2. Poissonovo rozložení a jeho vlastnosti


2.1. Definice: Definice náhodné veličiny s Poissonovým rozložením.


2.2. Příklad: Pravděpodobnost závady na 1 km telefonního vodiče je 0,01. Kabel je složen ze 100
vodičů a bude plnit svůj účel, pokud aspoň 99 vodičů je v pořádku. Jaká je pravděpodobnost, že
kabel délky 1 km bude plnit svůj účel?

Řešení: X – počet porouchaných vodičů v kabelu, X ~ Po(λ), kde λ = 100.0,01 = 1. Počítáme


2.3. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci Poissonova rozložení.


2.4. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl
Poissonova rozložení.

Řešení: .

.


2.5. Věta: Věta o modu Poissonova rozložení.


2.6. Příklad: K holiči chodí průměrně 6 zákazníků za 1 h. Určete nejpravděpodobnější počet
zákazníků u holiče během půl hodiny a dále určete pravděpodobnost tohoto počtu.

Řešení: Střední hodnota počtu zákazníků, kteří přijdou k holiči během půl hodiny, je rovna 3.
Protože je to přirozené číslo, jsou nejpravděpodobnější hodnoty dvě, a to 2 a 3. Přitom P(X=2) =
P(X=3) = 0,224.


2.7. Věta: Věta o konvergenci binomického rozložení k Poissonovu rozložení.


2.8. Příklad: Dělnice v přádelně obsluhuje 800 vřeten. Pravděpodobnost toho, že se příze přetrhne
během časového intervalu délky t, je pro všechna vřetena stejná a je rovna 0,005. Určete
pravděpodobnost, že během intervalu délky t dojde k nejvýše 10 přetržením.

Řešení: Y – počet přetržení v intervalu délky t, Y ~ Bi(800, 0,005).

Přesný výpočet:

Aproximace Poissonovým rozložením(podmínky dobré aproximace jsou splněny, protože

n = 800 > 30 a = 0,005 < 0,1): ,


2.9. Věta: Věta o aproximaci Poissonova rozložení normálním rozložením


2.10. Příklad: Nechť X ~ Po(λ), λ = 12. Pomocí aproximace normálním rozložením stanovte .

Řešení:

Přesný výpočet:

2.11. Věta: Věta o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin s Poissonovým
rozložením.


2.12. Poznámka: Zobecnění věty 2.11.


2.13. Věta: Věta o 100(1-α)% přibližném empirickém intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu
Poissonova rozložení.


2.14. Příklad: Předpokládejme, že při výrobě určité tkaniny je počet kazů na 100 m této tkaniny
náhodná veličina s rozložením Po(λ). Při kontrole 25 stometrových balíků tkaniny bylo zjištěno, že
průměrný počet kazů je 30. Najděte 95% přibližný empirický interval spolehlivosti pro střední
hodnotu počtu kazů.

Řešení: n = 25, n.m = 30, α = 0,05

0,81 < λ < 1,71 s pravděpodobností aspoň 0,95.


2.15. Poznámka: Je-li počet stupňů volnosti rozložení  dostatečně velký (n > 30), lze kvantily
aproximovat pomocí vzorce: .

V našem případě:


2.16. Poznámka: Pro dostatečně velká n (n > 30) lze rozložení  aproximovat rozložením N(n, 2n). Pak
 a meze 100(1-α)% přibližného empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu Poissonova
rozložení budou:

,


2.17. Příklad: Pro údaje z příkladu 2.14. vypočtěte 95% přibližný empirický interval spolehlivosti
pro střední hodnotu počtu kazů pomocí aproximace normálním rozložením.

Řešení:

,

0,77 < λ < 1,68 s pravděpodobností aspoň 0,95.


2.18. Poznámka: Je-li rozsah výběru n > 20, lze meze 100(1-α)% přibližného empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu Poissonova rozložení počítat podle vzorců:

,

V našem případě: ,

0,75 < λ < 1,65 s pravděpodobností aspoň 0,95.