Číselné charakteristiky náhodných veličin Střední hodnota Je-li dána diskrétní náhoda veličina X s pravděpodobnostní funkcí tt(x), pak číslo oo E(X) = Yj x-ti{x), x=—oo za předpokladu, že případná nekonečná řada absolutně konverguje, nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny X. Je-li náhodná veličina X spojitá s hustotou f(x), pak číslo E{X) = / x-f(x)dx, za předpokladu, že nevlastní Riemannuv integrál absolutně konverguje, nazýváme její střední hodnotou. Nechť g(x) je borelovská funkce. Pak pro střední hodnotu náhodné veličiny Y = g(X) platí: ÍY^ 9(x)tt(x) v diskrétním případě J g(x)f(x)dx ve spojitém případě — oo pokud nekonečná řada, resp. Riemannuv integrál, absolutně konvergují. Rozptyl Číslo D{X) = E[{X - E{X))2] = E{X2) - \E{X)]2 nazýváme rozptylem náhodné veličiny X za předpokladu, že všechny uvedené střední hodnoty existují. Číslo \JD(X) nazýváme směrodatnou odchylkou náhodné veličiny X. Kovariance Číslo C(X1,X2) = E[(X1 - E(X1))(X2 - E{X2))} nazýváme kovariancí náhodných veličin X\ a X2 za předpokladu, že všechny uvedené střední hodnoty existují. Je-li C(X\,X2) = 0, pak řekneme, že náhodné veličiny X\ a X2 jsou nekorelované. Korelace Číslo /x1-í;(x1) x2-e{x2)\ R(XhX2) = E y/Ď(X{j \/Ď(Xď D(X\)D(X2) / 0 nazveme korelací náhodných veličin X\ a X2 (a za předpokladu, že všechny střední hodnoty existují), R(Xi,X2) = 0 jinak. 1 Vlastnosti: Nechť a, a\,a2, b, b\, b2 jsou konstanty a Xi,... Xn, Yi,.. na témže pravděpodobnostním prostoru. Yn náhodné veličiny definované 1. Střední hodnota (a) E (a) = a (b) E(a + bX) -- = a + bE{X) (c) E(X - E(X)) = 0 n (d) E(Y,Xi) = í=l n E E{Xt) í=l (e) Jsou-li náhodné veličiny Xi,...Xn stochasticky nez< ívislé, pak: n E(X[Xt) = í=i n n Em í=i 2. Rozptyl (a) D(a) = 0 (b) D(a + bX) = b2D{X) n n n—l n (c)5(E^) = EW + 2E E c(xt,x3). n n relované, pak platí: -D(E X i) = E D(Xí) Jsou-li veličiny X\ ... Xn neko- 3. Kovariance (a) C(ai,X2) = C(X\, Ü2) = C (0,1,0,2) = 0 (b) C(ai + 61X1, a2 + 62X2) = bib2C(Xh X2) (c) C(X,X) = D(X) (d) C(X!,X2) = = C(X2,Xl) (e) C(X1,X2) = n m (f) C(£*i,I i=i j= = E(X1X2) - E(X1)E(X2) n m :y3) = EEC(xz,y3) 1 i=lj=l 4. Korelace (a) iž(ai,X2) = R(Xi, a2) = R(a\,a2) = 0 (b) R(ai+biX i,a2 + b2X2) = sgn(bib2)R(X1,X2) (c) i?(XbX2) = = R(X2,X{) (d) R(X1,X2) = c(X!,x2) n(Y-\n(Y„\ -/- í ), R(Xi , X2) jinak. - y/DiXúy/DiXrf D[ Xl) D[ X2)^{ 1. Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí: '1/3 x = -2 1/2 x = 3 iľ(x) = { 1/6 x = 1 0 jinak. Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a £>(2X - 1). \E(X) = 1, E(2X + 5) = 7, E(X2) = 6, D (X) = 5 a £>(2X - 1) 2 Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, pokud má (a) alternativní rozdělení: X ~ A{9) (b) binomické rozdělení: X ~ Bi(n,ff) (c) Poissonovo rozdělení: X ~ Po{\) (d) geometrické rozdělení: X ~ Ge(0) (e) Pascalovo rozdělení: X ~ Ps(k,6). Náhodná veličina udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její rozptyl. [35/12] Pravděpodobnost vyrobení zmetku na automatické lince je 0,1. Vyrobením zmetku se linka zastaví. Jaká je střední hodnota a rozptyl počtu výrobků do zastavení linky? \E(X) = 10, D(X) = 90] Náhodná veličina X má konstatní hodnotu pravděpodobnosti v intervalu (0, a), to znamená, že její hustota pravděpodobnosti má tvar: ^ pro 0 < x < a -2 i i\ \4at í 45 fix) — , - .. , J v ' [0 jinak S použitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete (a) £(2X + 3) [a+ 3] (b) £(3X2-2X + 1) [a2-a + l] (c)D(2X + 3) [£] (d) D(X2 + 1) 6. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, pokud má (a) rovnoměrné spojité rozdělení: X ~ Rs(a, b) (b) exponenciální rozdělení: X ~ Ex{\) (c) normální rozdělení: X ~ X(/x,