Příklady na Poissonův proces


Příklad 1.: Proud zákazníků směřujících do banky tvoří Poissonův proces s parametrem λ. Je známo,
že během jedné hodiny přijdou do banky v průměru 2 zákazníci. Jaká je pravděpodobnost, že

a)      přijdou právě 2 zákazníci během prvních 20 minut, kdy má banka otevřeno

b)      přijde aspoň jeden zákazník během prvních 20 minut?

Řešení: Zavedeme Poissonův proces , kde náhodná veličina X[t] udává počet zákazníků, kteří přijdou
do banky v intervalu . Přitom . Intenzita procesu .

ad a)

Řešení pomocí MATLABu: poisspdf(2,2/3)

(Funkce poisspdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x pravděpodobnostní funkce Poissonova rozložení
s parametrem lambda.)

ad b)

Řešení pomocí MATLABu: 1- poisscdf(0,2/3)

(Funkce poisscdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x distribuční funkce Poissonova rozložení
s parametrem lambda.)


Příklad 2.: Předpokládáme, že poruchy určité součástky tvoří Poissonův proces. V průměru připadá
jedna porucha na 200 hodin provozu, tj. na 25 osmihodinových směn. Na skladě jsou dvě náhradní
součástky. Po době odpovídající 60 směnám budou dodány další. Jaká je pravděpodobnost, že stroj
nebude pro nedostatek náhradních součástek vyřazen z provozu do dodávky dalších náhradních
součástek?

Řešení: Zavedeme Poissonův proces , kde náhodná veličina X[t] udává počet poruch stroje v intervalu
. Přitom , kde intenzita . Zajímá nás pravděpodobnost, že v časovém okamžiku t = 60.8 = 480 bude
náhodná veličina X[t] nabývat hodnoty nejvýše 2 (přitom λt = ), tj. počítáme .

Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(2,2.4)


Příklad 3.: Předpokládáme, že na telefonní ústřednu přicházejí v určité denní době hovory
s neměnnou intenzitou 3 hovory za 1 minutu.

a) Jaká je pravděpodobnost, že za 1 minutu dojde na ústřednu méně než 5 hovorů?

b) Určete střední hodnotu délky intervalu mezi dvěma po sobě naásledujícícmi příchody hovorů.

b) Jaká je pravděpodobnost, že délka  intervalu mezi dvěma po sobě následujícími příchody hovorů je
delší než 1 minuta?

Řešení: Zavedeme Poissonův proces , kde náhodná veličina X[t] udává počet hovorů, které přijdou do
ústředny v intervalu . Přitom . Intenzita procesu .

ad a)

Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(4,3)

ad b) Podle věty 7.6. se délka tohoto intervalu řídi exponenciálním rozložením s parametrem , tedy
střední hodnota délky  tohoto intervalu je .

ad c) Počítáme vlastně

Řešení pomocí MATLABu: poisspdf(0,3)

                                    Simulace Poissonova procesu


Zadání:

V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve vilové čtvrti města. V tomto období
vjíždějí auta do této ulice v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly mezi příjezdy
aut se řídí exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu simulujte vjezd 20 aut do této ulice.

a)      Zjistěte celkovou dobu simulace.

b)      Vypočtěte průměrnou, maximální a minimální délku intervalu mezi vjezdy dvou aut.

c)      Vypočtěte směrodatnou odchylku délek intervalů.

d)      Porovnejte tvar histogramu délek intervalů (volte 5 třídicích intervalů) s tvarem hustoty
exponenciálního rozložení s patřičným parametrem.

e)      Znázorněte nasimulovaný Poissonův proces graficky.


Návod:

Zavedeme Poissonův proces , kde , když v intervalu  vjede do ulice právě j aut, j = 0, 1, 2, …
Parametr .

Pomocí funkce unifrnd vygenerujeme 20 náhodných čísel z intervalu (0,1):

r = unifrnd(0,1,20,1);

Proměnnou r transformujeme vztahem :

x = -8*log(1-r);

V proměnné x jsou nyní uloženy délky intervalů mezi vjezdy aut.

Celková doba simulace:

doba = sum(x)

Průměrná délka intervalu:

prumer = mean(x)

Maximální délka intervalu:

maximum = max(x)

Minimální délka intervalu:

minimum = min(x)

Směrodatná odchylka délek intervalů:

so = std(x)

(Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min, směrodatná odchylka =
8 min.)

Histogram délek intervalů s pěti třídicími intervaly znázorníme příkazem hist(x,5).

Znázornění hustoty exponenciálního rozložení s parametrem 8:

plot([0:0.01:maximum],exppdf([0:0.01:maximum],8))

Znázornění nasimulovaného Poissonova procesu:

Do proměnné počet uložíme celkový počet aut:

pocet = [1:20]’;

Do proměnné t uložíme  kumulované délky intervalů:

t = cumsum(x);

Pomocí funkce stairs znázorníme Poissonův proces:

stairs(t,pocet)

Celý postup můžeme zopakovat s větším počtem aut a sledovat, jak se zvyšujícím se počtem simulací
se empirické charakteristiky procesu blíží teoretickým.