Modelování prostorového uspořádání bodů (pattern detectors) Uspořádání bodů v prostoru Rozmístění bodů v prostoru je výsledkem určitých procesů čí vhodných podmínek (lokace měst je výsledkem působeni faktorů jako reliéf, přírodní zdroje, komunikace, atd.) Cilem studia prostorového rozmístění bodů je zjistit: • jak daleko má konkrétni rozmístěni objektů k rozmístěni teoretickému • jak se Mši rozmístěni bodů ve dvou různých oblastech • jak se měni rozmístěni bodů v rámci jedné oblasti v čase. Statisticky prokázaný výskyt určitého prostorového uspořádáni může být základem pro zjišťováni přičiň, které vedly k pozorovanému uspořádáni. Základní typy prostorového uspořádání bodů 4k-A ty ■a mannen SfflfflE 3DCĽĽĽC DDDDDDC ' Shlukové (Clustered) ' Pravidelné (Regular) ' Náhodné(Random) Klasifikace prostorového uspořádání bodů 0 1 °» 0 • °. 0 • 0 > 0 • 1 ■ 1 • • 1 1 • 1 • 1 0 • 0 1 0 ■ 0 • 0 • 0 • 0 • 1 • ° 1 0 • 0 • ° • 0 i p • 0 • 1 0 • Bodv- Skóre 0 > 1 1 >0 2 > 1 3 >4 4 >9 5 > 16 6 >25 7 >36 1 = 8 Klasifikace prostorového uspořádání bodů K16 I=(17;45) I>45 Pravidelné (Regular) Náhodné(Random) Shlukové (Clustered) Základní metody statistického popisu prostorového uspořádání bodů • Analýza kvadrátů -testujeme, zda rozmístění bodů v ploše je náhodné či nikoliv. • Metoda nejbližšího souseda - porovnává průměrnou vzdálenost mezi nejbližšími sousedy pole bodů k teoretickému rozmístění. • Prostorová autokorelace - měří jak podobné či nepodobné jsou hodnoty atributů sousedních bodů. Problémy spojené s popisem prostorového uspořádání bodů • měřítko • rozsah studované oblasti • kartografická projekce Měřítko -je nutné vhodně zvolit tak, aby studovaný jev mohl být prezentován body v prostoru. Rozsah studované oblasti V závislosti na zvolené oblasti (často vymezené administrativními hranicemi) se mění jak vzdálenosti mezi jednotlivými body, tak také charakteristiky jejich prostorového uspořádání. Dayton_J - -.Columbus *CäÄcinoatr Kartografická projekce Projekce se volí podle účelu (viz. analýza kvadrátů). Projekcí se mění tvar, vzdálenosti, vzájemná poloha objektů. Čím větší studovaná oblast, tím větší bude role zvolené projekce. Analýza kvadrátů (QUADRAT ANALYSIS) • Je založena na hodnocení změn hustoty bodů v prostoru. Je porovnáváno, zda rozmístění bodů v prostoru je náhodné, či má blíže k uspořádání shlukovému či pravidelnému. • Studovaná plocha je rozdělena pravidelnou sítí na buňky a je zjištěn počet bodů v každé buňce. CD ^^^^^^HZH a TÉ tt V— Kf ři h 4/ j^ , l 'd -A i-c y j. .'■ Analýza kvadrátů • Je analyzováno rozdělení četností buněk s určitým počtem bodů. • Toto rozdělení je porovnáváno s náhodným rozdělením četností. • Extrémně shlukové uspořádání - většina bodů v jedné či několika málo buňkách. • Extrémně pravidelné - ve všech buňkách přibližně stejně • Buňky se označují jako kvadráty a nemusí jít o čtverce, ale např. i o kruhy či šestiúhelníky-je to dáno empirií. • V rámci jedné analýzy však tvar a velikost buněk musí být konstantní. Analýza kvadrátů Modifikace metody - Při analýze lze buňky stejné velikosti také rozmístit náhodně po studované ploše. Optimální velikost kvadrátů (QS) QS = — n A - plocha studované oblasti n - počet analyzovaných bodů. Velikost strany vhodného kvadrátu Jllfr Testování výsledků analýzy kvadrátů Získané rozložení četností bodů v kvadrátech (empirické) je porovnáváno s náhodným rozložením (teoretickým). Vhodným testem je např. K-S test nebo X2 test Testem můžeme kvantifikovat rozdíl empirického a teoretického (shlukové, pravidelné, náhodné) rozdělení bodů v ploše. oblasti a Počet měst v každém čtverci Zjištěné Pravidelné rozdělení | rozdělení Shlukové rozdělení 0 36 0 79 1 17 26 0 2 10 26 0 3 3 26 0 4 2 2 0 5 2 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 10 0 0 11 0 0 12 0 0 13 0 0 14 0 0 28 0 0 164 0 0 1 Zjišt ěné rozdělení četnosti 164 měst v kvadrátech v rozdělení četností teoretická e studované Praktický postup testování výsledků analýzy kvadrátů 1. (HO) - neexistuje statistiky významný rozdíl Qe-li rozdíl malý, může být výsledkem náhody, čím je větší, s tím větší pravděpodobností náhodný není, ale je statistiky významný). 