Využití MATLABu při práci s exponenciálním a Poissonovým rozložením


Základní poznatky o exponenciálním rozložení Ex(λ)

Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit

každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom 1/λ vyjadřuje střední
dobu čekání.


Hustota: , distribuční funkce: ,

kvantilová funkce: , kde 0 < α < 1.

Střední hodnota: , rozptyl: .

Interval spolehlivosti pro střední hodnotu: Nechť X[1], …, X[n] je náhodný výběr z rozložení Ex(λ)
a nechť m je realizace výběrového průměru. Pak meze 100(1-α)% přibližného empirického intervalu
spolehlivosti pro  jsou:


Pozor, funkce v MATLABu pro práci s exponenciálním rozložením vyžadují zadávat převrácenou hodnotu
parametru λ.


a) Kreslení grafu hustoty a distribuční funkce rozložení Ex(1/2)

x=[0:0.01:10]’;

f=exppdf(x,2);

plot(x,f)

df=expcdf(x,2);

figure

plot(x,df)


b) Kreslení grafu kvantilové funkce rozložení Ex(1/2)

alfa=[0.01:0.01:0.99]’;

kf=expinv(alfa,2);

plot(alfa,kv)


c) Generování 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Ex(1/2) a kreslení histogramu s 10
třídicími intervaly

r=exprnd(2,100,1);

hist(r)


d) Odhad střední hodnoty a meze intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu na základě proměnné r

Hodnoty uložené v proměnné r považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z rozložení
Ex(1/2)

[m,meze]=expfit(r)


e) Výpočet střední hodnoty a rozptylu rozložení Ex(1/2)

[m,v]=expstat(2)

Příklady na využití exponenciálního rozložení


Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude
ukončena do dvou dnů?

Řešení: X ~ Ex(1/3),

V MATLABu: p = expcdf(2,3)


Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?

Řešení: X ~ Ex(1/600),

V MATLABu: p = 1- expcdf(200,600)


Příklad 3.: Náhodné doby života dvou součástek jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny,
přičemž X[i] ~ Ex(λ[i]), i = 1, 2. Střední hodnota doby života první součástky je 2 roky, druhé
součástky 3 roky. Jaká je pravděpodobnost, že druhá součástka přežije první?

Řešení:


Příklad 4.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h
bez naléhavého příjmu?

Řešení: X ~ Ex(1/2),

V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)


Příklad 5.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba bezporuchové funkce
i-tého přístroje je náhodná veličina X[i] ~ Ex(λ[i]), i = 1, 2. Jaká je pravděpodobnost, že za dobu
t[0] > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?

Řešení: ad a)

ad b)


Příklad 6.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1)

Řešení:

V MATLABu: K = expinv(0.05,10)
Základní poznatky o Poissonově rozložení Po(λ)


Náhodná veličina X  ~ Po(λ) udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu
případně v jednotkové oblasti, jestliže k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně
nezávisle. Parametr λ je střední hodnota počtu těchto událostí. Pokud sledujeme náhodnou veličinu,
která udává počet událostí v intervalu délky t, pak uvedená náhodná veličina má rozložení Po(tλ).

Pravděpodobnostní funkce:

Distribuční funkce:

Střední hodnota: E(X) = λ, rozptyl: D(X) = λ


Aproximace binomického rozložení pomocí Poissonova rozložení:

Nechť náhodná veličina X ~ Bi(n, υ). Za předpokladu, že n ≥ 30 a υ ≤ 0,1, lze pravděpodobnostní
funkci této náhodné veličiny uspokojivě aproximovat pravděpodobnostní funkcí rozložení Po(nυ):


Interval spolehlivosti pro střední hodnotu: Nechť X[1], …, X[n] je náhodný výběr z rozložení Po(λ)
a nechť m je realizace výběrového průměru. Pak meze 100(1-α)% přibližného empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu λ jsou:


a) Kreslení grafu pravděpodobnostní a distribuční funkce rozložení Po(2)

x=[0:10]’;

pf=poisspdf(x,2);

plot((x,pf,’o’)

df=poisscdfx,2);

figure

stairs(x,df)

(Samostatný úkol: Jak nakreslit graf distribuční funkce bez svislých čar?)


b) Generování 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Po(2) a kreslení histogramu

r=poissrnd(2,100,1);

hist(r,x)


c) Odhad střední hodnoty a výpočet mezí intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu na základě
proměnné r

Hodnoty uložené v proměnné r považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z rozložení Po(2)

[m,meze]=poissfit(r)


d) Výpočet střední hodnoty a rozptylu rozložení Po(2)

[m,v]=poisstat(2)

Příklady na využití Poissonova rozložení:


Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí
rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?

Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2), P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) =  = 1 -  =
0,8647.

V MATLABu: p = 1 – poisspdf(0,2)


Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že
během 4 minut ústředna zapojí a) právě jeden hovor, b) aspoň dva hovory?

Řešení: X – počet zapojených hovorů během 4 minut = 1/15 hodiny, X  ~ Po(tλ), kde t = 1/15 a λ =
15, tedy X  ~ Po(1).

ad a) ,

ad b)

V MATLABu: a) p = poisspdf(1,1), b) p = 1 – poisscdf(1,1)


Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků zmetkových.
Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo zmetkových. Lze
takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?

Řešení: Budeme počítat pravděpodobnost, že pracovník vyrobil aspoň 11 zmetků za předpokladu, že
stroj je obsluhován správně.

X – počet vyrobených zmetků za týden, X ~ Bi(5000, 0,001). Při splnění podmínek dobré aproximace
lze rozložení veličiny X aproximovat rozložením Po(5).

Je zřejmé, že nový pracovník nepracuje správně.

V MATLABu: p = 1 – poisscdf(10,5)

Přesný výpočet v MATLABu: p = 1 – binocdf(10,5000,0.001)


Příklad 4.: Pro n = 30 a υ = 0,1 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n, υ) Poissonovým
rozložením Po(nυ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí v bodech x = 0, 1, …, 30
zapište do tabulky.

Řešení:

x=[0:1:30]’;

pf1=binopdf(x,30,0.01);

pf2=poisspdf(x,0.3);

[x pf1 pf2]