Neparametrické testy o mediánech Motivace: Při aplikaci t-testů či analýzy rozptylu by měly být splněny určité předpoklady: - normalita dat (pro výběry větších rozsahů (n ≥ 30) nemá mírné porušení normality závažný dopad na výsledky) - homogenita rozptylů - intervalový či poměrový charakter dat Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, použijeme tzv. neparametrické testy, které nevyžadují předpoklad o konkrétním typu rozložení (např. normálním), stačí např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení, z něhož náhodný výběr pochází, je spojitá. Nevýhoda - ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou neparametrické testy slabší, tzn., že nepravdivou hypotézu zamítají s menší pravděpodobností než testy parametrické. V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy, které jsou založeny na pořadí a týkají se mediánů. Nazývají se pořadové testy. Pojem pořadí a průměrného pořadí Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr. Vektor (X[(1)], ...., X[(n)]), kde X[(1)] ≤ ... ≤ X[(n)] se nazývá uspořádaný náhodný výběr a statistika X[(i)] se nazývá i-tá pořádková statistika, i = 1, ..., n. Pořadím R[i] statistiky X[i] rozumíme počet těch náhodných veličin X[1], ..., X[n], které nabývají hodnoty menší nebo rovné X[i], tj. . V praxi se může stát, že některá pozorování jsou si rovna a vytvářejí skupiny shodných čísel. Pak těmto shodným číslům přiřadíme průměrné pořadí odpovídající takové skupině. Příklad: Máme čísla 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3 2,2. Stanovte jejich pořadí. Řešení: usp.hodnoty 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 2,4 pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 průměrné pořadí 1,5 1,5 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 9 10 Jednovýběrový znaménkový test a jeho asymptotická varianta Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr ze spojitého rozložení se spojitou distribuční funkcí Φ(x). Nechť x[0,50 ] je mediánem tohoto rozložení, tj. Φ(x[0,50]) = 0,5. Nechť c je reálná konstanta. Testujeme hypotézu H[0]: x[0,50] = c proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] ≠ c (resp. proti levostranné alternativě H[1]: x[0,50] < c resp. proti pravostranné alternativě H[1]: x[0,50] > c). Postup provedení testu: a) Utvoříme rozdíly Y[i] = X[i] – c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.) b) Zavedeme statistiku S[Z]^+, která udává počet těch rozdílů, které jsou kladné. Platí-li H[0], pak S[Z]^+ ~ Bi(n,1/2), tedy E(S[Z]^+) = n/2, D(S[Z]^+) = n/4. c) Stanovíme kritický obor. Pro oboustrannou alternativu ho budou tvořit ty hodnoty testové statistiky S[Z]^+, které jsou blízké 0 nebo n, tedy , kde nezáporná celá čísla k[1], k[2], splňují podmínky , Pro levostrannou alternativu: , kde nezáporné celé číslo k[1] splňuje podmínku Pro pravostrannou alternativu: , kde nezáporné celé číslo k[2] splňuje podmínku (Čísla k[1], k[2] pro oboustranný test i pro jednostranné testy lze najít ve statistických tabulkách.) d) H[0] zamítáme na hladině významnosti α, když . Asymptotická varianta testu: Pro velká n (prakticky n > 20) lze využít asymptotické normality statistiky S[Z]^+. Testová statistika má za platnosti H[0 ] asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor - pro oboustrannou alternativu: W = , - pro levostrannou alternativu: W = , - pro pravostrannou alternativu: W = . H[0] zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když . Aproximace rozložením N(0,1) se zlepší, když použijeme tzv. korekci na nespojitost. Testová statistika pak má tvar , přičemž 1/2 přičteme, když S[Z]^+ < n/2 a odečteme v opačném případě. Příklad: U 10 náhodně vybraných vzorků benzínu byly zjištěny následující hodnoty oktanového čísla: 98,2 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97,1 97,7 98,0. