Kousek symetrie Libor Šmejkal Kvantová fyzika atomárních soustav Kde navazujeme - Vibrace víceatomových molekul Ukázka z M p Symetrické polynomy - Vietovy vztahy! p Co je více symetrické? pVoda Led Voda Ukázka z F Přehled pZkoumání symetrie pTeorie grup nMatematika nFyzika pAplikace - příklady pShrnutí n Matematický pohled p+ * Grupa p Grupou nazveme množinu G spolu s binární operací splňující: p pUzavřenost pNeutrální prvek pInverzní prvek pAsociativita p p p Příklad pCyklická grupa s generátorem i pMultiplikativní tabulka 1 e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b 1 i -1 -i 1 1 i -1 -i i i -1 -i 1 -1 -1 -i 1 i -i -i 1 i -1 Jiný příklad - reprezentace Untitled 13 Reprezentace relevantní grupy může být nalezena obecnou matematickou metodou, výsledek je vlastní symetrii a nezávislý na detailech fyzikálního systému Grupoid pzákladní algebraická struktura s jednou operací. množina A, na které je definována jedna binární operace •. nMnožina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A. pPříklady n(N; +) - operace sčítání na množině přirozených čísel. n(N; ·) - operace násobení na množině přirozených čísel. pProtipříklady n(N; -) - operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená. n(N; :) - operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená. p Variety pAbstraktní prostor lokálně podobný Euklidovskému. Např. Země nMinkovského ČP 4D nObr. Penrose n n n n n nTeorie strun – svinuté dimenze pNapř.: HE, 10D, grupová symetrie E8xE8 p RPPhaseSpace Lieovy grupy pReálná Lieova grupa je grupa, která je konečně dimensionální reálná hladká varieta, ve které je grupová operace násobení hladké zobrazení. n p p p pKružnice se středem v počátku gaussovy komplexní roviny je Liovou grupou s komplexním násobením p Untitled 17 Příklady p2×2 reálné invertibilní matice, násobení, GL2(R): p p pRotační matice tvoří podgrupu GL2(R), značíme SO2(R). Sčítání úhlů odpovídá násobení prvků SO2(R), p p Untitled 15 Untitled 16 Fyzikální pohled pOperace symetrie pINVARIANCE pDiskrétní/bodové - krystalografie … Spojité grupy p pPermutační pGaugeho invariance a zachování náboje pGrupy v částicové fyzice p Zákony zachování p1918 – Emma Noetherová pKaždé spojité lokální symetrii, vůči které jsou invariantní rovnice popisující fyzikální systém, přísluší veličina, která se zachovává p pHomogenita prostoru à p pIzotropie prostoru à L pHomogenita času à nejužitečnější skalární veličina E p pSouřadnicová inverze prostorová parita pČasová inverze časová parita p Spojité pPosunutí v prostrou a čase pRotace v 3D prostoru pLorentzova transformace Diskrétní pProstorová inverze (Parity transformation) xà-x nReflexe v rovině nVětšina interakcí obsahuje, ale slabá NE pČasová inverze tà-t pTranslační transformace v mřížce pRotační Př. Částice v 1D mřížce Fyzikální interpretace výsledku GT vede k cenným informacím o energiových spektrech pH je invariantní vůči operacím symetrie, H komutuje se všemi grupovými symetrickými operátory, vlastní stavy H jsou také bázovými reprezentatnty symetrické grupy p p p Příklad p5 – 14 - 52 Bravais mřížky 650px-2d-bravais Bravais mřížky bravais Proč 14?! Shrnutí pPřirozenost, geometrie pNástroj k hádání výsledku – sem tam může pomoci pTrošičku hloubější přiblížení porozumění fundamentálním principům pUžitečnost - zkoumání časoprostorových symetrií vedlo např. k vybudování OTR (placatá – kulatá) Na závěr pKlasická hudba – Bach používal koncept symetrie permutace a invariance. pPW Anderson 1972 p Literatura, doporučená četba pLandau. Lifshitz: Course of theoretical physics, Vol. 4: Quantum mechanics pSternberg: Group theory and physics pTung: Group theory in physics pRosický: Algebra pMotl&Zahradník: Pěstujeme LA phttp://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group phttp://www.math.harvard.edu/people/SternbergShlomo.html Děkuji za pozornost pDiskuze! Untitled 14 Apendix 1. Class Invariance Conserved quantity Proper orthochronous Lorentz symmetry translation in time (homogeneity) energy translation in space (homogeneity) linear momentum rotation in space (isotropy) angular momentum Discrete symmetry P, coordinate inversion spatial parity C, charge conjugation charge parity T, time reversal time parity CPT product of parities Internal symmetry (independent of spacetime coordinates) U(1) gauge transformation electric charge U(1) gauge transformation lepton generation number U(1) gauge transformation hypercharge U(1)Y gauge transformation weak hypercharge U(2) [U(1)xSU(2)] electroweak force SU(2) gauge transformation isospin SU(2)L gauge transformation weak isospin PxSU(2) G-parity SU(3) "winding number" baryon number SU(3) gauge transformation quark color SU(3) (approximate) quark flavor S((U2)xU(3)) [ U(1)xSU(2)xSU(3)] Standard Model Malé oscilace a teorie grup trans