2. Zvolíme hladinu významnosti a = 0,05 3. Vypočteme kumulované četnosti 4. Vypočteme testovací kritérium: D = max|o, - E\ 5. Vypočteme kritickou hodnotu: Da ■■ 1,36 ■ 1, tím více se prostorové rozloženi bodů blíži rozloženi pravidelnému (r0lJe> rexf). R=1.48 PRAVIDELNÉ ■ R = 0 zcela shlukové uspořádáni R = 1 náhodné uspořádáni R = 2,149 zcela pravidelné uspořádáni K hodnoceni rozdílu mezi pozorovanou a očekávanou vzdálenosti nejbližšího souseda lze využit tzv. směrodatné chyby (Standard Error -SE) 0,26136 SE=- Směrodatná chyba popisuje pravděpodobnost, že jakýkoliv rozdíl dvou hodnot je výsledkem náhodných vlivů. Je-li zjištěná diference malá ve srovnáni s SE, potom rozdíl není statisticky významný a naopak. Za statisticky významný považujeme rozdíl, který můžeme obdržet v pěti případech ze sta - tedy s pravděpodobnosti 5 %, a=0,05. Vyjádřeno v násobcích směrodatné chyby - rozdíl mezi dvěma populacemi považujeme za statisticky významný, jestliže je menši než -1,96SEra nebo větši než + 1.96SE;. Pravděpodobnost (<95%) = (-1,96SEr +1.96SE) Standardizace hodnot rozdílů Pomoci směrodatné chyby lze vypočítat standardizovanou hodnotu (Z-score): y __ obs exp *~ SE, Je-li tedyZR < -1,96 či ZR > 1,96 potom vypočtený rozdíl mezi pozorovaným a náhodným uspořádáním je statisticky významný-tedy není náhodný a naopak. Problémy spojené s metodou analýzy nejbližšího souseda: • Nelze spoléhat na vizuální srovnáni prostorového rozloženi ani na vypočtenou hodnotu R. Ta by měla být doplněna hodnotou ZR pro ověřeni statistické významnosti pozorovaného rozdílu. • Metoda analýzy nejbližšího souseda může být rozšířena na analýzu nejbližších sousedů druhého, třetího a vyšších řádů. • Výsledky jsou vysoce citlivé k měřítku (lokální vs. regionální) • V závislosti na studovaném jevu musí být věnována pozornost vymezeni studované plochy (administrativní či přirozené hranice). Metoda nejbližšího souseda- problém definice hranic studované oblasti (boundary effect) 5 Metoda nejbližšího souseda - problém definice hranic studované oblasti (boundary effect) •""""~"^ \ 3 3/ \ 2 J 6 R =2.167 , R =1.323 Pomocí SE převedeme R na Z= standardizovanou hodnotu (Z skoré) 7 00/0 -0,0 ^ tendence k pravidelnému t\—r\r/r\B — 1 .Oóo ^^^»- , . . , ,0 J e rozloženi bodu 2 gg -----> z > 1 96 -----► H0 zamítáme. Prokázali jsme pravidelné rozmístění bodů Boundary effect? Co když nemáme jinou informaci než tu ze studované oblasti? Simulace • HO - rozmístění bodů je náhodné • V prostoru 7x6 simulujeme náhodné rozmístění 6-ti bodů • Pro každý náhodný pokus vypočteme R0 • Zopakujeme to 10 000 krát, dostaneme průměrné R =1.62 •R0>Rg(Rg=1,323) Proč? • 10 000 hodnot Ro seřadíme od největší po nejmenší • Najdeme 9 500 největší hodnotu R0 = 2,29 (tedy jen v pěti procentech případů bychom dostali hodnotu R0 větší než 2,29) • R0 pro našich původních 6 bodů bylo jen 2.í76-tedy takovouto hodnotu bychom dostali časteji než jen v 5% případů • Proto Ho přijímáme. • Simulací jsme zjistili, že rozdělení bodů ve studovaném prostoru se od rozdělení náhodného významně neliší • Princip simulace metodou Monte Carlo 6