Popisná statistika
základní soubor X výběrový soubor
Naměřili jsme n hodnot
počet prvků souboru je tzv. rozsah souboru. Pro lepší zpracování data uspořádáme:
aJ(i) < aj(2) < • • • < x{n) a dostaneme uspořádaný soubor hodnot
Míry polohy
Průměr (resp. výběrový, aritmetický průměr)
n
JL   —           /       JLj
n í=i
p-kvantil (výběrový p-kvantil)
P     X Ux(np) +aJ(np+i))   np = [np] kde [a] značí celou část zaaO<p<l.
Míry variability
Rozptyl (výběrový rozptyl)
1       n                      1      / n
s2 =------- >   {xi - x)2 =------- \y   x2 - nx2
í=i                                     \í=i
Kvartilové rozpětí
T Q = Ž0,75 - Ž0,25
Krabicový diagram (box plot, box and whisker plot, vousatá krabička)
„Krabička" je ohraničena hodnotami kvartilu a je zobrazen medián. „Vousky" znázorňují hodnoty, které nejsou od jednotlivých kvartilu vzdálené o více jak 1,5 násobek Rq. Jednotlivě jsou vyznačena pozorování, která jsou ve větší vzdálenosti.
lo jevu:
7
1. Byly naměřeny hodnoty nějakého 0___
10; 7; 7; 8; 8; 9; 10; 9; 4; 9; 10; 9; 11; 9; 7; 8; 3; 9; 8; ,
Určete průměr, medián, kvartily, rozptyl, mezikvartilove rozpětí, hodnoty znázorněte pomocí
krabicového diagramu a zakreslete výběrovou distribuční funkci.
1
Náhodný výběr			
Náhodným  výběrem   (rozsahu  n)   nazýváme  posloupnost   n  stochasticky náhodných veličin X\,X2 ■ ■ ■ ,Xn, které mají stejné rozložení, tedy Xi  ~ l,2,...,n.			nezávislých F{xí),   i  =
Pozn.: Prakticky se s náhodným výběrem setkáváme kování téhož pokusu.		při nezávislém vícenásobném opa-	
Statistika: Náhodná veličina, která vznikne transformací náhodného výběru, se nazývá statistika.			
Významné statistiky:			
•  Výběrový průměr	n n /L^/ í=i		
•  Výběrový rozptyl			
s2=   \X>*   xf=   l n — 1 *-^                      n —		i(i: *?-«*")	
• Výběrová směrodatná	odchylka S = ^Š2		
• Výběrová kovariance			
	1      n             — S\2 —        -. / {Xu    X] n — 1 *-^	)(X2,-X2)	
2.   Odvoďte pravděpodobnostní funkci náhodného výběru z alternativního rozložení A{9).
[k{x) = 6^i=iXi(l - 6)n~^i=íXi pro Xi = 0,1, i = 1,.. .n a 7r(x) = 0 jinak]
3.   Odvoďte hustotu náhodného výběru z normálního rozložení N(/j,,a2).                    [Nn(/j,l,a2I)]
4.  Nechť X\,X2 ■ ■ ■, Xn je náhody výběr z rozložení, které má střední hodnotu ß a rozptyl a2. Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl výběrového průměru X a střední hodnotu výběrového rozptylu S2.                                                                       [E{X) = fi, D{X) = £, E{S2) = a2]
5.   Odvoďte rozložení výběrového průměru X, jestliže náhodný výběr pochází
(a)  z normálního rozložení N(/j,, a2),                                                                   [X ~ N(/j,, ^-)]
(b)  z alternativního rozložení A(9).     [k*(x) = (^)^na:(l — Q)n-'nx pro x = 0,1/n, 2/n,..., 1 a 7r*(ľč) = 0 jinak]
6.  Nechť (Xn,X2iY, ■ ■ ■ ,(Xin,X2n)' je náhodný výběr z rozložení s vektorem středních hodnot (ßi,^)' a kovariancí C(Xu,X2i) = k, i = 1,... ,n. Vypočťete střední hodnotu výběrové kovariance 5*12.                                                                                                                       [5*12 = k]
7.  Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Určete pravděpodobnost, že
(a)   náhodně vybraný student bude mít výsledek nad 80 bodů                                     [0,18673]
(b)   průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů.              [0,00248]
2
8. Nechť Xi, X2 . . ., Xn je náhodný výběr z rozložení A^IO, 4). Jaká je pravděpodobnost, že výběrový průměr nabude hodnoty nejvýše 9.5? Sledujte vliv rozsahu výběru na tuto pravděpodobnost.
[*(-0,25v^)]
3