Doplňky z multilineární algebry. K přednášce Diferenciální geometrie křivek a ploch. Nechť V značí reálný vektorový prostor. Bilineární formou na V nazýváme zobrazení h : V × V R splňující h(v1 + v2, w) = h(v1, w) + h(v2, w) pro všechna v1, v2, w V, h(v, w1 + w2) = h(v, w1) + h(v, w2) pro všechna v, w1, w2 V, h(av, w) = ah(v, w) pro všechna v, w V a a R, h(v, aw) = ah(v, w) pro všechna v, w V a a R. Bilineární forma h se nazývá symetrická, jestliže h(v, w) = h(w, v) pro všechna v, w V. Kvadratickou formou na vektorovém prostoru V nazýváme zobrazení : V R takové, že (av) = a2 (v) pro všechna v V a a R, b(v, w) = 1 2 (v + w) - (v) - (w) je symetrická bilineární forma. Označme Bs(V ) množinu všech symetrických bilineárních forem na V a Q(V ) množinu všech kvadratických forem na V . Snadno je vidět, že na obou těchto množinách můžeme (pomocí standardního sčítání a násobení číslem) zavést strukturu reálného vektorového prostoru. Ukážeme nyní, že vektorové prostory Bs(V ) a Q(V ) jsou isomorfní. Definujme lineární zobrazení : Bs(V ) Q(V ) předpisem (h)(v) = h(v, v), : Q(V ) Bs(V ) předpisem ()(v, w) = 1 2 (v + w) - (v) - (w) . (())(v) = ()(v, v) = 1 2 (2v) - 2(v) = 1 2 4(v) - 2(v) = (v), ((h))(v, w) = 1 2 (h)(v + w) - (h)(v) - (h)(w) = = 1 2 h(v + w, v + w) - h(v, v) - h(w, w) = h(v, w). Vidíme tak, že a jsou vzájemně inversní isomorfismy. S pomocí výše uvedených isomorfismů budeme symetrické bilineární formy a kvadratické formy ztotožňovat. Asymptotické vektory a asymptotické směry. Definice. Buď V reálný vektorový prostor a h symetrická bilineární forma na V . Vektor v V nazveme asymptotický vektor (vůči h) jestliže h(v, v) = 0. Jednorozměrný podprostor ve V nazveme asymptotickým směrem, jestliže všechny vektory v něm ležící jsou asymptotické. Poznamenejme, že místo asymptotický se často říká isotropní. 1 2 Odtud dále budeme předpokládat, že dim V = 2. Věta 0.1. Jestliže symetrická bilineární forma h má tři asymptotické směry, potom h = 0. Důkaz. Buďte v, w V dva vektory určující dva různé asymptotické směry. Zřejmě vektory v, w tvoří basi prostoru V . Jestliže existuje třetí asymptotický směr, potom je určen vektorem av + bw, kde a = 0 a b = 0. Máme h(v, v) = 0, h(w, w) = 0. Dále potom dostáváme h(av + bw, av + bw) = 0, 2abh(v, w) = 0. Protože a = 0 a b = 0, máme h(v, w) = 0. Je tedy nutně h = 0. Vidíme tak, že nenulová symetrická bilineární forma může mít maximálně dva asymptotické směry. Budeme nyní zkoumat determinant symetrické bilineární formy. Buď h taková forma a buď v1, v2 base prostoru V . Nyní můžeme definovat h11 = h(v1, v1), h12 = h(v1, v2), h21 = h(v2, v1), h22 = h(v2, v2), H = h11 h12 h21 h22 , det H = h11 h12 h21 h22 . Zvolíme-li jinou basi ~v1, ~v2 definujeme podobně ~h11 = h(~v1, ~v1), ~h12 = h(~v1, ~v2), ~h21 = h(~v2, ~v1), ~h22 = h(~v2, ~v2), ~H = ~h11 ~h12 ~h21 ~h22 , det ~H = ~h11 ~h12 ~h21 ~h22 . Na příkladech se můžeme snadno přesvědčit, že výše uvedený determinant závisí na volbě base a obecně det H = det ~H. Žádný pojem jako determinant symetrické bilineární formy tedy nejde zavést. Nicméně, jak ihned uvidíme, alespoň něco z uvažovaného determinantu na volbě base nezávisí. Je to jeho znaménko. Pišme ~vi = 2 k=1 cikvk, kde C = c11 c12 c21 c22 je matice přechodu. Máme potom ~hij = h(~vi, ~vj) = h( 2 k=1 cikvk, 2 l=1 cjlvl) = 2 i,j=1 cikhklcjl = 2 i,j=1 cikhklclj, kde clj značí prvek transponované matice C k matici C. Předchozí rovnost můžeme zapsat v maticovém tvaru ~H = CHC . 