Matematika pro kartografy -- cvičné zápočtová písemka
Diskrétní matematika
1. Najděte součet a součin matic
A =


1 2 3
-3 0 2
3 -2 1

 B =


3 2 1
0 -4 2
-3 2 -1



A + B =


4 4 4
-3 -4 4
0 0 0

 , AB =


-6 0 2
-15 -2 -5
6 16 -2

 , BA =


0 4 14
18 -4 -6
-12 -4 -6




2. Zjistěte, zda soustava lineárních rovnic
x + 2y + 3z - 2u = 0
2x - y + 2z + 3u = -2
5x + 2y + 11z + 9u = -3
-3x + y - z + 4u = 2
má řešení. [nemá]
3. Užitím determinantů řešte soustavu rovnic
x + 2y - 2z = 6
2x - y - z = 0
x - 3y + 7z = 0.
[x = 2, y = 3, z = 1]
4. Určete hodnotu reálného parametru t tak, aby následující soustava lineárních rovnic měla nekonečně
mnoho řešení:
-x + 4y - 6z + 2w = 1
2x + y + 3z - w = 4
-2x - 3y + z - 3w = -10
2x + 8y - 2z + tw = 4.
[t = -2]
5. Určete hodnost matice A =


2 -1 3 5
3 6 -2 2
5 4 3 1


[h(A) = 3]
6. Najděte inversní matici k matici
2 -3
1 1
.
1
5
3
5
-1
5
2
5
Spojitá matematika
1. Vypočítejte limitu posloupnosti lim
n
cos n
4

n
.
[0]
2. Vypočítejte limitu lim
n
4
1 + an
, je-li posloupnost {an}
n=0 zadána rekurentně vztahem
an+1 = -2an.
[0]
3. Vypočítejte limitu funkce lim
x0
x ln
1
|x|
sin
2x
3x
.
[-2
3 ]
4. Vypočítejte derivaci funkce f(x) = ln tg x.
2
sin 2x
5. Najděte intervaly, na nichž je funkce f(x) =
x2
- 3x
x - 1
rostoucí a klesající.
[Rostoucí na intervalech (-, 1), (1, )]
6. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f(x) = x3
+ 3x2
- 9x + 5 na intervalu -6, 2 a hodnoty
nezávisle proměnné, v nichž těchto extrémních hodnot nabývá.
[fmin = f(-6) = -49, fmax = f(-3) = 32]
7. Vypočítejte neurčitý integrál
7 - 3x
1 + x2
dx.
[7 arctg x - 3
2 ln(1 + x2
)]
8. Vypočítejte určitý integrál
1
0
arcsin x dx.
[
2 - 1]