1.  Náhodný vektor X má střední hodnotu E (X) = (0,1, 2)' a varianční matici
1     0.5    -ť* covX = | 0.5     4     0.5 | . -1    0.5     5
Určete E (Y) a covV náhodného vektoru Y = (Yi,Y2,Ys), pro jehož složky platí Y\ = 2X\ 2X2 + X3, Y2 = X1- X3, Y3=X1-X2 + 2X3.
/ 15 -2 10.5N E{Y) = (0, -2,3)', covV =      -2       8      -10
\10.5    -10     18
2.  Je dán náhodný vektor (X, F)', který je rovnoměrně rozdělen na kruhové oblasti o poloměru 1. Určete hodnotu podmíněného rozptylu D{Y\X).
[{l-x2)ß pro a; G (-1,1)]
Další číselné charakteristiky
Nechť X, Xi, X2 jsou náhodné veličiny, k, k\,k2 reálná čísla, r, s přirozená čísla. Pak číslo
•  E ([X — k]r) se nazývá r-tý moment náhodné veličiny X,
•  E([X\ — k\]r[X2 — k2]s) se nazývá rxs-tý smíšený moment náhodného vektoru
(x1,x2y.
Je-li k = k\ = ^2 = 0, hovoříme o počátečních momentech (značíme //fc), je-li k = E (X), k\ = E(X\), k2 = E(X2), jedná se o centrálni momenty (značíme //&).
Asymetrie (šikmost) náhodné veličiny X je definována vztahem
E{[X-E{X)f)        ß3
MX) =
^Ď{xf     ' ~r^
7*2
Exces (špičatost) náhodné veličiny X je definována vztahem
E([X     E(X)fí     ,       „,       ,
Za předpokladu, že všechny střední hodnoty existují a směrodatná odchylka je kladná. Pro X - N([i, a2) je A3(X) = 0 a pro Í7 - X(0,1) je A4(f/) = 0.
1
Charakteristická funkce náhodné veličiny
Funkce dána vztahem
V>(í) =E{étx), íef
se nazývá charakteristická funkce náhodné veličiny X. Vlastnosti:
(a)   |V(Í)|<1
(b)  V(0) = 1
(c)  tp(t) = tp(-t) pro Ví G M
(d)  íp je rovnoměrně spojitá na
(e)  ^a+bx(ť) = eüatPx(tb)
(f)  ipx1+x2(t) =4>Xl{t)4>x2{t)
(g)  V(fc)(0) =ikE{Xk)
3. Náhodná veličina X má binomické rozdělení, tedy X ~ Bi(n, 9). Pomocí charakteristické funkce určete její střední hodnotu a rozptyl.
Kvantily
Definice: Nechť F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Funkce
F~l{u) = mí{x G R; F{x) >u},    0<u<l,
se nazývá kvantilová funkce náhodné veličiny X. Pro 0 < a < 1 se hodnota F~1(a) nazývá a-kvantil.
Pozn.: Pokud je distribuční funkce F{x) rostoucí a spojitá je kvantilová funkce totožná s obyčejnou inverzní funkcí k distribuční funkci.
0, 5-kvantil —> medián
0, 25-kvantil —> dolní kvartil
0, 75-kvantil —> horní kvartil.
4.  Nechť U ~ N(0,1). Najděte medián, dolní a horní kvartil.
[x = 0, u0)25 = -0, 67449, u0j5 = 0, 67449]
5.  Určete xŠ)025(25).                                                                                                              [13,120]
6.  Určete í0)99(30) a í0)05(24).                                                                                  [2.4573; -1,7109]
7.  Nechť T - í(14). Určete konstantu c tak, aby P(-c < T < c)=0,9.                           [c = 1, 7613]
8.  Určete F0.975(5, 20) a F0)o5(2,10).                                                                       [3,2891; 0,05156]
9.  Hustota spojité náhodné veličiny X je
m
Í4a;(9-a;2)/81    0 < x < 3 [O                       jinak
Najděte modus x, medián x a porovnejte se střední hodnotou.
[x = 1, 732, x = l, 6284, E{X) = 1, 6]
2