Elektrodynamika
1   Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI
Elektricky proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A).
Definice: Stejne proudy ve 2 rovnobežných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemna pritahovací síla na 1 m dratu je 2 • 10~7N.
Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C).
Definice: Pri elektrickem proudu o 1 A proteče prurežem vodiče 1 C ža sekundu. 1 C = 1 As ~ 6 • 1018 elementárních naboju.
CoulombUv zákon Pritažliva nebo odpudivá síla dvou nýboju q1 a q2 v místech x1 a
X2 _
F = k^Y2 (x\ — x2), F = k^Y2,
r12 r12
kde r12 = \X1 — X2\ a k je konstanta. Dimenze [k] teto konstanty výplyva ž (1).
AT    rilAs • As Nm2
N=[k]-—     [k] = TY2 ■
m2 A2s2
Použitím rychlosti svetla c platí pro experimentalne urcenou konstantu
k = 10-7c2— ■ A2
V SI se píse ž historickych duvodu
k =: 1
4neo'
kde e0 je tzv. „dielektricka konstanta vakua".
(1)
Požnamka: Mohli bychom predpoklídat k = 1. Tím bychom urcovali dimenži naboje, vyjídrenou mechanickymi velicinami. V systemu cgs dostavíme ž Coulombova žaíkona
,        gcm     [q]2 i, _1
dyn =—— = —2, [q] = g2 cm2 s ■
s2 cm2
To je jednotka naboje v Gaufiove systemu.
Elektrické pole: Síla souboru naboju q1}. ■ ■ ,qN v místech X1, ■ ■ ■, x n na dalsí naboj q v bode X je popsaní pusobením elektrickeho pole v bode X na naboj.
Intenzita eletrického pole E(X) je lokílní vlastnost prostoru, v nemž se nachažejí elektickíe naíboje.
F (X) = j—y. q q* t^ts =: q E (X)■ (2)
4neo i=1      \x — Xi\s
1
Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze:
[E] — N — J
c = mc ■
Napětí U. Prýce — zmena potenciální energie při pohybu nýboje v elektrickém poli je daná integrýlem
W — j F ds.
V prípade pohybu o vzdalenost l podel homogenního elektrickeho pole (např. v deskovem kondensatoru) platí jednoduše
W — qEl —: qU.
Električke nýpetí je rozdíl potencialní energie jednotkoveho naboje na dvou bodech.
Dimenze: [U] — ^
Jednotka: 1 Volt — 1V — 1 ±.
Volt se pouzívý pro bezne oznýcení jednotky elektrickeho pole, [E] — 1 m.
Magnětickě pole. (Stacionírní) elektricke proudy vyvolavají síly na pohybující se naboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrickeho pole uvazujeme sílu souboru eletřických proudu v danem usporadíní vodicu na usek dl jednoho dalsího drítu s konstantním proudem I. Síla je umerní I a dl,
dF (x) — I dl x B (x). (3)
Magnetická indukce B (x) zahrnuje pusobení vsech elektickych proudu v bode x. Dimenze: Z (3) vyplyva
N     J      Js Vs
N — Am[B],     [B] — — — — — — — —.
Am     Am2     Cm2 m2
Jednotka: 1 Tesla — 1T — 1 .
Prispevek elektrickeho proudu v íseku drítu dl na míste x2 k magnetickemu poli v bode xi (analogicky Coulombovu zakonu) je
dB (xi) — km I df x .f"1 ~ x' . (4) \x1 — x2\3
V SI se píse km — ^, fi0 — -0^? je tzv. „magneticka permeabilita vakua".
Síla mezi dvema infinitesimalními íseky vodice, umísteními v bodech s elek-
trickími proudy I1 a I2 (analogon Coulombova zakona):
4n \        \xi — x2\3 J
2
Hustota náboje:
p(x) = lim
'     v      / AT/" .f
Q
AV^0 A V
kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu:
V (x) = Ä XÄ dl'
kde AA je element prurezu vodiče a ^ je jednotkový vektor ve smeru elektrickeho proudu I.
2   Maxwellovy rovnice, statický prípad
J. C. Maxwell nasel v 19. století dve vektorove a dve skalýrní parciální diferenciální rovnice 1. radu, které spojují električke a magneticke pole navzajem a s elektrickým nabojem. Z tech rovnic lze odvodit cela elektrodynamika.
(5)
Vektorove operítorý div a rot lze výjadrit pomoci operatoru Nabla,
V
ío_ d 1\
\dx' ôy ôzj
div v = V • v,
rot v = V x v.
(6)
(7)
V prípade statickích polí, kdýž casove derivace jsou nulove, odpojují se elektricke a magnetickíe pole.
Elektrostatika
Zakladní rovnice
divV = P, rotE = 0. (8)
eo
Elektrostaticke pole je bezvírove pole se zrídlem p. Pro takove pole existuje skalarní potenciíl 0 tak ze
E = -grad 0 = -V(. (9) Dosazením do Maxwellový rovnice dostaneme
—div grad 0 = —V20 = P.
3
Definujeme Laplaceův operátor
A- V2 = —    —    — (10) ' dx2    dy2    d z2'
nabýva rovnice pro potenciál následující tvar,
P I
(11)
A0 = — P en
Tato rovnice se nazáva Poissonova rovnice. Oproti Maxwellove rovnici divE = —p ma výhodu, ze jejím rešením je jedna skalární funkce 0(x) místo vektoroveho pole E (x).
Magnetostatika
rotB = tm?, divB = 0. (12)
Magnetostaticke pole je bezzrídlove, silocarý jsou uzavrene; existuje vektorový potenciál A, tak Ze
B = rot?, (13)
protože
div rot A = 0. Dosazená do Maxwellový rovnice vede k
rotB = rot rotA = grad divA — AA = ttnj,
nebo
AA — V (VA) = —tm?. (14)
Potencialý nejsou jednoznacne urcený svámi rovnicemi (11) a (14), 0 je jednoznacne až na libovolnou konstantu, A? az na gradient libovolne funkce, ponevadz rot grad/ = 0. Potenciálý lze kalibrovat, jsou kalibracná, nikoliv fýzikalná veliciný.
3   Greenova funkce Poissonovy rovnice, ô -distribuce
Poissonova rovnice (11) je eliptickaá lineáarná parciáalná diferenciáalná rovnice druháeho radu. Pro takove rovnice existuje rozsahlá teorie, mý budeme ale zkonstruovat resem na záakláad e znáamýách fýzikáalnáích skute cnostáí. Elektricke pole bodoveho naboje v pocatku je
E = 7^4., (15) 4nen \x\- K '
p ráíslu snýá potenciáal je
0 =T^-- (16) 4nen r
4
Pro hustotu bodového náboje platí
p{x) = 0       y x = 0 a J d3xp(x) = q.
Přestože taková funkce v klasickém smyslu neexistuje, existuje matematický objekt, který popisuje idealižaci bodoveho naboje a pomoci toho můžeme skladat električke pole a potencial libovolneho rozložení naboje ž výražu (15) a (16).
Hustota bodoveho nýboje je žkonstruovana pomocí „Diracovy 5-funkce", který lže definovat jako limita funkci' s integrýlem od minus do plus nekonecna rovným jedne, ktere jsou „vľce a vľce soustredene na jeden bod", napr.
1        1 _*2
5(x) := limge(c) = —^= lim-e   e . (17)
Takove limity majý vlastnost, že
/OO ŕ'CO f (x) 5(x)dx = hm/   f (x) gĚ (x) dx = f (0), (18) -OO e   >0 J — OO
nebo obecneji,
/OO f (x') 5 (x - x')dx' = f (x) (19) O
pro libovolnou spojitou funkci f. Integral s 5-funkcľ tedy vybŕra hodnotu funkce v urcitem bode.
„Výber urcite funkcný hodnoty" je exaktný výžnam 5 v rýmci distribucý t.j. jako žo-bražený vhodneho prostoru funkcý jako nekonecne diferencovatelne funkce s omeženmi nosicem, do realných nebo komplexných ďseL V jažyce distribucý se pýse ekvivalent rovnice (19)
5x[f] = f (x). (20)
Distribuce 5x priražuje funkci f funkcní hodnotu f (x); pro její definici stací, že f je spojitýa funkce.
Hustota bodoveho naboje v pocýtku souradne soustavy se vyjýdruje trojrožmernou 5-funkcý
p(x) = q53(x) = q5(x) 5(y) 5(z). (21) Dosadýme potenciýl a hustotu nýboje v bode x' do Poissonovy rovnice,
A0(x) = -S- A—^— = -q 53(x - x'), (22) 47re0    \x — x '\ e0
odvodýme ž toho
A = 53(x - x'). (23)
4n \x - x'\
G(x,x '):=—-^— (24) se nažýva Greenova funkce Laplaceova operatoru (=potenciýl jednoho bodoveho naboje.)
5
Poněvadž Poissonova rovnice je lineární, můžeme zkonstruovat potenciál rozložení náboje p(x) jako superpozici potenciálů bodových nábojů, tedy
((x) = -L /d3x'p(x')—^, (25)
poprípáde
((x) = — íd3x' G(x, x') P^. (26) J eo
To je resení Poissonovy rovnice pro rozložení náboje p(x). Důkáz:
—Ax0(x) = /d3x AxG(x, x') ^ = /d3x 53(x — x') ^ = p(X).
Index x ždůrážnuje působení Lápláciánu ná necárkováne sourádnice.
Greenová fůnkce není jednožnácná. G(x,x') plůs libovolne resení homogenne diferenciální rovnice A( = 0 je táke Greenovoů fůnkcí stejneho operátorů.
Greenova věta, Greenův vzorec
Odectením dvoů identit,
V (uVv) = u Av + Vu V v
á
V(vVu) = v Au + Vv Vu,
dostáneme
V (u Vv — vVu) = u Av — v Au. Integrováním á áplikácí Gáůfiovy vety odvodíme Greenovů vetů:
/ (u Av — v Au) dV = (u V v — v Vu)n dS, Jy Jav
(27)
kde V je objem á n je normálni vektor ná okráj dV.
Podle okrájovích podmínek má Greenová vetá dve stándárdní áplikáce.
Dirichletův problem: Zníme p(x) ůvnitr nejákeho objemů V á potenciíl ( ná okráji dV. Dosádíme u = ( á v = G do Greenová vžorce.
/ [((x') Ax>G(x, x') — G(x, x') Ax>((x')] d3x' = Jv
= I \(f>(x') V x' G(x, x') — G(x, x') Vx> ((x')] n dS'.
av
Podle predpokládů je první clen ná práve stráne žnámí, drůhy, kterí obsáhůje grádi-ent potenciálů, nikoliv. Ták vyůžíme možnost volby Greenovy fůnkce á žkonstrůůjeme
6
takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, GD. Potenciál ve V je pak dán vzorcem
0(f) = - f G d (x, x')        dV + / VGD (x, x') <(x') n dS'. (28)
JV t0 JdV
Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci GN, jejíž gradient se rovná nule na okraji.
<(x) = -f GN (x,x') p(x^ d3x' -f GN (x,x') V<p(x') n dS'. (29)
■IV t0 Jav
4   Elektrostatická energie nabojů
NapíSeme si potencialní energie náboje v elektrostatickem potencialu
U = q <f>(x).
Energie dvou naboju = energie naboje qi v bode x1 v potencialu vyvolanem nabojem q2 v bode x2 plus váraž s prehoženámi naboji lomeno dvema, aby se energie nepočítala dvakrat. 1
U = 2(q1 <2(x1) + q2 01(x2)),
kde 1
4>i(x) q
4nt0 \x — x, Energie spojiteho rozložení náboje:
1
U =2| p< dV. (30)
Pro rozložení bodovách naboju je potencial
1   v- qb
9((xa) = ^
a energie
0(x«) = ~.-        V]-, rab = \Xa — £b\ (31)
4vreo rab
U = — T, —. (32)
5   MultipOlový rozklad pole
V nasledujícím budeme hledat rožvoj elektrickeho potenciálu ve velke vždalenosti od ždroje.
7
5.1   Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích
Ve sférických souřadnicích mí Laplacián následující tvar:
aó = - d (r2 dó) +  1 d (sin ůdó) +   1  cľ± (33)
r2 dr \   dr J    r2 sin ů dů \      dů J    r2 sin2 ůdp2
Separace proménných: Pokousíme se přeménit parciální diferencialní rovnici do tří obýcejnách diferencialních rovnic pro funkce jednotlivách promenných, R(r), 0(9) a $(p). K tomu predpokladame resení ve tvaru soucinu
Ó(r, ů, p) = R(r) • O(ů) • $(p) (34)
a dosadíme do Laplaceový rovnice
1 d ( 2 dR ^    \      1    ô (    n „de    \       1     „ ^ d2$ AÓ = r2 — • O • $+-—— —  sinů • R • — • $ + 2 . O — = 0.
r2     y    dr y   r2 sin ů dů \ dů     J   r2 sin2 ů dp2
2.2..... (35)
Nísobíme rRQ1^ 9 a píseme cast, zívisející na p, na pravou stranu
sin2ů_d (2 dRA    sinů á_ (.   ? d0) =    1 d2$
Leví strana ted' zavisí na r a ů, prava strana na p. Z toho výplíva, Ze se obe straný musí rovnat konstante, kterou nazveme m2. Z prave straný dostaneme obýcejnou difer-enciíalni rovnici,
d2 $
— + m2$ = 0. (36) dp2
Rovnici výplývající z leve straný muZeme upravit podobním zpusobem,
IA (r2 dR A = Jll___LI A (sin ů d0 A = A2,
R dr V    dr y     sin2 ů    sin ů O dů y       dů y '
kde se opet obe straný musí rovnat konstante, oznacene A2. Z toho dostaneme dve dalsí obýcejne diferencialní rovnice,
dr(r2 f) - a2r=o (37)
" sinů dů (sin ů S) + (A2 - sŘ) e = 0' (38)
tak ze místo parciílní diferencialní rovnice mame rovnice (36), (37) a (38). Resení: Rovnice (36) ma resení
$m(p) = Cm cos mp + Sm sin mp (39)
8
príslůsne k párámetrů m, ktery můsí byt celocíselní, áby $ bylo periodicke ve p. Rádiílní rovnice (37) má resení
Ri(r) = Ai r1 + ^, (40)
kde A2 = l(l + 1). V rovnici (38) píseme cosů = x. Resení, ktere obsáhůje obe integrácní konstánty m á l, ožnáďme Pm. Tákovoů ůprávoů dostáneme Legendreovů rovnici
(i — x2)d!pjmrx) — 2x ^ + ['(' + i) — i^] Pľ'(x) = 0. (41)
5.2   Legendreovy polynomy
Ortogonální báží resení pro m = 0 jsoů Legendreovy polynomy Pi(x), vyhovůjící jednodůssí rovnici
dd- [(1 — x2)dPj^]+ l(l + 1) Pi(x) = 0 (42)
s nežáporním celocíselnym párámetrem l. Legendreovy polynomy jsoů ortogonální v interválů (—1,1)
J Pk(x) Pi(x)dx = 0       V k = l. (43) Legendreovy polynomy se objevůjí jáko koeficienty v rožvoji tžv. vytvárející fůnkce
(1 — 2xt + t2)./2 = g P(x) *■ (44)
Poůžitím Leibnižová právidlá
dm[/(x) g(x)] = m       m!      dm-k / (x) dkg(x) (45) dxm k=0 k!(m — k)!   dxm-k     dxk ( )
dostáneme m-níásobníym derivováíníím rovnice (42)
(1 — x2)f" (x) — 2x(m + 1)/'(x) + (l — m)(l + m + 1)/(x) = 0, (46)
kde /(x) = dmPl(x)/dxm. Sůbstitůce /(x) = (1 — x2)-m/2g(x) vede k tomů, že fůnkce g(x) můsí splnovát rovnici (41), je tedy konecne
Piľ(x) = (1 — x2)m/2 dmPlM. (47) Legendreovy polynomy lže vyjádrít pomocí Rodrigůesová vžorce
Pi (x) = ^dx(x2—1)1■ (48)
Vyůžitím tothoto vžtáhů můžeme rožsírit (47) ná oblást žáporních m, tedy
Pim(x) =       (1 — x2)m/2^(1 — x2)i,      —l < m < l. (49)
Polynomy Pm se nážívájí pridrůžene Legendreovy polynomy. Námi definováne Pm(x) nebo Pi(x) nejsoů ná interválů (-1,1) normováne ná jednicků. Ostátne růžne drobne i vetsí odchylky v definicích speciálních fůnkcí jsoů díky historickemů vívoji bohůžel žcelá bežne.
9
5.3   Kulove funkce
Pomocí přidružených Legendreových polynomů definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (t.j. káždou funkci úhlových promenných ve sferických sourádnicích můžeme nápsát pomocí (nekonecne) rády techto funkcí)
77X^7 P™(cos ů) exp(rn^). (50) Plátí tedy
Jo dV Jo dů sinůY^^ů, <p) Y™2(ů, <p) = óhl2 6mim2 (51) (ortonormálitá) á
co   m=l 2n
f (ů,<p) = T, E fr YT(ů,<p),        ir =     dW dů sin ůf (ů,<p) YT(ů,<p). (52)
rr(ů^) = (—1Y'^
(úplnost). Nekolik prvních kulových funkcí je
Y2-2 = \í— sin2ů e -Y22 = \— sin2 ů e2* (53)
Y2- ^J—sin ů cos ůe-lv     Y2n =\— (3cos2ů — 1)     Y2l = —/15 sin ů cos ůe^. V 8n V 16n V 8n
Velmi dulezitám specialnám prápadem rozkladu (52) je vztah pro Legendreuv polýnom obecneho uhlu 7 mezi dvema vektorý n = (sin ů cos    sin ů sin    cos ů) a n' = (sin a cos //, sin a sin///, cos a), tedý
cos 7 = n - n' = cos ů cos a + sin ů sin a cos(^ — /),
Pi (cos 7) = 2ľTT E YT*(a,/3) Ym(ů,^). (54)
5.4   Multipólový rozklad rozložení naboje
Uvazujeme rozlození naboje uvnitr koule o polomeru R,
P(xx) = rr>R (55)
10
(57)
Potencial mimo koule je dan vžorcem (25)
*(x) = ~A-      / d3X'       i,. =--        / d3X'   . K ' -
AneoJ        \x — x \     4n^oj 2 + x2 — 2 \X\ • \x' \ cos 7
= /d3x'   ; P("') ■ (56)
4n£0 \X 1        ^ — 2 X cos 7 + (f)2
7 je uhel meži X a XV integrílu se objeví vytvarející funkce Legendreovích polynomu, tak
11  r °° rr'\1
*(X) = — -\ d3x' p(X') £ Pi (cos 7) 7J
(psali jsme \X\ = r a \X'\ = r'). Použítím (54) dostaneme rožvoj
1     r 4n r'1
*(X) = —j d3x'p(XOEgT+TrjV1 Y^(V',v')Yr(V,v)■ (58)
Pomocí multipílovích momentu
qm := / d3x' p(X') r'1 Y™*(ůV) (59) mužeme konecne psat potencial jako superpožici kulovích funkcí
*(x) =    E 2ľ-T^ Yr(^. (60)
V prípade bodoveho naboje víme, že pole je dano Coulombovím potencialem. Je-li naboj q umísten mimo pocatek souradnic, napr. na ose z (v bode z = R), je potencial dan vžtahem
*=4^žfl(c°s'')(R)''   r sR
'=0 1 (61)
q      0 R
Pro r R prevažuje rotacne soumerna (vžhledem k pocatku souradnic, nikoli polože naboje) složka l = 0. Umístíme-li vsak na ose z jeste naboj opacne velikosti do z = — R, vyrusí se identicke príspevky clenu s l = 0 a pro r >> R prevažuje pak dipóloví složka
(l=1)
2qRP1(cos ů)       D cos ů *dip = -.--2-       = -.--ž~ , (62)
kde D = 2qR ožnacuje dipílovy moment. Podobne, umístíme-li na ose z v z = ±R naboje q a v pocatku naboj — 2q, vyrusí se identicke príspevky clenu s l = 0 a l = 1 a pro r     R prevažuje pak kvadrupolova složka (l = 2)
.      _    2qR2 P2(cosů)       Q  1 — 3 cos2 ů
*quad = — --3- = "j--3-, (63)
kde Q = qR2 je kvadrupolovy moment. Obecne jsou multipolove momenty žívisle na umístení v souradnem systemu, s vyjimkou nejnížsího nenuloveho momentu.
11
6 Magnetostatika
6.1   Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou
Integrální tvar infinitesimální rovnice (4), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je B (x) = ^ í dV f(x') x ,! ~ t' 3 = - ^ í d3x' f(x') x V—
= ^V x í d3x' f(xl, =: rot f(x). (64) 4n       J        \x - x \
Zavedli jsme vektorový potenciál
A(x) = ^ I dV-P^. (65)
Vektorový potenciál není jednoznaCný, protože mUzeme priCíst gradient libovolne funkce, jehoz rotace je identicky nulová. Taková transformace,
A(x) —> A(x) + grad A(x)
se nazívá kalibracní transformace. (Stejne je skalární potenciál jednoznacní jenom až na konstantu.) Volba A = 0 (Coulombova kalibrace) vede k vlastnosti div A = 0, protoze V\x - x= -V '\x - xa z toho dostaneme integrací per partes V 'f(x'), coz se rovná nule podle staticke rovnice kontinuity. Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme tak
rot B (x) = rotrotA (x) = graddivA (x) - AA (x) = -AA (x)
= -£° / d3x' j(x') A—^ = m (x), (66)
tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A.
Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou.
Elektrostatika		Velicina, vztah	Magnetostatika	
dF = dq E		definice pole	dF = I df x B	
dq		hustota zrídel	I dl = f d3x	
F = qE		síla na níaboj	F = qv x B	
div E = p/t0 rot E = 0		rovnice pole	rot B = p,0f div B = 0	
E = -grad 0		potenciíaly	Bf = rot Af	
= - p to		rovnice potenciaílu	AA = -^f	
0(x) = ~ě^l d3x'	p(x')	potenciál zrídel	Af(x) = |°/ d3x'	f (x')
12
Analogicke magneticke pole k elektrickemu Coulombovu poli je pole linearního vodice. Uvažujme nekonecne dlouhý, rovní drat ve smeru osý z s elektrickím proudem
I
j (X) = Iô(x) ó(y) e3. (67)
Podle (64) je magneticke pole
4n J-oo \x — (0, 0, z')\3
Zavedeme polírní souradnice p = \Jx2 + y2, p = arctan ^, z a uvedomíme se, ze pole musíí býít konstantníí ve sm eru z, tak ze sta cíí po cíítat BV v rovin e (x, y). Víýpo cet vede k Biotovu-Savartovu zakonu
B (P) = ^. (69)
6.2   Magnetické pole kruhové smyCky.
Do vztahu pro vektoroví potencial (65) dosadíme hustotu proudu J(x') d3x' = 15(p' — a) ô(z') ev> p' dp' dz' dtp', kde ěy = — sin(p' — p) ep + cos(p' — p)ev, a dostaneme
.4 (p,z) = ^ (p'z)ěV'       Av(p,z) = —     —-2-2—ň-^. (70)
2n jo  (a2 + p2 + z2 — 2ap cos p) 2
Integral lze výjadrit uplními eliptickými integralý E a K,
A,(p, z) =       Q* [ (l —      K (k) — E (k)] , (71)
Aip(p,z) =
kde
k2 = ( +7 + 2 ,    K (k) = í *        d4    2 ,    E (k) = / V1 — k2 sin2 e de.
(a+p)2 +z2        j° ^1 — k2 sin2 e Jo
(72)
Pri výpoctu indukce potrebujeme identitý
dE (k) = E (k) — K (k) dK (k) =    E (k)       K (k)
dk =     k     ,       dk = k(1 — k2)    k~.        ( )
Potom mame pro slozký indukce (B^ = 0)
BP(p,z) = —^ = ^    ,     z —K(k) + a2 + p22 + z22 E(k)l , (74)
^    '        ôz      2vr     (a + p)2 + z2 L (a — p)2 + z2   ^J'      1 '
Bz (p, z) =--tt^- = t;--/ = K (k) +-- 2 E(k) . (75)
p   ôp        2n ^(a + p)2 + z2 L (a — p)2 + z2
13
7   Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí
7.1   Polarizace, magnetizace
Když se materiálové prostředí nachází pod vlivem vnějšího elektromagnetického pole, např. mezi deskami kondensátoru nebo v magnetickem poli cívky, rozlišujeme vnejší náboje a proudy, pext a pxt, a naboje p a proudy jindukovane vnejsím polem v materiálu. Naboje a proudy uvnitr atomu, molekul, nebo elementarních buňek krystalu, ktere vyvolavají mnohem vetsí pole než jsou makroskopicka, mužeme zanedbat, když stňredujeme pňres prostorovíe oblasti podstatnňe vňetňsí neňz vzdalenost elementíarních jednotek materialu. Stredovane Maxwellovy rovnice jsou
divE = {P) + "ext rotE = - d4-
C\ (76)
1 d E
—rot B = eg — + {j) + Jext divB = 0.
p,0 dt
E a B jsou stredovaní pole, {) oznacuje stredovaní zdroju.
Celkový níboj vazaní na prostredí, ktere je plne uzavreno uvnitr oblasti V, je roven nule
0    =     {p) = -divp, (77)
/ {p) dV
pricemz P = 0 vne materialu. Potom je totiz
/ {p) dV = - í divP dV = í P • n dS = 0, Jy Jy Js
kde S = dV. Uvazujme dipolovy moment
J x{p) dV = - J x divP dV = - J x {n • P) dS + J (P -V)x dV = J P dV. (78)
Uvaňzujme nyníí uzavňrenou plochu S uvnitňr materiíalu. Celkovyí proud touto plochou vazaní na prostredí je dín celkovou hodnotou casove zmeny prumetu vektoru polarizace P
f {])■ n ds = -f d^ dV = / d divP dV = f dPJ • n dS
J s J v dt J v dt J s dt
dPP
=      =rot M + —, (79)
pricemz M = 0 vne materialu.
/rot M • n dS = 0   protoze   dS = ®. s
V statickem prípade je dP/dt = 0. Uvazujme magneticky moment
1 í x x {j) dV = 2 ľ x x rot M dV = (80)
2 J V 2 J V
2 ľ x x (n x M) dS - 1 í (M x V) x x dV = í M dV.
2 J S 2 J V J V
14
Definice vektoru polarižace P a magnetižace M pomoc! momentu je duležita pro jed-nožnacnost, jinak by vyhovovaly take P + rot/ a M + grad f. Jako vedlejsý výsledek dostaneme že spojený rovnic (77) a (79) diferenciýalný (= mikroskopickou) rovnici kontinuity
^ + div(J) = 0. (81)
7.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice
Zavedeme vektory indukce elektrickeho pole a intenžity magnetickeho pole jako
D = t0Ě + Ě, H =— B - M. (82)
Použitým polarižace (77) a magnetižace (79) dostaneme makroskopicke Maxwellovy rovnice,
,   á á dB
divD = pext, rotĚ = - — ,
dt (83)
á    dD    _ á rot H = — + /ext, div B = 0.
dt
Jak Maxwellovy rovnice ve vseobecne forme, tyto rovnice jsou konsistentný s rovnicľ kontinuity
^ + div áext = 0. (84)
V homogenným isotropným linearnmi prostredý bež disperse jsou vžtahy meži D a Ě a meži H a B obžvlast jednoduche, pole jsou ýmerna,
D = tr e0Ě,        H =^— B, (85)
kde tr je dielektrický konstanta a konstanta fir je magnetický permeabilita materiýlu. („Lineýrm prostredý" žnamený, že tyto veliciny jsou konstantný.)
7.3 Energie a impuls elektromagnetického pole
Mejme spojite rožložení naboje p. e ožnacuje energii nýboje obsaženeho v objemu A V, Ae žmena energie pri pohybu v elektromagnetickem poli. p a / ožnacují ted' externí veliciny.
- - 1 Ae
Ae = F ■ Ax,       F = pĚ AV + j x B AV    =    — — = j ■ Ě. (86)
AV At
S využitým vžtahu
ĚĚ ■ (ý x H) - H -ý x Ě) = V ■ [H x Ě) (87) odvodýme ž Maxwellovyých rovnic vyýraž
H ■ ddB+ě ■ddD=-j-ě - V ■ (ě x h) . (88)
dt dt
15
Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a divergence toku, výraz na levé straně
můžeme tedy interpretovat jako Časovou zmenu hustoty energie. Po zavedení veliCin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S
W = 1 (Ě - D + B - H),        S = E x H (89)
muzeme (88) psat jako
díw dV + / j-E dV + /  S - n dS = 0. (90)
dt j v            j v               jav K '
S má tedy význam hustoty toku energie. Obdobnou uvahu mužeme provest pro impuls. Pri prechodu ke spojitemu rozložení naboje je
Ap = FAt,       F = pE AV + j x B AV    = = pE + j x B. (91)
Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz Bfí f)f)
d x—+-Qt~ x B = E (ý - ď) - b x (ý x Hr) +H (ý - b) - d x (ý x E)-jx b - pE.
\    t .       o (92)
Poslední dva cleny na prave strane popisují Lorentzovu sílu, muzeme tedy casovou
derivaci na leve strane interpretovat jako casovou zmenu hustoty impulsu
G = D x B = trnreo^o E x H = ^ S, (93)
c2
pokud první c ty ri c leny na prave strane lze psát jako divergence toku impulsu. Zavedli jsme
c2 :=-,        n2 := er fir. (94)
c je rychlost sírení elektromagnetických vln ve vakuu, tedy rychlost svetla, jak budeme brzo videt, a n je index lomu, jehoz vyznam bude take z rejmý v souvislosti s s írení elektromagnetickych vln. Po uprave, kdy p redpokladýme, z e permitivita a permeabilita nezavisí na prostorovych souradnicích, muzeme psat
'e(v - d)- d x (vx e)] .=j:—d3 - 2 e - ď
j—1 3
3 _0       „ 1 )
3 ) 1
(95)
'H(ý - B) - B x (V x H)}i = ^ — (Ht Bj - 2 bij H - É)
j—1 j
a zakon zachovaní ma tvar
d! Gi dV + f \pEt + (j x É)] dV W  ]T Ttj nj dS = 0. (96) )t v v i av j—1
16
Definovali jsme Maxwellův tensor napětí Tý jako
Ta = -(Ei D, + Hi B,) + - ótJ(E • D + H • B).
2
(97)
Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustote energie
w -E Ta = 0.
(98)
i=1
8   Integrální formy Maxwellových rovnic, indukce
8.1   Integrovane rovnice
Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem dV a pločhu S s okrajem dS. n označuje normainí jednotkový vektor na pločhu dV, popr. S, t tečný vektor na dS. Integru-
jeme rovnici diví? elektrostatiký.
pres objem V, dostaneme podle Gaufiový vetý Gaufiuv zakon
Jav
E-n dS
Q
(99)
Když integrujeme rotaci elektrického pole přes plochu S, můžeme uplatňovat Stokes-ovu vetu (t je teCny vektor okraje dS):
é E] •t ds = rot E] •n dS = Jas Js
d
_ B ■ n dS. ôtJs
(100)
Integra^ B-n dS definuje magnetičký tok $TO pločhou S. Odvodili jsme tedý Faradaýuv indukční zakon: Električke nýpetí v uzavrene dratene smýčče se rovna minus časove derivači magnetičkeho toku,
- - d E] •t ds = -— $m.
as dt
(101)
Analogičký dostaneme v statičkem prípade E = 0
é B - t ds = rot B - n dS = [io j - n dS. Jas Js Js
(102)
Integral na prave strane predstavuje čelkový električky proud I, z toho výplýva Ampereuv zýkon
as
as
IB •t ds = hq I.
(103)
17
8.2   Aplikace — vzajemna indukce a vlastní indukce
Uvažujeme dve geometricky pevne smycky s promenným proudem ve smycce 2. In-dukovane napetý ve smycce 1 vyvolane žmenou pole buženeho smyckou 2 je
U1 = -     f B2 ■ ň1 dS1,     / B2 ■ ň1 dS1 =1 Ä2 ■ dľi,    Ä2 = —. (104)
at J (i) J (i) J(i) 4n J (2) r12
Po dosazení dostáváme
Ui = Mi2 ^,       Mi2 = - f i  i . (105)
dt 4n i(i^(2) \xi — x2\
Pokud by tekl proměnná proud smyčkou 1, bylo by indukované nápetí ve smyčce 2
d J
U2 = M2idjji,        Mi2 = M2i = M. (106) dt
Ale take zmena magnetickeho toku smyčkou 1 vytvorí indukovane nápetí v teto smyčce, stejne platí pro smyčku 2. Obecne tedy muzeme psat
Ui =—Li dt+M §   U=M §—Lf §• (107)
Casova zmena energie magnetičkeho pole je rovna zaporne vzate príči
f = 'i — U2J2 = L ^ + — M(Jif + J<£) . (108)
takze pro energii magnetičkeho pole je
W =2 Li I2 + 1 L2 I| — M li I2,        Li L2 > M2. (109) Energii magnetičkeho pole mame ovsem take vyjídrenou jako
W = U B ■H dV 4 U-ÄdV. (110)
Pri odvození obou vírazu v teto rovniči je postupne využito vztahu
B = rotÄ,    H ■ rot Ä — Ä ■ rot H = div [Ä x Hřj ,    rot H = Ä- (111)
Vztahu pro energii vyuzijeme pro vípočet vlastní indukčnosti
1
L
B2 dV. (112)
Jy
fi012 J V
Uvažujme dve solenoidalní cívky, každou o N žavitech, tesne na sobe. Prurež cívek je S a jejich delka í. Pole prvný a druhe cŕvky jsou tedy približne (Ampereuv žakon)
Bi « tí^EL,       B2 « ^ (113)
a pro indukcnosti mame
Li « L2 ~ M « 0(°N£ S. (114) Pro energii magnetickýeho pole pak
W = ^ (Ii + h?. (115)
18
9   Casove promenna elektromagneticka pole 9.1   Dynamicke potencialy, kalibrace
Predpokladame dýnamicke potenciálý $(x, t) a A?(x,t) a B = rotA. Pak výplává z
Maxwellový rovnice rotE = —B, ze i casova derivace vektoroveho potencialu prispíva k elektrickáemu poli
Dosazenáí do dal sáích Maxwellovýách rovnic vede k
d A
B = rotA,        E = -gradó - —■ (116)
Aó + — div A = - — dt en
AA - t0ß0dp - grad I divA + e0ß0) = -ßoj-
(117)
S využitím kalibrační transformace
Ä — Ä +gradt,        0 — 0 - (US)
můžeme mít Lorenžovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenz = Hendrik Antoon Lorentž)
divÄ + t0ßo 90 = 0 (119) dt
a dostáváme tak pro potencialy nehomogenní rovnice
d2 Ä I
(120)
Oznacili jsme rýchlost svetla ve vakuu c
= 1
Rovnice (120) jsou Maxwellový rovnice pro potencialý, spolu s kalibraci' (119) jsou ekvivalentná (5).
9.2   Rovinna a kulova vlna
V prápade volneho elektromagnetickeho pole popisujá homogenná rovnice odpovídajíCí (120) sŕrem vln. Vlnova rovnice v jednorozmernem prápade popisuje rovinnou vlnu (ve smeru x)
d 2^(x,t)     1 d2 #r, t) =0 (121)
dx2       c2 dt2 Obecné rešení je
#M) = f(t - X) + g(t + (122)
19
Vezmeme jako príklad Gaufiovu funkci f = exp[-(t - x)2]. Maximum se nachazí pri t - x = 0, pohybuje se tedy rychlostí c ve smeru rostoucího x.
Dalsím jednorozmernem príkladem je sfericky symetrickí vlnoví rovnice v troj-rozmňerníem prípadňe,
1 d 2(r//(r,t))     1 d2^(r,t) =0
r      dr2 c2 dt2
s obecnym resením
/(r,t) = lf(t - ri) +1 g(t + ri). (124)
Na toto resení se muzeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar ňreňsení takíe ukazuje, ňze rychlost ňsíňrení je c.
V (lineírním) materiílovem prostredí se nahrazuje e0 — ere0 a fi0 — (irfi0. Pak dostaneme z rovnice (120) rychlost sírení c/n, kdyz zavedeme index lomu
9.3   Obecne řešení nehomogenní rovnice pro potencialy.
Pro obecníe ňreňseníí rovnice (120) jeňstňe chybíí partikulíarníí ňreňseníí nehomogenníe rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci casove zavislosti potencialu a hustoty níboje
1 r°°
<l>(x,t) = —l    dufeu) e-liJt, (125) 2n J-oo
p(x,t) = —l    dup(x,u) e-luJt (126) 2n J-oo
1
2n -j-oo
a dosadííme do rovnice (120),
Exponencialní funkce s ruzními u jsou nezavisle, proto platí
/oo          ŕ           Ul2\   ~                                    1     ľ o du  A + —   <j)(x, u) e-tut =--/    du p(x, u) e~luJt. -oo        \            Cl                                     Ě0 J-o
nyími u jsou nezíavislíe, proto pla u2 p (Px, u)
(127)
(128)
Hledame Greenovu funkci diferencialního operatoru na leve strane, definovanou vztahem
(A + k2) G(x,x',k) = -ó3(x - x'). (129) Resení teto rovnice zavisí jen na absolutní hodnotu r = \x - x'\:
e±ikr
G(x, xk) = G(r, k) = -—. (130)
4nr
Dukaz:
1)
(A + k2) — =   1 d- r + k2) — = 0 (131) r r dr r
20
platí pro r = 0.
2) Nasobíme levou stranu testovací funkcí f (X) a integrujeme pres celý prostor. Díky (131) staci/ integral pres mŕmitesimalm kouli o polomeru e kolem pocatku,
/d3xf (X)(A + k2) --= /   d3xf (X)(A + k2) --. (132)
J r       Jr<€ r
Rožvíjeme exponencialm funkci a vyuzijeme a 1/r = -4nó3(X - X')
/   d3xf (X) (A + k2) f1 ± ik - 1 k2r ±       = /   d3xf (X) (a i + k21 ±
Jr<e \r 2 /      Jr<e V    r r J
= -4nf (0) + O(e2). (133) V limite e — 0 tak žískame
-±ik\X—X '\
(a + k2) -f——^ = -b3(X - X'). (134) 4n|X - x |
Resenmi rovnice (128) je tedy
(f)(X,uj) =-        / d3x'p(X',uj)—^—zrrr. (135)
4ne0 J X - x i
Zpetný Fourierova transformace pro kladne znamenko vede k
8n2e0 J       J—oo    iX - X'i 4ne0 kde retardovaný cas byl definovan jako
jX jX
tret = t - J--. (137)
c
Potenciýl casove zavisleho rozložený naboje vypapda formalne jako staticky potencial, s rozdílem, že casový argument zavisí na vzdalenost iX- X'|, t. j. potencial a elektricke pole se sírí konecnou rychlostí. Takto získaný potencial se nazyva retardovaný potencial, analogicky to platý pro vektorovýy potenciýal.
i i ->/ j-     \X—x '\ \
4>X,t) = ^- í cŕx'f°° d.p(X^ e—i<t— ^) = J- í d3X' p4XX^4, (136) 8n2e0 J       J-oo     x — x 4ne0 J x — x
óret(X,t) = -L f d3x' p (X,Lt     „,C     ) , (138)
47re0 J Ix - x |
,4ret(X,t) = £-[ d3x' j ^ . (139)
4ff J x — x
21
9.4   Pole Casove promenneho dipolu
Uvazujme bodove naboje, soustredene vsechný kolem pocatku souradnic. Pak muzeme pro vektorovýí potenciaíl psíat
(140)
neboli pomocí dipoílovíeho momentu
A (x,t)
Vo 4nr
(141)
Skalarní potencial spocteme integrací vztahu (Lorenzova kalibrace)
00
-c2divA.