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián oktanového čísla je 98 proti oboustranné alternativě. Řešení: Testujeme H[0]: x[0,50] = 98 proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] ≠ 98, kde x[0,50] je medián rozložení, z něhož pochází náhodný výběr X[1], …, X[10]. rozdíly x[i] – 98: 0,2 -1,2 -1,7 1,8 -1,1 0,6 -2,4 -0,9 -0,3 0,0 S[Z]^+ = 3, nenulových rozdílů je 9. Ve statistických tabulkách najdeme pro n = 9 a α = 0,05 kritické hodnoty k[1] = 1, k[2] = 8. Protože kritický obor neobsahuje hodnotu 3, nemůžeme H[0] zamítnout na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné X napíšeme hodnoty oktanového čísla a do proměnné konst uložíme číslo 98. Statistiky –Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných X, Druhý seznam proměnných konst – OK – Znaménkový test. Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 66,7%, tj. 6. Hodnota testové statistiky S[Z]^+ = 9 – 6 = 3. Asymptotická testová statistika U[0] (zde označená jako Z) se realizuje hodnotou 0,6667. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,505, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že medián oktanového čísla je 98. Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky S[Z]^+, tj. n > 20. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro n = 9 a α = 0,05 jsou kritické hodnoty k[1] = 1, k[2] = 8. Protože kritický obor neobsahuje hodnotu 3, nezamítáme H[0] na hladině významnosti 0,05. Dostáváme týž výsledek jako při použití asymptotického testu. Párový znaménkový test Nechť (X[1], Y[1]), ..., (X[n], Y[n]) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení. Testujeme H[0]: x[0,50] - y[0,50] = c proti H[1]: x[0,50] - y[0,50] ≠ c (resp. proti jednostranným alternativám). Utvoříme rozdíly Z[i] = X[i] – Y[i], i = 1, ..., n a testujeme hypotézu o mediánu z[0,50], tj. H[0]: z[0,50] = c proti H[1]: z[0,50] ≠ c. Příklad: U osmi osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a po něm. č. osoby 1 2 3 4 5 6 7 8 tlak před 130 185 162 136 147 181 138 139 tlak po 139 190 175 135 155 175 158 149 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus neovlivní systolický krevní tlak Řešení: Testujeme H[0]: z[0,50] = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: z[0,50] ≠ 0, kde z[0,50] je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z[1] = X[1] – Y[1], … Z[15] = X[8] – Y[8]. Vypočteme rozdíly mezi tlakem před pokusem a po pokusu, čímž úlohu převedeme na jednovýběrový test. rozdíly x[i] – y[i]: -9 -5 -13 1 -8 6 -30 -10 Testová statistika S[Z]^+ = 2.Ve statistických tabulkách najdeme pro n = 8 a α = 0,05 kritické hodnoty k[1] = 0, k[2] = 8. Protože kritický obor neobsahuje hodnotu 2, nemůžeme H0 zamítnout na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 0,05 je zvýšení krevního tlaku stejně pravvděpodobné jako jeho pokles. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 8 případy. Do proměnné X napíšeme hodnoty tlaku před pokusem, do proměnné Y hodnoty tlaku po pokusu. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y – OK – Znaménkový test. Vidíme, že nenulových hodnot n = 8. Z nich záporných je 75%, tj. 6. Hodnota testové statistiky S[Z]^+ = 8 – 6 = 2. Asymptotická testová statistika U[0] (zde označená jako Z) se realizuje hodnotou 1,06066. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,2888, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že zvýšení krevního tlaku stejně pravděpodobné jako jeho pokles. Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta Frank Wilcoxon (1892 – 1965): Americký statistik a chemik Nechť X[1], ..., X[n] je náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou φ(x), která je symetrická kolem mediánu x[0,50], tj. φ(x[0,50 ]+[ ]x) = φ(x[0,50 ]-[ ]x). Nechť c je reálná konstanta. Testujeme hypotézu H[0]: x[0,50] = c proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] ≠ c nebo proti levostranné alternativě H[1]: x[0,50] < c nebo proti pravostranné alternativě H[1]: x[0,50] > c. Postup provedení testu: a) Utvoříme rozdíly Y[i] = X[i] – c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.) b) Absolutní hodnoty │Y[i]│uspořádáme vzestupně podle velikosti a spočteme pořadí R[i]. c) Zavedeme statistiky , což je součet pořadí přes kladné hodnoty Y[i], , což je součet pořadí přes záporné hodnoty Y[i]. Přitom platí, že součet S[W]^+ + S[W]^- = n(n+1)/2. Je-li H[0] pravdivá, pak E(S[W]^+) = n(n+1)/4 a D(S[W]^+) = n(n+1)(2n+1)/24. d) Testová statistika = min(S[W]^+, S[W]^-) pro oboustrannou alternativu, = S[W]^+ pro levostrannou alternativu, = S[W]^- pro pravostrannou alternativu. e) H[0] zamítáme na hladině významnosti α, když testová statistika je menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě. Asymptotická varianta jednovýběrového Wilcoxonova testu: Pro n ≥ 30 lze využít asymptotické normality statistiky S[W]^+. Platí-li H[0], pak ≈ N(0,1). Kritický obor: pro oboustrannou alternativu W = , pro levostrannou alternativu W = , pro pravostrannou alternativu W = H[0] zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když . Předpoklady použití jednovýběrového Wilcoxonova testu: - rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází, je spojité - hustota tohoto rozložení je symetrická kolem mediánu - sledovaná veličina X má aspoň ordinální charakter (Není-li splněn předpoklad o symetrii hustoty kolem mediánu, lze použít např. znaménkový test.) Příklad: Pro zadání příkladu s oktanovým číslem benzínu proveďte jednovýběrový Wilcoxonův test. Řešení: Testujeme hypotézu H[0]: x[0,50] = 98 proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] ≠ 98. Absolutní hodnoty rozdílů x[i] – 98 setřídíme vzestupně podle velikosti (přitom vynecháme nulový rozdíl a kladné rozdíly značíme tučně): abs (x[i] – 98) 0,2 0,3 0,6 0,9 1,1 1,2 1,7 1,8 2,4 pořadí R[i] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů: S[W]^+ = 12 Součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů: S[W]^- = 33 Testová statistika = min(12,33) = 12, tabelovaná kritická hodnota pro α = 0,05 a n = 9 je 5. Protože 12 > 5, H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné oktan napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 98. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných oktan, 2. seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test. Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW^+ (zde označena T), hodnotu asymptotické testové statistiky U[0] a p-hodnotu pro U[0]. V tomto případě je p-hodnota 0,213525, tedy nulová hypotéza se nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05. Párový Wilcoxonův test Nechť (X[1], Y[1]), ..., (X[n] Y[n]) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení. Testujeme H[0]: x[0,50] - y[,50] = c proti H[1]: x[0,50] - y[0,50] ≠ c (resp. proti jednostranným alternativám). Utvoříme rozdíly Z[i] = X[i] – Y[i], i = 1, ..., n a testujeme hypotézu o mediánu z[0,50], tj. H[0]: z[0,50] = c proti H[1]: z[0,50] ≠ c. Příklad: Pro data z příkladu o sytolickém krevním tlaku proveďte párový Wilcoxonův test. Řešení: Testujeme H[0]: z[0,50] = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: z[0,50] ≠ 0, kde z[0,50] je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z[1] = X[1] – Y[1], … Z[8] = X[8] – Y[8]. Absolutní hodnoty rozdílů x[i] – y[i] setřídíme vzestupně podle velikosti (kladné rozdíly značíme tučně): abs (x[i] – y[i]) 1 5 6 8 9 10 13 20 pořadí R[i] 1 2 3 4 5 6 7 8 Součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů: S[W]^+ = 4 Součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů: S[W]^- = 32 Testová statistika = min(4,3) = 4, tabelovaná kritická hodnota pro α = 0,05 a n = 8 je 3. Protože 4 > 3, H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Použijeme datový soubor, který jsme již vytvořili pro aplikaci znaménkového testu. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y – OK – Wilcoxonův párový test. Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 4, asymptotická testová statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 1,960392, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,049951, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. To je v rozporu s výsledkem, k němuž jsme dospěli při ručním výpočtu. Je to způsobeno tím, že není dodržena podmínka pro použití asymptotické varianty Wilcoxonova testu – rozsah výběru má být aspoň 30. Příklad (na asymptotickou variantu Wilcoxonova testu): 30 náhodně vybraných osob mělo nezávisle na sobě bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne 1 minuta. Byly získány následující výsledky (v sekundách): 53 48 45 55 63 51 66 56 50 58 61 51 64 63 59 47 46 58 52 56 61 57 48 62 54 49 51 46 53 58. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází, je 60 sekund proti oboustranné alternativě (nulová hypotéza vlastně tvrdí, že polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a druhá nadhodnotí). Řešení: Testujeme H[0]: x[0,50] = 60 proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] ≠ 60. Obvyklým způsobem stanovíme statistiku S[W]^+ = 55. Asymptotická testová statistika: Kritický obor: W = . Testová statistika se realizuje v kritickém oboru, tedy H[0] zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 30 případy. Do proměnné odhad napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 60. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných odhad, Druhý seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test. Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 55, asymptotická testová statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 3,65088, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,000261, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta Nechť X[1], ..., X[n ]a Y[1], ..., Y[m] jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím. Označme x[0,50] medián prvního rozložení a y[0,50] medián druhého rozložení. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné, tj. H[0]: x[0,50] - y[0,50] = 0 proti H[1]: x[0,50] - y[0,50] ≠ 0. Postup provedení testu: a) Všech n + m hodnot X[1], ..., X[n ]a Y[1], ..., Y[m] uspořádáme vzestupně podle velikosti. b) Zjistíme součet pořadí hodnot X[1], ..., X[n ]a označíme ho T[1]. Součet pořadí hodnot Y[1], ..., Y[m] označíme T[2]. c) Vypočteme statistiky U[1] = mn + n(n+1)/2 – T[1] , U[2] = mn + m(m+1)/2 - T[2]. Přitom platí U[1] + U[2] = mn. d) Pokud min(U[1],U[2]) ≤ tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané α), pak nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme na hladině významnosti α. V tabulkách: n = min{m,n} a m = max{m,n}. Asymptotická varianta dvouvýběrového Wilcoxonova testu: Pro velká n, m (n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky U[1]. Platí-li H[0], pak ≈ N(0,1), kde U[1] = min(U[1],U[2]). Kritický obor: pro oboustrannou alternativu W = , pro levostrannou alternativu W = , pro pravostrannou alternativu W = H[0] zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když . Předpoklady použití dvouvýběrového Wilcoxonova testu: - dané dva náhodné výběry jsou nezávislé - rozložení, z nichž dané dva náhodné výběry pocházejí, jsou spojitá - distribuční funkce těchto rozložení se mohou lišit pouze posunutím - sledovaná veličina má aspoň ordinální charakter (Není-li splněn předpoklad, že distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím, lze použít např. dvouvýběrový Kolmogorovův – Smirnovův test.) Příklad: Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je různými technologiemi. Rozhodující je procentní obsah určité látky. 