3 Odtud potom plyne det ~H = det C det H det C = det H (det C)2 . Je tedy zřejmé, že jestliže det H > 0 (resp. det H = 0, resp. det H < 0), potom rovněž det ~H > 0 (resp. det ~H = 0, resp. det ~H < 0). Nyní jsme dostatečně technicky vybaveni, abychom mohli říci kolik má daná symetrická bilineární forma asymptotických směrů. Věta 0.2. Nenulová symetrická bilineární forma h má dva asymptotické směry právě tehdy, když det h < 0. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že h má dva asymptotické směry. V každém směru vybereme nenulový vektor a dostáváme tak basi v, w sestávající z asymptotických vektorů. Uvědomme si, že potom h(v, w) = 0. Jinak by totiž forma h byla nulová. Potom máme h(v, v) h(v, w) h(w, v) h(w, w) = 0 h(v, w) h(v, w) 0 = -h(v, w)2 < 0. Nyní předpokládejme, že det h < 0. Zvolme libovolnou basi v1, v2 prostoru V . Vektor x1v1 + x2v2 je asymptotický právě tehdy, když h(x1v1 + x2v2, x1v1 + x2v2) = 0 h11x2 1 + 2h12x1x2 + h22x2 2 = 0. Hledejme asymptotické vektory s x2 = 1. Poslední rovnice má potom tvar h11x2 1 + 2h12x1 + h22 = 0 a její diskriminant je roven 4h2 12 - 4h11h22 = -4(h11h22 - h2 12) > 0. Rovnice tedy má dva různé reálné kořeny a a my dostáváme dva lineárně nezávislé asymptotické vektory v1 + v2 a v1 + v2. Tím je důkaz ukončen. Věta 0.3. Nenulová symetrická bilineární forma h má jediný asymptotický směr právě tehdy, když det h = 0. Důkaz. Předpokládejme, že forma h má jediný asymptotický směr určený vektorem v = 0. Ukážeme, že potom pro každý vektor w V platí h(v, w) = 0. Předpokládejme, že existuje vektor w = 0 takový, že h(v, w) = 0. Platí h(w, w) = 0, neboť forma h nemá další asymptotický směr. Potom máme h(x1v + x2w, x1v + x2w) = 2x1x2h(v, w) + x2 2h(w, w) = x2[2x1h(v, w) + x2h(w, w)]. Zvolíme-li nyní x1 = (1/2)h(w, w) a x2 = -h(v, w), dostáváme další asymptotický směr, což je spor. Je tedy h(v, w) = 0 pro všechna w V . Forma h je tedy singulární a tudíž det h = 0. Nyní předpokládejme, že det h = 0. Znamená to, že forma h je singulární a tedy existuje vektor v = 0 takový, že pro všechna v V je h(v, v ) = 0. Zvolme vektor w tak, aby vektory v, w tvořily basi. Nyní máme h(x1v + x2w, x1v + x2w) = x2 2h(w, w). 4 Zřejmě h(w, w) = 0. Jinak by totiž forma h byla nulová. Vidíme tak, že vektor x1v+x2w určuje asymptotický směr práve tehdy, když x2 = 0. Odtud plyne, že forma h má jediný asymptotický směr. Následující větu tedy už není třeba dokazovat. Věta 0.4. Nenulová symetrická bilineární forma h nemá žádný asymptotický směr právě tehdy, když det h > 0. Vlastní čísla a vlastní vektory. Připomeňme, že symetrická bilineární forma h se nazývá regulární, jestliže ke každému vektoru v = 0 existuje vektor w takový, že h(v, w) = 0. (Samozřejmě je potom w = 0.) Snadno se můžeme přesvěčit, že h je regulární právě když det h = 0. Můžeme ale nalézt i jinou podmínku ekvivalentní regularitě. Jasné je, že každá bilineární forma h určuje lineární zobrazení h : V V . (V označuje duální prostor k prostoru V , tj. prostor lineárních forem na V .) Definujeme (h(v))(w) = h(v, w). Je-li forma h regulární, potom pro každé v = 0 je lineární forma h(v) nenulová (stačí do ní dosadit w takové, že h(v, w) = 0) a tedy lineární zobrazení h je prosté. Protože dim V = dim V , plyne odtud, že h je isomorfismus. Snadno se dokáže i obrácené tvrzení. Dokázali jsme tak následující lemma. Lemma 0.5. Bilineární forma je regulární právě když s ní asociované lineární zobrazení h : V V je isomorfismus. V dalším uvažujme dvě symetrické bilineární formy g a h. Budeme předpokládat, že forma g je positivně definitní (a tedy regulární). (O