ZPRACOVÁNÍ A ANALÝZA BIOSIGNÁLŮ FREKVENČNÍ SPEKTRUM SPOJITÝCH SIGNÁLŮ Frekvenční spektrum Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. Zvolna do Fourierovy analýzy þ Fourierova analýza – snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) signál jako součet jednoduchých funkcí (harmonických signálů, složek). þ počty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny charakterizují analyzovaný signál. þ Fourierova řada þ Fourierův integrál, Fourierova transformace þ Fourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v trigonometrickém nebo komplexním tvaru. þ zpracovávat můžeme spojité nebo diskrétní signály. Taylorův rozvoj TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y = sin(x) PRO x = 0 Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady þ poznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu n jinou možností je vyjádřit funkci jako trigonometrickou řadu (tj. jako součet harmonických signálů (funkcí)). n pomocí trigonometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami. Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Trigonometrická řada Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady þ každou periodickou funkci f(x) = f(x+kX), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) a[n], b[n] vypočítají ze vztahů Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Dirichletovy podmínky * Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj. ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY þ uvedená trigonometrická řada s koeficienty určenými z výše uvedených vztahů se nazývá (trigonometrická) Fourierova řada (příslušná k funkci f). þ Fourierova řada se zjednoduší, je-li funkce f lichá nebo sudá. ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 1: Rozviňme funkci f(x) = x ve Fourierovu řadu. Funkce f(x) je lichá, a proto a[n ]= 0. Koeficienty b[n] spočítáme ze vztahu ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Koeficient b[n] je tedy ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu funkci ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady þ Zevšeobecnění pro funkce s periodou T. Fourierova řada (příslušná k funkci f) má tvar FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU þ každou periodickou funkci f(t+kT)=f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Pomocný výpočet: PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY þ jednotkový skok (Heavisidova funkce) JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY þ jednotkový impuls (Diracův impuls) δ(t) splňuje vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE þ zavádí spektrální popis jednorázových (aperiodických) signálů – můžeme jej získat z Fourierovy řady limitním prodloužením periody signálu T→¥ FOURIEROVA TRANSFORMACE þ kmitočet základní harmonické složky Ω = 2p/T když T→¥, pak Ω→dω→0 Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až v limitním případě je vzdálenost mezi spektrálními čarami nulová. Pro aperiodický signál budou spektrální čáry na sebe navazovat - nΩ→ω FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE Pro časovou funkci můžeme psát vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE - VLASTNOSTI FOURIEROVA TRANSFORMACE - VLASTNOSTI PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU