Využití exponenciálního rozložení při analýze příjmů


Úvod do problému: Je známo, že příjmy obyvatelstva ve společnosti jsou rozděleny nerovnoměrně. Jako
první zkoumal toto rozdělení italský inženýr Vilfredo Pareto na konci 19. století. Zjistil, že
příjmy lze modelovat mocninnou funkcí. V dalších letech se ukázalo, že tento tzv. Paretův zákon
platí jen pro 5% nejbohatších lidí. Příjmy ostatních 95% obyvatel lze modelovat pomocí
exponenciálního rozložení. (Proč to tak je? To je vysvětleno v článku F. Slaniny, Vesmír č. 9, rok
2001)

Hustota: , distribuční funkce:

Nechť náhodná veličina X udává měsíční příjem náhodně vybraného zaměstnance. Předpokládejme, že X ~
Ex(λ). Podle údajů Českého statistického úřadu dosáhla průměrná hrubá mzda v ČR za 1. až 3.
čtvrtletí roku 2007 hodnoty 21 119 Kč.


Úkol 1.: Zjistěte parametr λ pro náhodnou veličinu X.

Řešení:


Úkol 2.: Odvoďte obecný vzorec pro výpočet α-kvantilu náhodné veličiny X a pak vyjádřete medián
náhodné veličiny X. Co lze říci o vztahu střední hodnoty a mediánu?

Řešení:

Výpočet mediánu:

Znamená to, že aspoň polovina osob má průměrnou hrubou mzdu nejvýše 14 639 Kč a aspoň polovina osob
má průměrnou hrubou mzdu aspoň 14 639 Kč.

Protože exponenciální rozložení je rozložení s kladnou šikmostí (lze spočítat, že šikmost = 2),
bude medián vždy menší než střední hodnota.


Úkol 3.: Kolik procent zaměstnanců má podprůměrnou hrubou mzdu?

Řešení:

Znamená to, že téměř 2/3 zaměstnanců nedosáhnou na průměrnou mzdu. Průměr tedy není vhodnou
charakteristikou střední úrovně mezd.


                                     Práce se systémem MATLAB


Úkol 1.: Pomocí funkce exprnd náhodně vygenerujte příjmy n  = 1000, 10 000 a 100 000 osob a
vytvořte histogram vygenerovaných příjmů.

r = exprnd(20000,n,1);

hist(r)


Úkol 2.: Vypočtěte průměrný příjem a vypočtěte medián příjmů.

m = mean(r); x50 = median(r);

Zjištěné hodnoty porovnejte s teoretickými hodnotami.


Úkol 3.: Zjistěte, kolik procent osob bude mít podprůměrné příjmy.

pocet=0;
pocet=sum(r<m);

procento=100*počet/n

Zjištěnou hodnotu porovnejte s teoretickou hodnotou 63,2%.