1. technologie: 1,52 1,57 1,71 1,34 1,68 2. technologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,72 1,79 1,64 1,55 Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxonova testu, zda je oprávněný předpoklad, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky. Řešení: Na hladině významnosti 0,05 testujeme H[0]: x[0,50] - y[0,50] = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: x[0,50] - y[0,50] ≠ 0. usp.h. 1,34 1,52 1,55 1,56 1,57 1,64 1,66 1,67 1,68 1,71 1,72 1,75 1,79 pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 T[1] = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 = 27, T[2] = 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 11 + 12 + 13 = 64 U[1] = 5.8 + 5.6/2 - 27 = 28, U[2] = 5.8 + 8.9/2 - 64 = 12 Kritická hodnota pro α = 0,05, min(5,8) = 5, max(5,8) = 8 je 6. Protože min(28,12) = 12 > 6, nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 13 případy. Do proměnné X napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné ID napíšeme 5x číslo 1 pro první technologii a 8x číslo 2 pro starý druhou technologii. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK – Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID – OK – M-W U test. Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test uveden pod názvem Mannův – Whitneyův test. Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T[1], T[2], hodnota testové statistiky min(U[1], U[2]) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U[0] (označená Z), asymptotická p-hodnota pro U[0 ]a přesná p-hodnota (ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,284382, tedy H[0] nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem. Je zřejmé, že první technologie poskytuje vesměs nižší procento účinné látky než druhá technologie a také vykazuje poněkud větší variabilitu. Kruskalův - Wallisův test William Kruskal (1919 – 2005): Americký matematik Wilson Allen Wallis (1912 – 1988): Americký matematik Nechť je dáno r ≥ 3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n[1], ... , n[r]. Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze spojitých rozložení. Označme n = n[1] + ... + n[r]. Na asymptotické hladině významnosti α chceme testovat hypotézu, že všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení. Postup testu: a) Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti. b) Určíme pořadí každé hodnoty v tomto sdruženém výběru. c) Označme Tj součet pořadí těch hodnot, které patří do j-tého výběru, j = 1, ..., r (kontrola: musí platit T[1] + ... + T[r] = n(n+1)/2). d) Testová statistika má tvar: . Platí-li H[0], má statistika Q asymptoticky rozložení χ^2(r-1). e) Kritický obor: . f) H[0] zamítneme na asymptotické hladině významnosti α, když Q ≥ χ[1-α] ^2(r-1). Příklad: V roce 1980 byly získány tři nezávislé výběry obsahující údaje o průměrných ročních příjmech (v tisících dolarů) čtyř sociálních skupin ve třech různých oblastech USA. jižní oblast: 6 10 15 29 pacifická oblast: 11 13 17 131 severovýchodní oblast: 7 14 28 25 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že příjmy v těchto oblastech se neliší. Řešení: Výpočty uspořádáme do tabulky Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131 Pořadí 1.výběru[] 1 3 7 11 Pořadí 2.výběru 4 5 8 12 Pořadí 3.výběru 2 6 9 10 T[1] = 1 + 3 + 7 + 11 = 22, T[2] = 4 + 5 + 8 + 12 = 29, T[3] = 2 + 6 + 9 + 10 = 27 , , Protože Q < 5,991, H[0] nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Rozdíly mezi průměrnými ročními příjmy v uvedených třech oblastech se neprokázaly. Mediánový test Výchozí situace je stejná jako u K-W testu Postup testu: a) Všech n hodnot uspořádáme do rostoucí posloupnosti. b) Najdeme medián x[0,50] těchto n hodnot. c) Označme P[j] počet hodnot v j-tém výběru, které jsou větší nebo rovny mediánu x[0,50]. d) Testová statistika má tvar . Platí-li H[0], má statistika Q[M] asymptoticky rozložení χ^2(r-1). e) Kritický obor: . f) H[0] zamítneme na asymptotické hladině významnosti α, když Q[M] ≥ χ[1-α] ^2(r-1). Příklad: Pro data o průměrných ročních příjmech proveďte mediánový test. Hladinu významnosti volte 0,05. Řešení: Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131 Medián je průměr 6. a 7. uspořádané hodnoty: . V prvním výběru existují 2 hodnoty, které jsou větší nebo rovny 14,5, stejně tak i ve druhém a třetím výběru, tedy P[1] = P[2] = P[3] = 2. Testová statistika: Kritický obor: Protože Q[M] < 5,991, H[0] nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Metody mnohonásobného porovnávání Zamítneme-li hypotézu, že všechny náhodné výběry pocházejí z téhož rozložení, zajímá nás, které dvojice náhodných výběrů se liší na zvolené hladině významnosti. Testujeme H[0]: k-tý a l-tý náhodný výběr pocházejí z téhož rozložení, k, l = 1, .., r, k ≠ l proti H[1]: aspoň jedna dvojice výběrů pochází z různých rozložení. a) Neményiho metoda (Peter Neményi 1927 – 2002: Americký matematik maďarského původu) - Všechny výběry mají týž rozsah p (třídění je vyvážené). - Vypočteme │T[l] - T[k]│. - V tabulkách najdeme kritickou hodnotu (pro dané p, r, α ). - Pokud│T[l] - T[k]│≥ tabelovaná kritická hodnota, pak na hladině významnosti α zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení. b) Obecná metoda mnohonásobného porovnávání - Vypočteme . - Ve speciálních statistických tabulkách najdeme kritickou hodnotu h[KW](α ). Při větších rozsazích výběrů je možno ji nahradit kvantilem χ[1-α] ^2(r-1). - Jestliže , pak na hladině významnosti α zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení. Příklad: Čtyři laboranti provedli analytické stanovení procenta niklu v oceli. Každý hodnotil pět vzorků. Laborant A: 4,15 4,26 4,10 4,30 4,25 Laborant B: 4,38 4,40 4,29 4,39 4,45 Laborant C: 4,23 4,16 4,20 4,24 4,27 Laborant D: 4,41 4,31 4,42 4,37 4,43 Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že všechny čtyři náhodné výběry pocházejí ze stejného rozložení. Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice výběrů se liší. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a 20 případech. Do proměnné nikl napíšeme změřené hodnoty, do proměnné laborant napíšeme 5x1 pro 1. laboranta atd. až 5x4 pro 4. laboranta. Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků - OK – Seznam závislých proměnných nikl, Nezáv. (grupovací) proměnná laborant – OK – Summary: Kruskal-Wallis ANOVA & Median test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W testu a mediánového testu. Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách, ale K-W test je poněkud silnější (p-hodnota = 0,0032, zatímco p-hodnota pro mediánový test je 0,0035). Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice laborantů se liší. Zvolíme Vícenás. porovnání průměrného pořadí pro vš. skupiny. Tabulka obsahuje p-hodnoty pro porovnání dvojic skupin. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší laboranti A, D a laboranti C, D. Grafické znázornění výsledků Kritické hodnoty znaménkového testu pro n = 6, 7, .., 20, α = 0,05 a α = 0,01 n α = 0,05 α = 0,01 k[1] k[2] k[1] k[2] 6 0 6 - - 7 0 7 - - 8 0 8 0 8 9 1 8 0 9 10 1 9 0 10 11 1 10 0 11 12 2 10 1 11 13 2 11 1 12 14 2 12 1 13 15 3 12 2 13 16 3 13 2 14 17 4 13 2 15 18 4 14 3 15 19 4 15 3 16 20 5 15 3 17 Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.8). Kritické hodnoty jednovýběrového Wilcoxonova testu pro n = 6, 7, .., 30, α = 0,05 a α = 0,01 n α = 0,05 α = 0,01 krit. hodnota krit. hodnota 6 0 - 7 2 - 8 3 0 9 5 1 10 8 3 11 10 5 12 13 7 13 17 9 14 21 12 15 25 15 16 29 19 17 34 23 18 40 27 19 46 32 20 52 37 21 58 42 22 65 48 23 73 54 24 81 61 25 89 68 26 98 75 27 107 83 28 116 91 29 126 100 30 137 109 Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.9). Kritické hodnoty Neményiho metody, r = 3, 4, .., 10, n = 1, 2, …, 25, α = 0,05 r n 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3,3 4,7 6,1 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 2 8,8 12,6 16,5 20,5 24,7 28,9 33,1 37,4 3 15,7 22,7 29,9 37,3 44,8 52,5 60,3 68,2 4 23,9 34,6 45,6 57,0 68,6 80,4 92,4 104,6 5 33,1 48,1 63,5 79,3 95,5 112,0 128,8 145,8 6 43,3 62,9 83,2 104,0 125,3 147,0 169,1 191,4 7 54,4 79,1 104,6 130,8 157,6 184,9 212,8 240,9 8 66,3 96,4 127,6 159,6 192,4 225,7 259,7 294,1 9 75,9 114,8 152,0 190,2 229,3 269,1 309,6 350,6 10 92,3 134,3 177,8 222,6 268,4 315,0 362,4 410,5 11 106,3 154,8 205,0 256,6 309,4 363,2 417,9 473,3 12 120,9 176,2 233,4 292,2 352,4 413,6 476,0 539,1 13 136,2 198,5 263,0 329,3 397,1 466,2 536,5 607,7 14 152,1 221,7 293,8 367,8 443,6 520,8 599,4 679,0 15 168,6 245,7 325,7 407,8 491,9 577,4 664,6 752,8 16 185,6 270,6 358,6 449,1 541,7 635,9 732,0 829,2 17 203,1 296,2 392,6 491,7 593,1 696,3 801,5 907,9 18 221,2 322,6 427,6 535,5 646,1 758,5 873,1 989,0 19 239,8 349,7 463,6 580,6 700,5 822,4 946,7 1072,4 20 258,8 377,6 500,5 626,9 756,4 888,1 1022,3 1158,1 21 278,4 406,1 538,4 674,4 813,7 955,4 1099,8 1245,9 22 298,4 435,3 577,2 723,0 872,3 1024,3 1179,1 1335,7 23 318,9 465,2 616,9 772,7 932,4 1094,8 1260,3 1427,7 24 339,8 495,8 657,4 823,5 993,7 1166,8 1343,2 1521,7 25 361,1 527,0 698,8 875,4 1056,3 1240,4 1427,9 1611,6 Zdroj: Blatná, Dagmar: Neparametrické metody. Tabulka T21/1. Kritické hodnoty dvouvýběrového Wilcoxonova testu pro m = 1, 2, .., 30, n = 1, 2, …, 30, α = 0,05 n m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 - 2 - - 3 - - - 4 - - - 0 5 - - 0 1 2 6 - - 1 2 3 5 7 - - 1 3 5 6 8 8 - 0 2 4 6 8 10 13 9 - 0 2 4 7 10 12 15 17 10 - 0 3 5 8 11 14 17 20 23 11 -- 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 12 - 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 13 - 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45 14 - 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 15 - 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 16 - 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 17 - 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 69 75 81 87 18 - 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 19 - 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 20 - 2 8 14 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127 21 - 2 8 15 22 29 36 43 50 58 65 73 80 88 96 103 111 119 126 134 22 - 3 9 16 23 30 38 45 53 61 69 77 85 93 101 109 117 125 133 141 23 - 3 9 17 24 32 40 48 56 64 73 81 89 98 106 115 123 132 140 149 24 - 3 10 17 25 33 42 50 59 67 76 85 94 102 111 120 129 138 147 156 25 - 3 10 18 27 35 44 53 62 71 80 89 98 107 117 126 135 145 154 161 26 - 4 11 19 28 37 46 55 64 74 83 93 102 112 122 132 141 151 161 171 27 - 4 11 20 29 38 48 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 158 168 178 28 - 4 12 21 30 40 50 60 70 80 90 101 111 122 132 143 154 164 175 186 29 - 4 13 22 32 42 52 62 73 83 94 105 116 127 138 149 160 171 182 193 30 - 5 13 23 33 43 54 65 76 87 98 109 120 131 143 154 166 177 189 200 Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.10a).