Jednoduchýími uípravami dostaneme
div V
rot V
4nr3 l v cj c \ cj. —a—3 x x p t — -   +-p[t — -)
Skalaírní potenciíal je tedý
Pro intenzitý dostaneme
1 x 4ne0 r3
At — c) + cp V—cl
E (x,t)
Bp(px, t)
1
(142)
(143)
(144)
4ne0r3 l r2
j — p ^t--^ • x x — p ^t--^ H—2 P (t--^ x x x x|
-p t
0—0
x px,
4nr3   V c, Dostatecne daleko od dipílu mame
^—c) = 4—c) +  ^— c)
Ep(px, t)
11
4ne0c2 r
D
{p,t — c)
x n,
B (x,t) =    1 D
(x,t — 0
kde jsme oznacili
D(x-t—c) = "0 — 0
x n,
px
n
(145)
(146)
(147)
Pro hustotu energie a Poýntinguv vektor platí
W
L E2 + - B A
11
16n2c4e0 r2
D2,
p
Ep Bp
11
Vo
16n2c3e0 r2
D2pn. (148)
22
1
Je přirozeně
t| = cn. (149) Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru
J(x,t) = I5(x) S(y)sini—j cos(ut) ez,        0 < z < L. (150)
Podle (140) a (141) spočteme snadno
2LI
p (t) =-       sin(ut) ez (151)
nu
a podle (147)
D (x,t--J =--sin ů sinu i t--\ev. (152)
Příklad: Rotující naboj v rovine (x,y) v dipolove aproximaci:
V = qr0(cos ut, sinut, 0), (153)
2
D = _ Qrou (z sin ut, —z cos ut,y cos ut — x sin ut). (154) r
Casove stredovaní Poyntinguv vektor popisuje vykon zarení do elementu prostoroveho uíhlu,
0) =  ft0f 2 cos2 ů . (155)
frQUJ4 l6n2cse0r2 r Celkova vyzarovaný energie za sekundu je pak
P = Í0)- ndS = q2r2u4 = -q2a21, (156)
kde a označuje zrychlení r0u2 na kruhove dríze. Tato ztrata energie by vedla k rychlemu kolapsu atomu v klasicke elektrodynamice.
9.5   LienardUv - WiechertUv potencial
At' se nabita častice pohybuje po zadane trajektorii x = x0(t). Hustota naboje je pak
p(x,t) = e5(3)(x - xo(t)). (157) Vzorec pro skalírní potencial prepíseme jako
<j>{x,t)   =   -1— f^ß^l ö(tI - t + \l—*-ľ) dtI dV = 4ne0 J \x - x \    \ c J
-t- í l^6(tI - t + \Š-^) dtI, (15S) 4nt0J R(tI)   \ c      ' K '
23
kde jsme oznacili R (t') = x - x0(t'), R(t') = \R (t')\. S pomocí vztahu
5(ť - tr)
R (tr )-v(tr ) cR(tr )
R(tr)
(159)
napíseme víraz pro skalární potenciál jako
(160)
Víraz pro vektoroví potenciál je pak obdobne
(161)
Vezmeme ted' jednoduchí prípad pohybu s konstantní rychlostí podel osy x. Podmínku pro nalezení casoveho zpozdení prepíseme na
c2(t - tr)2 = (x - vtr)2 + y2 + z2,
odkud
(1- f)
v2 vx
(x - vt)2 + (l - ^ (y2 + z2)j 2
Jmenovatel vírazu (160) a (161) pro potenciály muzeme psát jako
c(t - tr) -
v( x - vtr)
vx v2
Po male úpravě pak dostáváme
(p(x,t)
pro skalíarníí potenciíal a
Ä(x,t) = (A, (x,t), 0,0),
pro vektorovy potenciíl, kde jsme oznacili
11
(162)
(163)
(164)
(165)
e/J-o
4n      - v_ r*
(166)
(x - vt)2       2 2
r    = v_      + y    + Z
- c2
Vektor intenzity elektrického pole je
E(Xi t) = -A--/      2      (x - vti yi z)
47re0   h _ v± r*3
(167)
(168)
c2
24
1
1
C
1
v
a vektor indukce magnetického pole je
B(x,t) = 1° ^j=r v (0, -z,y). (169)
Pro vektor hustoty impulsů pole G = eQE x B dostáváme
G(X,t) = in —L^ _ľ_ (y2 + z2,        - vt), -z(x - vt)^ (170)
c2
a pro hůstotů energie W = (eQE2 + B2/pQ) /2 váraz
W(x, t) = —2--—---V   6 cCjyU--. (171)
c2
10   Základy teorie relativity
10.1 Principy
Princip relativity: vsechny prírodní zakony jsoů stejne ve vsech inerciálních soůrad-nách soůstavach. Inercialní soůstavy jsoů takove, kde se pohyb deje s konstantní rychlostí.
Interakce castic se v obycejne mechanice popisuje pomocí interakcní potencialní energie, ktera je fůnkcí polohy interagůjících castic. Tento způsob popisů v sobe obsahůje predpoklad o okamzitem působení.
Princip koneCne rychlosti šírení signálu: Rychlost Sírení interakce je konecna. Z principů relativity je tato rychlost ve vsech inercialních soůstavách stejna. Z Maxwell-ovych rovnic je videt, ze jde o rychlost svetla ve vakůů
c = 299 792 458 ms-1. (172)
Toto je exaktná hodnota, ůrcůjácá tak delkovoů jednotků jednotkoů casů.
Sjednocení principů relativity s principem konecne rychlosti sírení signalů je nazá-vano Einsteinovým principem relativity.
10.2 Interval, vlastní cas.
Uvazůjme dve ůdalosti: emisi a absorpci fotonů. V soůstave K je
(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2 - c2(t2 - ti)2 = 0, (173) v soůstave K pak
(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2 - c2(t2 - ti)2 = 0. (174)
Zavedeme obecne kvadrat intervalů mezi dvema ůdalostmi (dvema body ctyrrozmer-neho prostorocasů) jako
S22 = C2(t2 - ti)2 - (x2 - xi)2 - (y2 - yi)2 - (Z2 - Zi)2, (175)
25
popřípadě pro infinitesimálně blízké události
ds2 = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2.
(176)
Je-li interval roven nule v nějakě inerciální souřadně soustavě K, je roven nule i v libovolně jině soustavě K'. Potom tedy musí bát
ds2 = k(v)ds'2. (177)
Vzhledem k homogenitě prostoru a casu nemůže faktor úměrnosti zaviset na sourad-nicích, vzhledem k isotropii prostoru muže pak tento faktor zaviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvazovanách inercialních soustav. Uvazujeme-li tri soustavy K, K a K2 , dostaávaáme
ds2 = k(vi) ds?,        ds2 = k(v2) ds2,,        ds? = k(vi2) ds2    =     .( 2) = k(vi2),
k(vi)
(178)
a protoze leva strana poslední rovnice nezávisí na áhlu mezi vektory rychlostí v? a v2, zatímco prava strana muze, musí byt
k(v) = 1. (179)
Kvadrat intervalu mezi dvěma udalostmi (175) nebo mezi dvěma infinitesimalně blízkými udalostmi (176) je stejná ve vsech inercialních soustavach.
V predeslych uvahách se pripojuje cas prározenym zpusobem k prostoru, proto je vyhodně definovat ctyrrozměrná prostoročas ci Minkowskiho prostor, v němz se poďtá kvadrat prostorověho intervalu záporně a kvadrat casověho intervalu kladně (nebo opacně). Oznamení událost má vyznam bodu v ctyrrozměrněm prostorucase.
Oznacme si v soustavě K
tl2 = Í2 —ti, 4 = (X2 — Xl)2 + (y2 — yi)2 + (Z2 — Z?)2       =       s?2 = C2r?2 —t\2. (180)
Zkoumejme, existuje-li takova soustava K', kde by se obě udalosti odehraly v jednom bodě prostoru, tedy ze platí íi2 = 0. Máme tak podmínku = c2t22 —1\2 = c2t'22 > 0,; takovy interval se nazyva časupodobný. Naopak pozadavek na to, aby existovala soustava, ve kteráe ob e udaálosti nastanou sou casn e (t'i2 = 0), vede k podmáínce si22 = c2ti2 — £"^2 = — í'2i2 < 0,; interval se pak nazává prostorupodobný. V soustavě, ktera se pohybuje s danám hmotnym bodem (í'i2 = 0), muzeme tedy definovat vlastní čas jako
1 ľS2 ľÍ2 í     v2\ 2
t2 — ti = -      ds =        1 — —    dt. (181)
C Js1 Jt1    \        C2 J
V p ráípad e konstantnáí rychlosti v dostaneme jednoducháy vztah mezi parametrem s trajektorie t elesa a casovou sou radnicáí t,
s2 — s? = ^/1---        (t2 — ť),   popr. infinitesimalně ds = ^/1---        dt. (182)
26
10.3   Lorentzova transformace
Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podel osy x. Z elementárních úvah je zrejme, ze čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmení pri transformaci
ct = x' sinh f + ct' cosh ff,      x = x' cosh f + ct' sinh f, (183)
podobne jako se nezmení ctverec vzdalenosti l2 = x2 + y2 pri transformaci
x = x' cos p + y' sin p,        y = —x' sin p + y' cos p. (184)
Pro pocatek soustavy K' (bod x' = 0) mame v soustave K z definice x/t = v, jednak z (183) x/t = ctanhý, mame tedy tanh f = v/c a vztah (183) muzeme zapsat jako Lorentzovu transformaci
(185)
Vzdy jsou uvadeny dva klasicke príklady na pouzití vztahu (185).
(a) V soustave K je podel osy x v klidu merítko, jehoz dve rysky mají v teto soustave souradnice xi, x2. Vzdalenost (klidova) rysek je tedy Axo = x2 — x\. Vzdalenost v soustave K' (souradnice jsou urcovány ve stejnem case ti = ť2) je Ax = x'2 — x'i = Ax0\J 1 — ^2. Mluvíme o kontrakci delky.
(b) V soustave K' se v casech ti a t'2 odehrají dve udalosti v jedinem míste xi = x'2, yi = y2, z'i = z22 (interval mezi udalostmi je tedy At0 = t'2 —t[). V soustave K je interval mezi temito udílostmi At = t2 —11 = At0 j\J1 — ^. Mluvíme pak o dilataci Casu.
Vztah (185) muzeme zapsat i v diferencialním tvaru
.     c dt' + - dx'      n      dx' + v dť      .      . .      .      . , , ,
c dt =-, ,    dx = —, ,    dy = dy ,    dz = dz . (186)
Pro transformaci slozek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dt') dostaneme z
(186) vztah
wx = —x——,       wy = ——-r^-,       wz = ---r^-. (187)
Sledujeme-li sírení svetelneho paprsku v rovine (wx = c cos ů, wy = c sin ů, wz = 0 resp. w'x = c cos ů', wy = c sin ů', w'z = 0), dostaneme vztah (aberace svetla)
/1_
sin ů = —^—sin ů'. (188) 1 + - cos ů' v 1
c
Pro v/c 1 polozíme ů = ů' — Aů a porovníním nejnizsího clenu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uvíadenyí vztah
Aů = v sin ů'. (189)
c
27
10.4   Ctyrvektory, Ctyrtenzory
Nejprve definujeme podstatne tenžory. Metricky tenžor v Minkowskiho prostoru a jed-notkovíy tenžor jsou
1 0   0 0
0 —10 0
0 0  —1 0
0 0   0 —1
1000 0100 0010 0001
(190)
gik se nažíva kovariantní metrika, inversní metrika gik se nažíví kontravariantní. Dale definujeme kontravariantní a kovariantní uplne antisymetrickí tenžor 4. radu je defi-novan pomocí vžtahm
e*klm (e0123 = 1), tlklm (60123 = —1). (191)
Cty rvektor sou radnic udíalosti (kontravariantníí a kovariantníí) žapisujeme jako
x% = (x0, x1, x2, x3) = (ct, X), x* = (x0, x1, x2, x3) = (ct, —X)■ (192)
Metrika ním udíva invariantní prostorocasovou „delku" vektoru x%
s     gik xx xx     g  xx* xxk    xx xx*    c t     (xx   I yy   I z ) ■
(193)
Pritom platí
x* = gik xk, x* = gik Xk (194)
(žvednutí a spustení indexu = transformace meži kontravariantními a kovariantními indexy).
