Intervalové odhady parametrů
Intervalový odhad: Nechť a G (0; 1) je libovolné číslo a D = gi(X\, X2, ■ ■ •, Xn), H = g2(X\,X2,..., Xn) jsou statistiky. Interval (D, H) se nazývá 100 • (1 — a)% interval spolehlivosti (konfidenční, toleranční) pro parametr 9, právě když platí:
P(D <9<H)>l-a
Statistika H se nazývá horní odhad parametru 9 na hladině významnosti a, právě když platí:
P(9 < H) > 1 - a
Statistika D se nazývá dolní odhad parametru 9 na hladině významnosti a, právě když platí:
P{D <9)>l-a
Intervalové odhady pro paramtery ß a a2 jednoho normálního rozložení
1. Odhad parametru ß • pokud a2 známe
a/y/n D = X - ^Ui-a/2,    H = X + -^Ui-a/2
• pokud a2 neznáme
^wH"-1'1
D = X - ^íi_a/2(n - 1),    H = X + ^íi_a/2(n - 1) 2. Odhad paramteru a2 • pokud ß známe
n
n      / v         \ 2        n
S~^   l  -A-i      ß \          \~~^ TT9          9,
(n)
w = ^-^— = £ to)  = £ í/? ~ *"(,
E(**-a02              E(**-a02
7~)   __    i=l___________          TT   __    i=l   _________
pokud /x neznáme
^      (n-l)S2        2,       ^ K = ±-----/------x (n - 1)
_       (ra-i)g2          „ _    (n-l)í?2
-^ —   ~JÍ------1,„     1M       -"   —  ^
XÍ-^/aí™-1)'              X2/2(«-l)
"Odvoťe rozdělení statistiky T
1.   Odvoďte vztahy pro horní a dolní odhady parametrů ß a a2.
2.  Rychlost letadla byla určována v pěti zkouškách a z jejich výsledků byl určen odhad x = 870, 3 m-s_1. Určete 95% interval spolehlivosti pro ß, je-li známo, že rozptýlení rychlosti se řídí normálním
1
rozdělením se směrodatnou odchylkou a = 2,1 m • s    .
[ß G (868, 46; 872,14) při riziku a = 0, 05]
3.  Při zjišťování přesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést čtyři nezávislá měření u oceli se známým obsahem manganu, který je roven 0,30%. Stanovte dolní odhad pro a s rizikem 0,05, když výsledeky měření byly: 0,31%, 0,30%, 0.29%, 0,32%. Údaje o obsahu manganu v oceli považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 4 z N(ß, a2),                                                                                       [a G (0, 00795; oo)]
4.  Uvažujme náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N(ß, a2). Jaká je pravděpodobnost, že ß leží v intervalu
,   /%=        3(7    —        3(7 \        ,.   /—                (7     —                    (7   \„
[a) 0,9973, b)l - a]
5.   Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno 6 selat a po dobu půl roku jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenány průměrné denní přírůstky v dg. Z dřívějších pokusů je známo, že v populaci mívají takové přírůstky normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58. Při riziku a = 0.05 odvoďte:
(a)  dolní odhad neznámé střední hodnoty ß při neznámé směrodatné odchylce a;
[/x G (54,06;oo)]
(b)   intervalový odhad směrodatné odchylky a.                                              [a G (2, 233; 8, 776]
6.  Výzkumná zpráva obsahuje 20 intervalů spolehlivosti, každý na 95% hladině významnosti. Predpokladajme, že intervaly jsou založeny na nezávislých statistikách.
(a)  U kolika intervalů můžeme očekávat, že obsahují skutečnou hodnotu parametru, který odhadují?                                                                                                                            [19]
(b)   Jaká je pravděpodobnost, že všech 20 intervalů spolehlivosti bude obsahovat skutečnou hodnotu parametru, který odhadují?                                                                        [0,3585]
7.  Nechť X\,... Xn je náhodný výběr z rozložení N(/j,; 0, 04). Zvolme riziko a = 0, 05. Jaký musí být nejmenší počet měření, aby šířka intervalu spolehlivost pro neznámou střední hodnotu ß nepřesáhla číslo 0,16?                                                                                                       [n = 25]
8.  Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozložení se směrodatnou odchylkou a = lm. Kolik měření je nutno provést, aby se hloubka stanovila s chybou nejvýše ±0, 25 m při riziku 0,05?                                       [n = 62]
2