Nerovnosti Cauchyho—Schwartzova—Buňakovského nerovnost Nechť X\,X2 jsou náhodné veličiny. Jestliže existují jejich střední hodnoty a rozptyly, pak \C(X±,X2)\ < ^/D(X1)^/D(X2),t}. \R(XUX2)\ < 1 Markovova nerovnost Jestliže je P(X > 0) = 1 a E(X) existuje, pak pro všechna e > 0 platí P(X > sE(X)) < - e 1. Nechť X je nezáporná náhodná veličina, E(X) = ö. (a) Jesliže rozložení náhodné veličiny X neznáme, odhadněte P(X > 36) [< 1/3] (b) Jestliže X ~ Ex(l/Ö), vypočtěte P(X > 35) [0,04979] 2. Střední hodnota počtu slunečných dnů během roku v jisté oblasti je 90. Odhadněte pravděpodobnost toho, že v této oblasti bude během roku maximálně 240 slunečných dnů. [> 0.625] Čebyševova nerovnost Jestliže existují E(X) a D(X) , pak pro každé t > 0 platí: P{\X -E{X)\> t) 3a). [< 1/9] (b) Má-li X normální rozdělení, tedy X ~ N(/j,,a2), vypočtěte pravděpodobnost P(\X — ß\ > 3d). [0.0027] 4. Zásilka obsahuje 3000 výrobků určitého typu. Je známo, že pravděpodobnost zhotovení vadného výrobku tohoto typu je 0,04. (a) Odhadněte pravděpodobnost, že absolutní odchylka podílu vadných výrobků v zásilce a pravděpodobnosti vyrobení vadného výrobku bude menší než 1 %. [> 0, 872] (b) Jak se změní výsledek, jestliže pravděpodobnost vyrobení zmetku bude 0,004 a jestliže zásilka bude obsahovat 30000 výrobků? [> 0, 9987] 5. Odhadněte pravděpodobnost s jakou bude počet šestek, které padnou na ideální kostce v 1000 nezávislých hodech, ležet v mezích od 147 do 186. [> 0,6528] Pokud se příklad počítá pomocí Moivre-Laplaceovy věty (níže), tak vyjde P(147 < X < 186) = 0,904 1 Zákon velkých čísel a centrální limintí věty Konvergence náhodných veličin Nechť X\,X2,... je posloupnost náhodných veličin s distribučními funkcemi Fi(xi),F2(x2), ■ ■ ■ a X náhodná veličina s distribuční funkcí F(x). Nechť jsou všechny tyto veličiny definovány na těmže pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P). Řekneme, že posloupnost Xi, X2, . . . konverguje k X (a) jistě, právě když pro všechna uěí! platí lim Xn{uj) = X{uj) n—>oo (b) podle pravděpodobnosti, právě když pro všechna e > 0 platí lim P(\Xn -X\>e)=0 n—>oo (c) v distribuci (podle rozložení), právě když pro všechna igR platí lim Fn(x) = F{x) n—>oo v každém bodě spojitosti funkce F{x). Slabý zákon velkých čísel Cebyševova věta: Nechť X\,X2, ■ ■ ■ jsou nekorelované náhodné veličiny jejichž střední hodnoty splňují vztah 1 lim -VßiXj n—too TI £——' ^ - - = V n^oo n í—' í=l a rozptyly jsou shora ohraničené týmž číslem ö. Pak posloupnost aritmetických průměrů 2 {Xh -J^Xi,... -J2 xí, ■ ■ ■} 2/ ,-----07 - - - konverguje podle pravděpodobnosti k číslu ß. Bernoulliova věta: Nechť je dána náhodná veličina Yn ~ Bi(n,9), pak posloupnost relativních četností konverguje podle pravděpodobnosti k parametru 6. Centrální limitní věta a její důsledky Lindebergova—Lévyova centrální limitní věta: Nechť X\,X2, -je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin se stejným rozložením, E(Xi) = /x, D(X{) = a2, i = 1,2,.... Pak posloupnost standardizovaných součtů n Y^Xi-nß U\/n konverguje v distribuci ke standardizované normální náhodné veličině. 6. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že doba potřebná k objevení a odstranění poruchy 2 stroje - náhodná veličina X» - má střední hodnotu E{Xj) = 40 minut a rozptyl D (Xi) = 900 minut. Jakou dobu si vyžádá objevení a odstránení 100 poruch, jestliže žádáme, aby tato hodnota nebyla s pravděpodobností 0,95 překročena? [74,89 h] 7. Je známo, že rozložení IQ v populace je normální se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. Jedinec, který má IQ nad 130 bodů, je označen jako vysoce inteligentní. (a) Jaká je pravděpodobnost, že z populace náhodně vybereme vysoce inteligentního jedince? [0.02275] (b) Jestliže nezávisle na sobě vybereme 10 jedinců z populace, jaká bude pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich bude vysoce inteligentní? [0.2056] Moivre—Laplaceova věta: Nechť Y\,Y2,... je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, Yn ~ Bi(n,6), n = 1,2... Pak posloupnost standardizovaných náhodných veličin konverguje v distribuci ke standardizované náhodné veličině U ~ N(0,1). Pozn.: Aproximace se považuje za vyhovující, jsou-li splněny podmínky 1 Ti n0{l - 6) > 9 a------- < 9 < n + 1 n + 1 8. Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10000 novorozenci bude a) více děvčat než chlapců; [0,00135] b) chlapců od 5000 do 5300; [0,9973] c) relativní četnost chlapců v mezích od 0,515 do 0,517 [0,15542] 9. Víme, že v jisté oblasti je 80 % domácností vybaveno videem. Vylosujeme 900 domácností. Jaký bude s pravděpodobností 0.95 počet vybraných domácností, které vlastní video? [739] Poissonova věta: Nechť Y\,Y2, ■ ■ ■ je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, Yn ~ Bi(n, 9n), n = 1,2 ... a nechť platí lim n6n = A. Pak posloupnost Yi, I2, • • • n—>oo konverguje v distribuci k náhodné veličině Y ~ Po(X), tj. pro všechna y = 0,1, 2,... platí: lim P(Yn oo ^—' t\ í=0 Pozn.: Aproximace se považuje za vyhovující, jsou-li splněny podmínky n > 30 a 6 < 0,1. 10. Je-li v populaci 1 % leváků, jaká je pravděpodobnost, že mezi 200 vybranými lidmi budou právě 4 leváci, resp. alespoň 4 leváci? [0.0902, 0.1429] 11. Během zkoušky spolehlivosti se výrobek porouchá s pravděpodobností 6 = 0.05. Jaká je pravděpodobnost, že při zkoušení 100 výrobků se jich porouchá alespoň 5. [0,55951] 3