PaSt II ©KV 10 Zápočtová písemka Příklad 10.1. Náhodné veličiny Ui,U2, Us se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Určete rozdělení následujících náhodných veličin: Y = U! + U2 + U3-2 V ^(Ui + U^Usf V2-U2 m [Y ~ N(-2, 3), Z ~ x2(l)/ V ~ í(2), W ~ F(l, 1)] Příklad 10.2. Určete střední hodnotu náhodné veličiny V = X2 + 3XY — 0.5Y2, přičemž známe EX = 2,DX = 4, EY = -1, DY = 9 a i?(X,y) = 0.1. [EV =-1.2] Příklad 10.3. • Co musí platit, aby odhad T byl nestranným odhadem parametru ů? • Máme dva nestranné odhady T a S parametru ů, který z odhadů je lepší a proč? [ET = ů, lepší odhad má menší rozptyl] Příklad 10.4. Stroj vyrábí olověné broky. Průměr broku je náhodnou veličinou měřenou v milimetrech, o níž předpokládáme, že se řídí rozdělením iV(5,0.052). Kolik procent broků je při kontrole vyřazeno, jestliže broky, lišící se o více než 0.1 mm od střední hodnoty, jsou vyřazovány? [4.55 %] Příklad 10.5. Vypočtěte koeficient korelace mezi počtem shybů Xí a počtem kliků Yí naměřených u skupinky deseti chlapců shyby Xi 1 3 2 0 5 6 1 4 3 5 kliky yí 2 3 3 0 8 5 1 6 7 5 xy 0.8043] Příklad 10.6. Pomocí Cebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost P(\X—EX\ < 3DX) [P> 1 i 9DX1 U 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 F(u) 0.5200 0.5398 0.6915 0.8413 0.9332 0.9773 0.9938 0.9986 92 PaSt II ©KV 11 Intervalové odhady parametrů Příklad 11.1. Za předpokladu, že čas příchodu studentů na přednášku se řídí normálním rozdělením pravděpodobnosti s naměřenými hodnotami (viz příklad 8.1), určete a) 99.5% oboustranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu času příchodu na přednášku, b) 99% pravostranný interval spolehlivosti pro rozptyl času příchodu na přednášku. [(3.742,5.658)] 93 PaSt II ©KV Příklad 11.2. Mějme 2 nezávislé náhodné výběry (Xi,...,xrai)~jVGui,i, (Y1}...,Yn2)^N(ii2,a2), 712 = 1. Zkonstruujte intervaly spolehlivosti pro rozdíl \i\ — /j,2 a pro rozptyl a2. 94 PaSt II ©KV Příklad 11.3. Odvoďte interval spolehlivosti pro parametrickou funkci 2//i — //2 — ßs, máme-li k dispozici 3 nezávislé náhodné výběry (Xi,...,xrai)~jVGui,i, (yi,...,yn2)~jVGu2,<72), n2>i, (Zi,...,Zra3) ~ N(ß3,a2), n3 > 1. [2X - F - Ž ± K-i)^+(»2-i)^2+(»3-i)^ . /A + X + X . rl_ (m)] L Tli +W-2+W-3- o V «-1 "2 "3 «7^\ /J 95 PaSt II ©KV Příklad 11.4. Mějme tři nezávislé náhodné výběry (A"i,...,Xrai)~iVGui,<7?), ni > 1, (Y1,...,Yn2)~N(ß2,a%), n2 = l, (Z1,...,Zn3)~N(ß3,al), n3 > 1. Zkonstruujte dolní interval spolehlivosti pro neznámý parametr a/a3/ za předpokladu <7i = (72- [ s0 na 5% hlad. význ.] 120 PaSt II ©KV Domácí úkol 13.1. V pokusném testu zadaném v mateřských školkách byl průměrný počet získaných bodů 74.5 se směrodatnou odchylkou 8 bodů. V jedné konkrétní "su-perškolce", kde se testu zúčastnilo 200 dětí, byl průměrný počet získaných bodů 75.9. Diskutujte signifikanci tohoto výsledku na hladině významnosti 0.05, když použijete a) jednostrannou, b) oboustrannou alternativní hypotézu. Vysvětlete své závěry na základě těchto testů. [je signif. v obou testech] 121 PaSt II ©KV Domácí úkol 13.2. Denní přírůstky váhy selat byly při krmení směsí A : 62,54, 55, 60,53, 58, u směsi B : 52, 56, 50,49, 51. Je mezi nimi rozdíl? [ano, je mezi nimi rozdil] 122 PaSt II ©KV 14 Opakování před zkouškou Písemka z června 2003 Příklad 14.1. Urna obsahuje n koulí, bílé a černé. Byla naplněna tak, že někdo hodil nkrát kostkou, když padla "6" vložil do urny bílou kouli, když "6" nepadla, vložil do urny černou kouli. Z takto naplněné urny byly postupně náhodně vybrány dvě koule, přičemž po prvním tahu byla vytažená koule vrácena zpět. a) Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené koule byly černé? b) Ukázalo se, že obě vytažené kule byly bílé. Jaká je pravděpodobnost, že urna před tímto tahem obsahovala právě jednu černou kouli a ostatní bílé? 123 PaSt II ©KV Příklad 14.2. Nechf (Xi, X2) je absolutně spojitý náhodný vektor s hustotou íxie~xi(-l+x^ xi>0,x2>0 /