1.   Stochasticky nezávislé náhodné veličiny X\ a X2 mají binomické rozdělení, kde X\ ~ Bi(13; 0,13) aX2 ~5i(12;0,12).
(a)  Vypočtěte pravděpodobnost, že náhodná veličina X\ nabude hodnoty alespoň 1.    [0,8364]
(b)  Uvažme transformované náhodné veličiny Y\ = 2X\ + X2 a Y2 = X\ — 3X2. Vypočítejte koeficient korelace mezi veličinami Y\ a Y2.                                                             [-0,0897]
2.  Náhodné veličiny U, V, W jsou nezávislé a platí: E(U) = 0,  E{V) = 1,  E(W) = 2,  D(U) = 2, D (V) = 4, D(W) = 6. Určete koeficient korelace náhodných veličin X = V — U &Y = W — U.
3.  Je dána náhodná veličina X  ~ Ex(X),X  >  0. Vypočtěte střední hodnotu transformované náhodné veličiny Y = e_7Y kde 7 > 0.                                                                                j^—
Číselné charakteristiky náhodných vektorů
Nechť X = (Xi, X2,..., Xn)' je náhodný vektor. Reálný vektor
E(X) = (E(Xl),E(X2),...,E(Xn)y
se nazývá vektor středních hodnot, reálná čtvercová symetrická matice
/   D(X{)       C(X1,X2)    ...    C{XuXn cov(X) =            :                   :
\C(Xn,XÍ)   C(Xn,X2)    ...       D(X,
se nazývá varianční matice a reálná čtvercová symetrická matice
/        1           R{Xl,X2)    ...    R{X±,Xn
cor(X) =            :                   :            •..            :
\R(Xn,Xi)    R{Xn,X2)    ...            1
se nazývá korelační matice.
4. Spojitý náhodný vektor (X, Y) má hustotu
,,      ,      íl-x + y    0 <x <1,0 <y <1 j{x,y) = <
I 0                jinak.
Určete všechny charakteristiky náhodného vektoru.
;£, £)', cov(X, Y) =(W    É) , cor(X, Y) = ( \     &
V144       144/                                   Vil       L
5.  Je dán náhodný vektor X = (X1,X2)' ~ Rd{G), kde G = {(-1,0), (0,1), (1,0)}. Ukažte, že náhodné veličiny X\,X2 jsou nekorelované, ale nejsou stochasticky nezávislé.
6.  Je dán náhodný vektor X = (Xi,^)' se sdruženou pravděpodobnostní funkcí:
í^f±±    xi =0,1, 2; £2 = 0,1
7ľ(x)  =  <
10              jinak.
Určete všechny charakteristiky.
19   9 y         ,v    v,_   1   A34    "6A     _^    ^      /        1          -0,07053 Y
E{Xl,X2) = (&&)', cov(X1,X2) = 5±g ^_6     54j , cor(X1,X2/      v_0>07053          x       y
7. Spojitý náhodný vektor X = (Xi, X2)' je rovnoměrně spojitě rozdělen na oblasti G = {(x\, X2) G R2;0<a;i < 1,0 <x2 < l,x\+x2 < 1}- Určete C{Xi,X2).
[C{Xl,X2) = -U
1