V ctyrrožmernem žapisu mužeme Lorentžovu transformaci (ve smeru x) (185) psat ve tvaru
s Lorentžovou maticí
( 7   v 7 0 0 \ v7   7   0 0 0    0 10
V 0 001/
kde 7 je bežne žkrícení
1
7:=
1
v2 c2
(195)
(196)
(197)
10.5   Ctyrrychlost á Ctyřzrychlení
Definujeme ctyrvektor rychlosti príroženym žpusobem jako derivaci ctyrvektoru udalostí, že kterích se sklada svetocárá (ctyrrožmerní trajektorie) telesa, podle parametru s (= c kríat vlastníí cas)
u*
ds
u*
1
1 — VÍ cJ1—í
u* u* = 1 ■
(198)
28
u_ je tedy tecným vektorem svetocary. Obdobne ctyrvektor žrychlem
ď =duU_ = dV, u at = 0. (199)
ds ds2
Podivejme se na relativistický popis pohybu s konstantním žrychlením. V souradne soustave, kde rychlost castice je momentýlne nulova (v = 0), mame
u_K = (1, 0, 0,0), a_K =(0,Ca, 0, ^ , (200)
kde a je obycejne žrychlený. V souradne soustave pohybujký se rychlostý v ve smeru x je rychlost a žrychlený
u_ = I   ,-T,    ,-T, 0, 0| ,        a_ '
c3 dt dt
, 0,0l . (201)
N/í-?' cVÍ-?'W' 1(1 - ff c2 (1 - f)2
Po male ýprave (ž rovnosti a_ a_ = a_K aK_) dostývame
d ( , V    ) = (202) S pocýtecnými podmmkami v0 = 0, x0 = 0 dostavame resem pro konstantný žrychlený
at c2 at 2
v =   , • x = - I, 1 +  -    - 11 . (203)
/1 + (at\- a   \ V V c
10.6   Relativistický impulz
Jak v klasicke mechanice, tak existuje i ve specialní teorii relativity princip nejmensího ýcinku. Jako invariantný a jednoduchý ucinek bodove castice se nabýžý integral vlastnýho casu podel svetocary. Abychom v nerelativisticke limite dostali pro ýcinek žnýmý nerelativistický vyraž, musíme konstantu umernost žvolit rovnu -mc, tedy
S = -mc jb ds = -mc2 jí** ^ 1 - V— dt. (204) Lagrangeova funkce a impuls jsou
2 \     v2 _    d L       m v ,
= -mcÍ1 - c? •      p = dM = Trqi ■ (205)
S volbou faktoru -mc dostaneme v priblížení v ^ c
(v2 \ ?nv2 1 -        =^2--mc2, (206)
a
29
tedý nerelativističkou Lagrangovu funkči volne častiče minus konstantu mc2, ktera je bez výýznamu pro pohýbovýe rovniče klasičkýe mečhaniký. Hamiltonova funkče je pak
2
m c i-
H = p - v - L =   . = Jp2c2 + m2c4; (207)
v prípade v ^ c dostaneme
2
mv
H « mc2 + ^2i_, (208)
t. j. klidovýa energie hmotý + nerelativističkýa kinetičkaý energie. Z hamiltoniýnu a impulsu skladame čtýrimpuls
p1 = (—>p) = mciŕ, pipi = m2 c2 (209)
a zavedeme čtý rvektor silý
f- = 4- = (    p- P    ,    /    ) ,        f- P- = 0. (210)
11   Náboj v elektromagnetickem poli 11.1   Pohyb ove rovnice
Uý činek nabitýe čýastiče v elektromagnetičkýem poli je dýan vzorčem
S = -mc fb ds - e f * A' dx-, (211)
ja ja
kde jsme zavedli ctyrpotenciýl
A-
(1,A)-
Lagrangeova funkče a zobečn enýý impuls jsou
(212)
v2 dL m pv
L = -mc2\ 1 - — + eA - v - e<f>,        P = — = --+ eA = p + eA, (213)
V      c2 dv     ^1 - ^|
hamiltonova funkče je
m c2
-* m c2 / -* -*
H = P - v - L =   , + e< =Jm2c4 + c2(P - eA)2 + e<. (214)
Z vektorovýe analýýzý budeme pot rebovat identitu
V (a - ď) = (a -Wjb + (b - V) a + b x (ý x aj + a x (ý xbj . (215)
30
Je pak
V L = eV (Ä ■ v) - eV(t) = e (v ■ V) AA + e v x (V x Ä) - eV(
dt
dt t
Lagrangeova rovnice je tedy
dpÄ
= e (í? + v x B)
kde jsme ožnacili
Ě = -V( Ve ctyrrožmerne notaci je
dA ~^t,
B = Ä x A
f b f b
ÔS = - mc    Ôds - e Ô    Ai dxi.
aa
Variace elementu díelky je
I-•- Qik dxi Ôdxk
Ôds = ô\ gikdxidxk = —---= uk ôdxk,
ds
variace vektorovíeho potenciíalu
ÔAi = deÔxk.
Pou žíítíím toho a integracíí per partes dostaneme
ÔS
Z toho vyplyívajíí pohybovíe rovnice
dui k mc— = etik u ds
s definicí tenžoru Fik
dAk dAi
dxi dxk
Prostorove složky pohybovích rovnic popisují Lorentžovu sílu (217).
(216)
(217)
(218)
(219)
(22O)
(221)
ŕ í       ■ dAi    ■ dAi A ■ b
mcôxi dui + e^—A ôxi dxk - e^-^- ôxk dxM - (mcui + eAi) ôxi . (222) a dxk dxk a
(223)
(224)
31
11.2   Tenzor elektromagnetického pole
V minulýem podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetickýeho pole
Fik
0
c
E
Ex c
Ex
Ey
\
-    Bz      0 -Bx Ez   -By    Bx      0 J
F
ik
--- — \
c c
- Bz By
0
Ex 0
c
E-    Bz      0 -Bx \f   -By   Bx      0 J
(225)
Pri Lorentzove transformaci se tenzor elektromagnetickeho pole transformuje podle vztahu
Fik = Am A* F'mn. (226)
Pri Lorentzove transformaci ve smeru x s matici' A* (196) dostaneme nasledujký trans-formacm vztah tenzoru elektromagnetickeho pole
F
ik
0 f '01
f '10 0
y f f '20 + - f '2i) y (f   + - f '20'
y (f'30 + - f'31) y (f+ - f'30^
y f f '02 + - f       y (f   + - f '13) \
y (f'12 + - f'02)   y (f'13 + - f'03)
0 f'23
f
32
0
Prevedeno do vektoru intenzity a indukce plat!
Ex = Ex,    Ey = y(ey + vBZ),    Ez = y (e'- vB'y),
V nerelativistickem priblížení (v/c — 0) prechaží (228) na
EE = E' - v x B',        B = b'.
(227)
(228)
(229)
Invarianty pole mužeme zkonstruovat z tenzoru pole. Ponevadž je antisymetrický, zužem nedava nic a mame až kvadraticke vyrazy
gim gkn =      Fik = inv;
1
ékmn Fik Fmn = Fik *Fik = inv.
