Bodové odhady parametrů
Parametrický prostor, parametrická funkce: Je dán měřitelný prostor (Q, A), náh. veličina X a množina pravděpodobností {Po;9 G 6}. Množina 6 se nazývá parametrický prostor a její prvky parametry. Jakékoli zobrazení h : 6 —> R9, kde q G N, se nazývá parametrická funkce.
•   Statistika T = g(X\,...,Xn) se nazývá nestranný odhad parametrické funkce h(0), právě když pro každé 9 G 6 platí Ee(T) = h(9).
•  Ti,T2 jsou dva různé nestranné odhady parám, fee h{9). Řekneme, že Ti je lepší nestranný odhad než T2, právě když pro každé 9 G 6 platí Dq(T\) < Dq(T2).
•  Posloupnost Ti,..., Tn,... statistik tvoří posloupnost asymptoticky nestranných odhadů parametrické funkce h{9), právě když pro každé 9 G 0 platí:
lim Ee(Tn) = h{9)
n—>oo
•  Posloupnost Ti,..., Tn,... statistik tvoří posloupnost konzistentních odhadů parametrické funkce h(9), právě když pro každé 9 G 6 a e > 0 platí:
lim Pe(\Tn-h{9)\ <e) = l
n
1.  Mějme dány lineární statistiky tvaru Tn = Y^ CiXi, Ci G M. Najděte mezi nimi takovou, která je
í=i                                                                                         __
nejlepším nestranným odhadem střední hodnoty.                                                           [Tn = X]
2.  Náhodné veličiny Xi,... ,Xn jsou nezávislé a stejně rozdělené. Xí má hustotu
JK '      [0           x<9
kde 9 > 0 je parametr. Odvoďte vlastnosti odhadů
2  1   n                                          ^>n — 1
Ti = en = --Ví«                   T2 = 9n = —-----min(Xi, ...,Xn)
3 n ^-^                                            3n
í=i
parametru 9 a zjistěte, který z nich je lepší.                               [D(Ti) = f^ > D(T2) = 3ra(-^_2-, ]
3.  Nechť Ti a T2 jsou nezávislé nestranné odhady 9. Předpokládejme, že rozptyl Ti je dvojnásobkem rozptylu T2. Stanovte konstanty k\ a k2 tak, aby T = k\T\ + k2T2 byl nestranným odhadem s nejmenším možným rozptylem.                                                                     [k\ = 1/3, k2 = 2/3]
4.  Mějme náhodný výběr Xi,..., Xn z exponenciálního rozdělení, Xí ~ Ex(cíX), kde Cj > 0, A > 0
n
i/~\   n/^o + yo nrnrm   An norlnm   r\o yo m/~\+yn    __
jsou konstanty. Dokažte, že statistika T = ^— je nestranným odhadem parametru l
5. Uvažujme náhodný výběr X\ ..., Xra z rozdělení s konečným rozptylem a2. Určete konstantu
n
tak, aby statistika T = c ■ J2(-^i ~ ^í-i)2 byla nestranným odhadem rozptylu.
í=2
1
2(ra-l)
1