formě h nic takového nepředpokládáme.) Dostáváme tak dvě lineární zobrazení V g - V h - V. Protože g je regulární, je g isomorhismus a existuje tedy k němu inversní isomorfismus. Můžeme tak definovat lineární zobrazení A : V V předpisem A = (g)-1 h. Snadno nyní vidíme, že pro každé v, w platí h(v, w) = g(Av, w). Navíc můžeme snadno dokázat, že lineární zobrazení A je předchozí rovností jednoznačně určeno. Předpokládejme, že máme lineární zobrazení A a B taková, že h(v, w) = g(Av, w) a zároveň h(v, w) = g(bv, w). Potom g(Av, w) = g(Bv, w) g((A - B)v, w) = 0 pro všechny vektory v, w V . Protože forma g je regulární, je (A - B)v = 0 pro všechny vektory v V . Tedy A = B. Lemma 0.6. Lineární zobrazení A je symetrické (vůči bilineární formě g), tj. pro všechna v, w V platí g(Av, w) = g(v, Aw). 5 Důkaz. g(Av, w) = h(v, w) = h(w, v) = g(Aw, v) = g(v, Aw). Připomeňme, že reálné číslo se nazývá vlastním číslem lineárního zobrazení L, jestliže existuje nenulový vektor u V takový, že Lv = v. Protože uvažujeme reálný vektorový prostor a reálná vlastní čísla, lineární zobrazení obecně nemusí mít žádné vlastní číslo. (Jinak je tomu u komplexních vektorových prostorů a komplexních vlastních čísel. V takové situaci vlastní číslo vždy existuje.) Ukážeme nyní, že výše zavedené lineární zobrazení A (díky jeho symetričnosti) vždy má reálné vlastní číslo. Positivně definitní symetrická bilineární forma není nic jiného než skalární součin. Zvolme ortonormální basi e1, e2 (vůči g). Máme tedy g(e1, e1) = 1, g(e1, e2) = g(e2, e1) = 0, g(e2, e2) = 1. Pišme Ae1 = a11e1 + a12e2 Ae2 = a21e1 + a22e2 Snadno potom dostáváme g(Ae1, e2) = g(e1, Ae2) g(a11e1 + a12e2, e2) = g(e1, a21e1 + a22e2) a12 = a21. Hledejme vlastní číslo a vlastní vektor u = x1e1 + x2e2. Musí platit A(x1e1 + x2e2) = (x1e1 + x2e2) x1(a11e1 + a12e2) + x2(a21e1 + a22e2) = x1e1 + x2e2 (a11x1 + a21x2)e1 + (a12x1 + a22x2)e2 = x1e1 + x2e2. Srovnáním koeficientů u e1 a e2 dostáváme soustavu rovnic (a11 - )x1 + a12x2 = 0 a12x1 + (a22 - )x2 = 0. Protože vlastní vektor musí být nenulový, potřebujeme, aby tato homogenní soustava měla netriviální řešení. To nastane právě tehdy, když a11 - a12 a12 a22 - = 0. je vlastním číslem právě tehdy, když je kořenem rovnice x2 - (a11 + a22)x + (a11a22 - a2 12) = 0. Diskriminant této kvadratické rovnice je roven D = (a11 + a22)2 - 4(a11a22 - a2 12) = (a11 - a22)2 + 4a2 12 0. 6 Rovnice tedy má alespoň jeden reálný kořen, maximálně však dva reálné kořeny. Řešením výše uvedeného homogenního systému (kde je vlastní číslo) potom získáme vlastní vektor. Dokázali jsme tak následující větu. Věta 0.7. Symetrické (vůči formě g) lineární zobrazení A má alespoň jedno reálné vlastní číslo, maximálné však dvě různá reálná vlastní čísla. Předpokládejme nejprve, že A má dvě různá vlastní čísla = a buďte v a w příslušné vlastní vektory. Potom máme g(v, w) = g(v, w) = g(Av, w) = g(v, Aw) = g(v, w) = g(v, w). Odtud plyne g(v, w) = 0, neboli že vektory v a w jsou k sobě kolmé. Dále předpokládejme, že A má jediné vlastní číslo a buď v příslušný vlastní vektor. Vezměme nenulový vektor w kolmý k vektoru v, tj. takový, že g(v, w) = 0 Potom máme g(v, Aw) = g(Av, w) = g(v, w) = 0, což ukazuje, že rovněž vektor Aw je kolmý k vektoru v. Protože dim V = 2 znamená to, že existuje reálné číslo takové, že Aw = w. Vidíme, že je vlastní číslo lineárního zobrazení A. Protože ale podle předpokladu A má jediné vlastní číslo, je = . Vidíme tak, že A = I, kde I značí identické zobrazení. Každý nenulový vektor je potom vlastním vektorem.