ik
(230)
Dualný tenzor vyjadrený pomocý intenzity elektrickeho pole a indukce magnetickeho pole ma tvar
0    - Bx   - By   - Bz
~kFik
Bx By
Bz
0
c
e
c
y
c
0
Ex c
c
Ex c
0
(231)
C
c
0
32
Invarianty mají pak vyjadrení
Fik Fk = -2 (EE2 - B2) ,        Fik *Fik = 4—. (232)
12   Zarení zrychlených nabojů 12.1   Lienardův-Wiechertův potencial
Poňcíítaíme potenciaíl pole, vytvaňreníeho jedníím naíbojem, kteryí se pohybuje po trajektorii x = x0(t), v case t v bode P (x, y, z). Potenciíl je dan stavem pohybu castice v case ť, pro kteryí platíí (doba pot rebnaí pro síí reníí sv etelníeho signalu)
c(t - ť) = R(ť) = \x - x0(ť)\. (233)
V souradne soustave, ve ktere je cístice v case t v klidu, míme prave Coulombuv zíakon
*(x't) = 4^ Rf) •     A(x-t) = 0. (234)
Podmínku (233) zapíseme ve ctyrrozmernem (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, ze interval mezi udílostmi „emise fotonu" (cť,x0(ť)) a „absorpce fotonu" (ct,x) lezí na svetelnem kuzelu, tedy pro rozdíl ctyrvektoru udalostí Rk = (c(t - ť),x - x0(ť)) platí
Rk Rk = 0. (235)
Pomocí tohoto nulovíeho ňctyňrvektoru a jednotkovíeho ňctyňrvektoru rychlosti ňcíastice
ui = (~rL=) ,    V = v(t) = dPdP-,    uiUi = 1 (236)
se pokusíme zapsat ňctyňrvektor potenciaílu pole tak, aby pro P = P0 (tj. pro ňctyňrvektor U = (1,0)) presel do tvaru (234). Z mozních kombinací snadno nalezeme vísledek
Ai = f U) =i-—^ (237)
\c    J     4ne0cuk Rk
Pokud nevypisujeme explicitnňe argumenty, musíme mít na pamňetí, ňze levíe strany vztahu jsou uvazovíny v case t, prave strany v case ť. V trojrozmernem znacení pak ma
(237) tvar
<!> = t---,     A = ^  ( v ., . (238)
Víysledek (238) je pňrirozenňe stejnyí jako (160) a (161). Pňri vyípoňctu políí
dA ->
E = -V<p - —,       B = v x A (239)
33
budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (233) podle t dostáváme
OR = OROť_ ~3t = Oť Oť
R • v čť_
'~R~~ôÍ
•{1 - S)
3ť\ čť_
cR
(240)
Obdobne derivováním vztahu (233) podle X dostúváme
R
-cVť = VR(ť) = dR Vť + R =>Vť =--7-^
(241)
Vyraz pro potenciály ve (239) pak budeme chípat jako funkce f (x,t'), a budeme pocítat parciální derivace podle x pri konstantním t' a podle t' pri konstantním x. Porovnáváním diferenciálu
Of dt
Of Oť
df = Vf • dx + Oť dt = Vf • dx + OL dt = V + ^ Vť) • dx + Oť O- dt (242)
prepíšeme (239) jako
Oj_Oť_
E = - V jj(x,ť)
O(j)(x, ť) f ,    OA (x, ť) Oť
t
Oť Ot
B = V x A(x,ť) + Vť x OA(fx,t')
Pro intenzitu elektrickíeho pole dostaívíame pak
Ef
4neo
1 _ v_
1_c_
i)
R2 1
c
+
n x
n
"t
x w
c2 R (1 - v-f
zatímco pro indukci magnetickeho pole pole
B = - n x E =-
c 4n
1 _ v_
1 2
c2
(v x n)
R2 1
1
n x
n x ((n -cR Í1 -
x W
3
(243)
(244)
(245)
Oznacili jsme jednotkoví vektor n = R/R a zrychlení w = dv/dt'. Limitní prípady pro v/c — 0 jsou
Ef
efn
4vreo R2
Bf
e^0(v x n) 4nR2
(246)
12.2   Intenzita zaření
Poyntinguv vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku casu, dimenze [Jm-2s-1]) je
f = — E x B = tocE2n (247) Vo
1
1
e
c
c
34
a intenžitu žáŤem (tj. energie, vyžarovanou ža sekundu do elementu prostoroveho uhlu, [Watt]) spocteme tedy jako
dl = lim Š • n R2 díl (248)
R—>oo
Po dosaženíí ž (247) a (244)
2(ř? • w)(v^w) w2 (1 —     (n • w)2
e2
dl
16n2e0c3
C2
dí (249)
Pro v/c — 0 dostavíme s ožnacením n • w = w cos £ pro celkovou vyžarovanou intenžitu
e2w2      /■ 2n       ľ n                                     e2 w2 I =T6Tw-J   dW  d£ sin £(1 — cos2 £) = 6--       ■ (250)
V klidove soustave castice je tedy (s ožnacením I = dE/dt)
, ^     e2w2   , *    dx*     ,   ->.        *    du*     í   w\ ,
dE =6^60^ dť    d'P = 0,    u* = — = (1,0),    w* = — = [0,^j ■ (251)
Relativisticky invariantní vyraž (tj. diferencial ctyrvektoru impulžu) vytvoreny ž ctyr-vektoru rychlosti a žrychlení, kterí v klidove soustave prejde na víražy že vžtahu (251), je pak (m = 1)
*      E * e2   duk duk    * e2   duk duk *
p* =   -,p),        dp* = —--— —k dx* = —-— —k u* ds. (252)
V c    J 6ne0c ds ds 6ne0c ds ds
V laboratorníí soustav e tedy míame pro celkovou vyža rovanou intenžitu vyíraž
e2   w2 — (w x f) 2
6ne0c3     ^1 — v^A
(253)
Zde jsme pot rebovali vyjíad reníí cty rvektoru rychlosti i žrychleníí v laboratorníí soustav e. Abychom nemuseli pri vípoctu ctyrvektoru žrychlení užit obecne Lorentžovy transformace, vypocteme w* derivovíním žnameho tvaru u* = 1 — v^,v/ {c\J 1 — ^
potom (
(
w*
v ^ w__w       +   v(v ^ w)    i (254)
cS i1 — S) c211 — ^) c4 í1 — $
\C ^ — J)     °   V   " ^ ^ — C2
V homogenním magnetickem poli se nabita castice pohybuje rychlostí v po kružnici polomeru R, její žrychlení w = v2/R je kolme k rychlosti. Dosažením do vžtahu (253)
I = v4    =      ( JL Y~      (JLf 4 (255)
6ne0c3 R2 fi — v£j2     6ne0R2 \mcj  ~ 6ne0R2 Vmc2/ ' V ;
V posledním víražu ve (255) jsme použili aproximace vysokích energií, kde pro kinetickou energii platí T = \Jp2c2 + m2c4 — mc2 ~ pc. Z tohoto vyražu je take žrejme, že
I
35
synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu R0 ~ 0, 5 km můZeme psát I « (Ro/R)2(T/mc2)4 eVs-1.
Jsou-li rychlost a zrychlení v urcitem okamZiku rovnobeZne, dostáváme (n -v = v cos ů, rychlost podel osy z) pro uhlove rozloZená zárem vyraz
dI
e2w2 16n2e0c3
sin2 ů
(l - v cos ů) 6
díl
(256)
Pro hodnoty v/c — 1 ma uhlove rozlozená velmi uzke, ale „dvouhrbe" maximum kolem ů = 0. Jsou-li rychlost a zrychlená v urcitem okamziku navzajem kolme, dostaváme (n - v = v cos ů, n - w = w cos ip sin ů, rychlost podel osy z a zrychlená podel osy x) pro áhlove rozlozená
dI
e2w2 16n2eoC3
1
1 - v cos ů
c
(1 - g) sin2 ů cos2 p - f cos ů)6
(257)
13   Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci
13.1    Čtyrrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity
Definujeme ctyrvektor proudu (pro castici: naboj krát ctyrrychlost)
j1 = P
(cp,pv) = (cp,J).
Naboj, ktery ubude v nejakem objemu, muzeme zapsat dvojím zpusobem
_3_ - dt
J p dV = j> j - n dS.
S pomocí Gaufiovy vety pak z (259) plyne
dV = 0,
tedy (objem je libovolnyá) rovnice kontinuity
(258)
(259)
(260)
^ _   dp dj
V - j + — = — = 0.
dt 3x%
(261)
13.2   Homogenní Maxwellovy rovnice
Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu
dFtk + dFja + dFu dxl     dx% dxk
0.
(262)
36
Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelneji je to videt, uZijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru
1 eiklm dFlm = d*F ik = o
2 dxk dxk
(263)
Nultá komponenta davá tvrzení o nezrídlověm charakteru magnetickěho pole, dalsí tri komponenty Faradayuv indukcná zakon
V • B = 0,        V x Ě
dB "dt'
(264)
13.3   Nehomogenní Maxwellovy rovnice
Ctyřrozmerný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je
dF
ik
dxk
-ßoj i.
(265)
Nultá komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrickeho pole (Gaufiova věta elektrostatiky), zbávající tri pro rotaci magnetickěho pole (Ampěreuv zákon)
V ^Ě = í    V x B = +«■
(266)
13.4   Tensor energie-impulsu
Z hustoty energie
W = \ (t0Ě2 + — £2)
2
z Poyntingova vektoru
l
a z Maxwellova tensoru nápětí
S = — Ě x B ßo
l
&aß = Í0ĚaĚa +--BaBß - W&aß
ßo
(267)
(268)
(269)
elektromagnetickeho pole (ve vakuu) muzeme sestavit ctyrrozměrná tensor energie-impulsu,
iS     "      ) . (270)
Tik =
Pomocí tensoru elektromagnetického pole dostáváme jednoduchý výraz
T
ik
l
ßo
(
-gimFilFkm +
4 gik FimF lm^j
(27l)
37
Tensor energie-impulsu soustavy částic zapíšeme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetického pole. Hustotu impulsu soustavy částic napíseme jako
na = /icua,        / = J2 maS{3) (x — xa). (272)
a
Hustota impulsu je u elektromagnetickeho pole rovna hustote toku energie delene c2. Vyraz (272) bude tedy analogicky roven T0a/c. Velicina /ic je nultou komponentou (stejne jako hustota naboje u ctyrvektoru proudu) ctyrvektoru toku hmoty i dxl/dt. Tensor energie-impulsu tak muzeme konecne psít jako
Tik = /c ^= icuiuk dS,        Tik = Tki. (273) ds dt dt
Pro tensor energie-impulsu elektromagnetickeho pole dostaneme s vyuzitím Maxwell-ovíych rovnic
= — lo J \        eiklm ^ = 0 (274) d
víyraz
qI^f = —Fkjk. (275) Pro tensor energie-impulsu soustavy cíastic dostaneme s vyu zitíím pohybovyích rovnic
ic ddUÍ = p Fik uk <* ic dutÍ = Fik jk (276)
ds dt
a rovnice zachovíaníí hmotnosti (rovnice kontinuity pro cty rvektor toku hmotnosti, podobn e jako pro cty rvektor proudu)
dxk \ dt
víyraz
d(l dí) = 0 (277)
d Tk = Fik jk. (278)
Spojeníím (275) a (278) dostíavaíme zíakon zachovaíníí
^ (t* + tpk) = 0. (279)
Pro tensor energie-impulsu platí (rovnost prave pro elektromagneticke pole)
ti > 0. (280)
38
14   Elektromagnetické vlny
14.1   Vlnová rovnice
Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovnic ve vakuu (p = 0, j = 0) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů
dF'k -o,    r» = ^</>'aAl aAj
axk    ' v axj   axl)'
%1 a2 Ak    ki a2 a
9 —:--g -= 0.
Lorenzova kalibrační podmínka (119) nabývá formu čtyřdivergence
aAk
(281)
axk
a zjednoduší (281) na vlnovu rovnici
0 (282)
ki a 2 Ai
9 axk axl ( )
Pomocí d'Alembertova operátoru
máme pak ve trírozmernem zapisu
+ V • AA =0,        U<f> = 0,        BA = 0. (285)
c2 at
Vlnove rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volne elektromagneticke pole. Konsistence kalibracních podmínek s rovnicemi pole se dokaze takto:
1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci akAk = 0 na pocatecní nadplose t = 0.
2) Resíme rovnice D Ak = 0.
3) Protoze Ak je resení vlnove rovnice, platí
ak Ak = Ao + V A = AAq + V A = V (VAo + A^) = -VE = 0.
ak Ak = 0     a     a ak Ak = 0 k at k
pro t = 0.
