Lineární proces vzniku a zániku, Erlangův proces


Definice: Lineární proces vzniku a zániku je HMŘ se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0,
1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0, 1, 0, …) a matici intenzit přechodu .
Konstanty λ > 0, μ > 0 se nazývají intenzity vzniku resp. zániku.


Vlastnosti lineárního procesu vzniku a zániku (pro λ ≠ μ):

a)      Je-li k[0] rozsah souboru v čase 0, pak pro střední hodnotu a rozptyl rozsahu souboru
v čase t platí: , .

b)      Pravděpodobnost zániku souboru v čase t je dána vztahem .


Úkol:

Napište v MATLABu funkci, která bude ilustrovat vlastnosti lineárního procesu vzniku a zániku.

Vstupní parametry:

lambda – intenzita vzniku

mi – intenzita zániku

tau – konečný čas

k0 – rozsah souboru v čase t = 0

Výstupní parametry:

M – vektor středních hodnot v čase t = 0 až tau

S – vektor směrodatných odchylek v čase t = 0 až tau

P – vektor pravděpodobností zániku souboru v čase t = 0 až tau

Funkce bude graficky znázorňovat závislost parametrů M, S, P na čase t= 0 až tau.


Návod:

function [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)

% funkce lpvz ilustruje vlastnosti linearniho procesu vzniku a zaniku

% lambda je intenzita vzniku, mi intenzita zaniku

% tau je konecny cas, k0 rozsah souboru v case t=0

% M je vektor strednich hodnot rozsahu souboru v case t=0 az tau

% S je vektor smerodatnych odchylek rozsahu souboru v case t=0 az tau

% P je pravdepodobnost zaniku souboru v case t=0 az tau

t=[0:tau]';

M=k0*exp((lambda-mi).*t);

S=sqrt(k0*((lambda+mi)/(lambda-mi))*exp((lambda-mi).*t).*(exp((lambda-mi).*t)-1));

P=mi*((1-exp((lambda-mi).*t)))./(mi-lambda*exp((lambda-mi).*t));

plot(t,M)

figure

plot(t,S)

figure

plot(t,P)

Praktická aplikace:

Nechť je dán lineární proces vzniku a zániku, v němž intenzita vzniku odpovídá roční míře
porodnosti v ČSSR v r. 1983 (λ = 0,0148) a intenzita zániku odpovídá roční míře úmrtnosti v ČSSR
v r. 1983 (μ = 0,0121). Předpokládáme, že v čase t = 0 má soubor rozsak k[0] = 100.

a)      Pro t = 0, 1, 2, …, 100 vypočtěte a graficky znázorněte střední hodnotu a směrodatnou
odchylku rozsahu souboru.

b)      Pro t = 0, 1, 2, …, 100 vypočtěte a graficky znázorněte pravděpodobnost vyhynutí.

Výsledek:

Graf závislosti střední hodnoty rozsahu souboru na čase:

Graf závislosti směrodatné odchylky rozsahu souboru na čase:

Graf závislosti pravděpodobnosti vyhynutí na čase



Definice: Erlangův proces je HMŘ se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …, m},
vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …, 0) a matici intenzit přechodu .


Věta: Stacionární rozložení Erlangova procesu je dáno vzorcem:

, j = 0, 1, …, m


Úkol:

Napište v MATLABu funkci, která bude počítat stacionární rozložení Erlangova procesu.

Vstupní parametry:

m … nejvyšší pořadové číslo v množině stavů J = {0, 1, …, m}

lambda … intenzita vstupu

mi … intenzita výstupu

Výstupní parametr:

vektor a … stacionární vektor


Návod:

function [a]=Erlang(m,lambda,mi)

% Stacionarni rozlozeni Erlangova procesu

a0=1/sum(((lambda/mi).^(0:m)).*(1./(factorial(0:m))));

a=((lambda/mi).^(1:m)).*(1./(factorial(1:m)))*a0;

a=[a0 a];


Praktická aplikace: Je dán Erlangův proces s množinou stavů J = {0, 1, …, 4} a parametry λ = 2, μ =
3. Najděte jeho stacionární rozložení.

Výsledek: