1. Exponenciální rozložení a jeho vlastnosti


1.1. Definice: Definice náhodné veličiny s exponenciálním rozložením.


1.2. Věta: Vysvětlení, proč se exponenciální rozložení nazývá rozložením bez paměti.


1.3. Poznámka: Exponenciální rozložení je speciálním případem Erlangova rozložení.


1.4. Příklad: Výrobce žárovek jisté značky ví, že průměrná životnost jeho žárovek je 10 000 h.
V rámci své propagační kampaně chce garantovat dobu t, do níž se spálí maximálně 3 % žárovek.
Stanovte tuto dobu t.

Řešení: Životnost žárovky je náhodná veličina X ~ Ex(λ), přičemž 1/ λ = 10 000, tj. λ = 0,0001.
Nyní musíme najít dobu t tak, aby . Tedy


1.5. Věta: Věta o standardizovaném exponenciálním rozložení.


1.6. Věta: Věta o transformaci rovnoměrného spojitého rozložení na intervalu (0,1) na exponenciální
rozložení.


1.7. Poznámka: Využití vět 1.5. a 1.6. při generování realizací náhodné veličiny s exponenciálním
rozložením na počítači.


1.8. Věta: Věta o rozložení minima dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin s exponenciálním
rozložením.


1.9. Poznámka: Zobecnění věty 1.8.


1.10. Věta: Věta o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin
s exponenciálním rozložením.


1.11. Poznámka: Zobecnění věty 1.10.


1.12. Příklad: Zákazník prochází třemi stanicemi obsluhy, přičemž v každé z nich má doba obsluhy
exponenciální rozložení se střední hodnotou 1 min. Jaká je pravděpodobnost, že celková doba obsluhy
nepřesáhne 2 min?

Řešení: Podle poznámky 1.11. se celková doba obsluhy Y řídí rozložením Er(3,1), tedy


1.13. Věta: Věta o transformaci exponenciálního rozložení na rozložení .


1.14. Věta: Věta o pravděpodobnosti přežití jedné součástky druhou součástkou.


1.15. Věta: Věta o 100(1-α)% přibližném empirickém intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu
exponenciálního rozložení.


1.16. Příklad: V jisté prodejně potravin bylo na základě náhodného výběru 50 zákazníků zjištěno, že
průměrná doba obsluhy u pokladny je 30 s. Předpokládejme, že doba obsluhy u pokladny je náhodná
veličina, která se řídí exponenciálním rozložením. Najděte 95% přibližný empirický interval
spolehlivosti pro střední hodnotu doby obsluhy.

Řešení: n = 50, m = 30, α = 0,05

23 s < 1/λ < 40 s s pravděpodobností aspoň 0,95.