4) Kdyz Ak je resení vlnove rovnice, pak je akAk take resení:
nak Ak =    Ak = 0.
5) Z toho vyplíyvaí, ze akAk = 0 v sude.
39
14.2   Rovinný monochromatický vlna
Re seníí hledíame ve tvaru rovinníe vlny, tedy konstantníí cty rvektor níasobenyí komplexníí jednotkou
Ai = Re{ai exp(ikjxj)},        ki ki = 0,        k ai = 0. (286)
Poslední vztah ve (286) je dín Lorenzovou kalibracní podmínkou. Ctyrvektor impulsu zapisujeme jako
ki = (c^),        k = n2 = 1. (287)
Velmi jednodu se popíí seme pomocíí charakteristik rovinníe monochromatickíe vlny Dop-pleruv jev. Mejme zdroj svetla, ktery je v klidu v soustave K0. Soustava K0 se pohybuje vzhledem k laboratorní soustave K rychlostí v. At' je uhel mezi smerem pohybu zdroje a smerem sírení svetla a. Potom platí
= k° - l k    k0  = u(0) k0 = u
k(0) = r,—vi, k(0) =  „ , k
c
,1       k1 - l k°     ,1       u(0) , 1 u
k(o) =   /    \ľ,  k(o) = ~cŕ c°s a(0),  k1 =    c°s a.
V1 c2
(288)
a odtud
'1_i£
u = u(0) / v   *   . (289) 1 — l cos a
Pro rychlosti malíe ve srovníaníí s rychlostíí svňetla míame
v
1 v2
u ~ u(0) 11+— cos a + - — cos 2a J . (290)
\ c 2 c /
Tensor energie-impulsu je
c2 1
— Wklkk, w = — u2 2(i0
Tik = — W kikk,        W = — \aia*, + Re íaiai exp (2ikj xj) )1 . (291)
u2 2//.n  L L v / J J
Ve stňredníí hodnotňe podle ňcasu je druhíy ňclen ve vyírazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (232) jsou rovny nule.
Se speciíalníí volbou kalibrace (spojeníe ovňsem s jednou urňcitou inerciaílníí souňradnou soustavou) míame
A1 = (0, A),  A = ay cos(ut - kx + a)ey + az sin(ut - kx + a)ez,
E = uay sin(ut - kx + a)ey - uaz cos(ut - kx + a)ez, (292) BP = kaz cos(ut - kx + a)Pey + kay sin(ut - kx + a)Pez. Eliptickía polarizace takovíe vlny je vidňet ze vztahu
Ey2 E2 By2 B2
u2a2y    u2az2 k2az2 k2a2y
40
14.3   Rozklad elektrostatickeho pole bodoveho naboje
Potencial bodoveho nýboje (Coulombuv potencial) vyhovuje rovnici
A0(f) = - ^č(3) (x). (294)
Uvažujme Fourierovu transformaci
((k) exp(ik • x) (2 )3 ,        ((k) = J (((x)exp(—ik • x) d3x. (295) Máme dve vyjádření pro Fourierovu transformaci působení Laplaceova operátoru
A(f)(X) = / -k24>(k) exp(ik - X)-^ =  (A0(k)) = -k20(k), J (2n)3
(X) = -q/exp(ik- X)-^ =  (Af(k)) = -q
(2n)3 e0
Porovnýným obou vyjadrem dostavame
(296)
*® = 7^. (297)
14.4   Vlastní kmity pole
Uvažujme objem V uzavreny v hranole o hranach delky A, B, C a kalibraci 0 = 0, V - A = 0. Mame
A = E —kexp(ik - X),       k - Ak = 0,       A.^ = —k, (298)
k
pritom
2nnx 2nny 2nnz
kx =   a  , ky = kz = ~~C~~' (299)
kde nx, ny, nz jsou celý dsla. Fourierovy složky vyhovuj í rovnici
ddAk + c— = 0. (300)
Jsou-li rozmery A, B, C zvoleneho objemu dostatecne velke, jsou sousední hodnoty kx, ky, kz velmi blízke a mužeme uvažovat o poctu možných stavu v intervalu hodnot vlnovýeho vektoru
Anx = — Akx,       Any = — Aky,       Anz = C Akz,
(301)
Akx Aky Akz
An = Anx Any Anz = V
(2vr)3
41
Pro pole dostaneme s potenciíalem (298)
d A      ^ dAr
E = - — = -J2 ~df exp(ik • x),       B = V x A = z]Tfc x Ak exp(Ä • f). (302)
k
Celková energie pole je
1 ľ í   -2     1 -2\ V^í  dÄr   dA*r     1 -+\ /->
(303)
Jednoduchou ípravou (vyuzití kalibracní podmínky) prepíseme víraz (303) na
E = V20 E (^ • ^ + -2 Ak • Ak) ,       <» = c |ř|. (304)
Rozklad potencialu (298) obsahuje jak stojate, tak postupne vlny. Vhodnejsí pro interpretaci je rozklad potenciíalu, kteryí obsahuje jen postupníe vlny
A = E [ä>kexp (i (k • x — ukt)) + ak> exp (^—i (k • x — ukt)) . (305)
k
Porovnaním (305) a (298) dostívame
Ak = ak exp(—icjk t) + a*k exp(i^k t). (306) Dosazení (306) do (304) umoznuje ted' napsat energii pole jako
E = E Ek, Sk = 2Veo ^ ak • ak. (307)
k
Obdobne dostaneme pro impuls
P = KE x á)dV = E k ! (308)
Nakonec zavedeme kanonicke promenne
Q k = VčôV (ak exp(—iu)k t) + ai exp(iu)k t)) ,
Pk = —iuJkVeôV (ak exp(—iu)kť) — ak. exp(iukt))
(309)
dt
V techto promenních mame energii vyjídrenou jako energii souboru harmonickych oscilítoru
E = E Sk, Sk =1 (P? + ukQl) . (310)
42
15   Rozptyl zárení volnými naboji
15.1   Thomsonuv vzorec
Zavedeme pojem ácinněho prurezu. At' dl znaď intenzitu zarená tj. stredná hodnotu energie vyzarovaně soustavou za jednotku casu do elementu prostorověho áhlu díl a S je stredná hodnota Poyntingova vektoru (stredná hodnota toku energie) dopadajácáho zárená Potom je diferenciálná ácinná prurez (ácinná prurez rozptylu do elementu prostorověho uhlu díl) velicina rozměru elementu plochy
dl
da = S. (311)
Uvazujme ted' rozptyl elektromagnetickě vlny jednám jednotkovym volnym nabojem. Budeme predpokladat, ze rychlost záskana nábojem bude mala a ze vlnová dělka je mnohem větsá nez amplituda vyvolanách kmitu náboje okolo puvodná polohy (kam umástáme pocatek souradnic), tedy muzeme psát
mdt^r = eE0 cos (k • x — ut + a) ~ eE0 cos(ut — a). (312) Pro intenzitu dipolověho zarem kmitajícího naboje mame podle (148) ve směru n
4 4
dl =r 26   2 3 \Ěo x n|2 cos2(ut — a) dl =      26        E02 sin2ů dl (313) 16n2 t0m2có 32n2e0m2cd
a pro stredná hodnotu Poyntingova vektoru dopadajácá vlny
1
S = ce0 E0 cos2(ut — a) = 2 ce0 El, (314)
takze pro diferencialná ucinná prurez je
62 2
da = -6-2    sin2^ dl. (315)
\4nt0 mc2 J
^4ne0 mc2
Celkovy ucinná prurez je pak dan Thomsonovám vzorcem
8n /    e2     \2 8
\v4ne0mc2y
a = ^   7Z7—2    = 0nrÍ, (316)
3 \ 4nt0mc2 ) 3 kde re je klasicky poloměr elektronu.
15.2   Modifikace Thomsonova vzorce
Uvazujme nyná nikoliv volny náboj, ale tlumená oscilátor, tedy
d2Ěx      dĚx     2 6
ia2 + T~Í7 + U X = — E0 cos ut. (317) dt2       dt m
43
Pro dipálová moment p = ex odsud dostavame
_    e2      - u2)cos ují +     sin ut ě
P =--T~2-ř\T~i-2~~2- E0. (318)
Celkový ucinná prurez je v tomto prípade
° = ~3~ Te (u02 - u2)2 + y2u2 . (319)
16   Index lomu
Definujeme polarizovatelnost a(u) jako konstantu umernosti ve vztahu mezi (lokalním) elektrickám polem Eioc a dipolovám momentem p. Vyjdeme z komplexního zápisu (317)
"dt^ + Y dt + uo x = m^Eioc exp(-iut). (320)
Potom
- e2 1
p = eo       -Eioc, a(u) =--2-:-2. (321)
eom u0 - «yw - u2
Polarizace je pak P = N p. Musáme ovsem uvázit, jake pole pusobá na naboj. Pripomen-me z elektrostatiky, ze je-li v dielektriku s homogennám polem dutina, je lokálná pole rovno
Eioc = E,        ĚXoc = E + - P,        Eioc = E + -L P, (322)
eo 3eo
podle toho, jde-li o sterbinu podel nebo naprác pole nebo o kulovou dutinu. (V prápade sterbiny naprác pole máme Eioc = ^D.) Pro uplnost poznamenejme, ze pro magneticke pole maáme v podobnáe situaci
.Bioc = B - M,        Bioc = B,        Bioc = B - 22 M. (323)
Pro dielektrika uvazujeme o vazanách nabojích uvnitr kulove dutiny, muzeme tedy psáat
P = T-NTNSeo E (324)
a pro index lomu (za velmi casteho predpokladu h(uS) = fio)
2 Na
n =1 + r^TNa- (325)
3
Obvykla forma tohoto vztahu je (Clausius - Mosotti)
n2 1
3—-= Na. (326)
n2 + 2 v ;
44
Ve vodici uvazujeme o temer volních elektronech (nevázáních k atomu, tedy uo = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou ruzních vyjadrení proudu a zápisu zmeny impulsu za dobu mezi srázkami)
Ne2
j = a E,        j = N evd,        mvd 7 = eE   =   7 =-. (327)
ma
(vd je zprumerovaní rychlost elektronu - drift.) Take lokílní pole je rovno vnejsímu, opet díky neustálemu pohybu temer volnych elektronu. Odtud máme pro index lomu
2                ul 2    Ne2                         , ,
n =1--0-—^t- ,        ul =-. (328)
u2 + iuu2 f p    m to
up je tzv. plasmoví frekvence.
45