II. část
1. Najděte řešení rovnice
y(x + y) + u ux + x(x + y) - u uy = (x + y)u
s okrajovou podmínkou u(x, x) = x.
2. Transformací na kanonický tvar najděte obecné řešení rovnice
(1 + x2
)uxx - (1 + y2
)uyy + xux - yuy = 0.
3. Řešte úlohu
ut(t, x) = a2
uxx(t, x), 0 < t, 0 < x < ,
u(0, x) = 0, 0 < x < ,
u(t, 0) = u0, ux(t, ) = 0, 0 < t.
Čas na vypracování: I. část 80 minut, II. část 40 minut.
Bodování: I. část 6 × 1 bod, II. část 3 × 2 body.
Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 4 body.
II. část: [5,6]=A, [4,5)=B, [3,4)=C, [2,3)=D, [1,2)=E, [0,1)=F.
Výsledky: I1. k =
,,
k

2
, kde k jsou kladné kořeny rovnice
2
2 - 2
= tg . I2. T2|x|. I3. (xy, x - u) = 0.
I4. hyperbolická I5. u(x, y) = A + x. I6. u(x, y) = y2
- x.
II1. u(x, y) =
x + y
2
. II2. u(x, y) = 
"`
x +

1 + x2
´ "
y +
p
1 + y2
""
+ 
y +
p
1 + y2
x +

1 + x2
!
.
II3. u(t, x) = u0 1 -
4

P
k=0
1
2k + 1
exp
(
-
,,
(2k + 1)a
2
2
t
)
sin
2k + 1
2
x
!
.