Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
1
Feynmanova formulace kvantové mechaniky
Michal Lenc
Poznámky k přednášce Vybrané kapitoly z kvantové mechaniky
jaro 2010
1. Schrödingerova rovnice .................................................................................................................... 2
2. Užitečné integrály ............................................................................................................................. 2
3. Feynmanův integrál po trajektoriích................................................................................................. 4
4. Propagátor pro kvadratický lagrangián............................................................................................. 6
5. Harmonický oscilátor........................................................................................................................ 9
6. Propagátor ve více dimenzích......................................................................................................... 10
7. Volná relativistická částice - parametrizace.................................................................................... 12
8. Regularizace pomocí Riemannovy  funkce................................................................................... 13
9. Funkcionální derivace..................................................................................................................... 15
10. Funkcionální derivace podruhé................................................................................................... 17
11. Vytvořující funkcionál ................................................................................................................ 21
12. Schwingerova formulace kvantové mechaniky .......................................................................... 22
13. Vytvořující funkcionál pro harmonický oscilátor....................................................................... 24
14. Stručný náznak počítaní pro volné skalární pole ........................................................................ 28
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
2
1. Schrödingerova rovnice
Odvodíme nerelativistickou Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
, , , ,
2
i x t x t V x t x t
t m x
  
 
= - +
 
!
! (1.1)
z výrazu pro amplitudu pravděpodobnosti přechodu z bodu x do bodu y za infinitesimálně malý časový
interval 
( )
( )
1 2 2
, , exp , .
2 2 2
m x ym i x y
K x t y t V t
i
 
  
  -  +  
+ = -     
       
! !
(1.2)
Musí tedy platit (po substituci y x = + )
( ) ( )
1 2 2
, exp , , .
2 2 2
m i m
x t V x t x t d
i
 
     
  

-
      
+ = - + +     
      


! !
(1.3)
Rozvoje do prvního řádu včetně podle mocnin  (přitom  je úměrné 1/2
) dají
21 2 2
22
2
1
,
2 2
im
m i
e V d
t i x x

   
      
 

-
    
+ = + + -        



!
! !
(1.4)
přičemž všechny funkce jsou počítány pro argument x, t. U 0
je identita, výraz u 1/2
je roven nule a
výraz u  je právě Schrödingerova rovnice.
2. Užitečné integrály
Integrály potřebné pro výpočet v (1.4) získáme z obecnějšího výrazu
( ) ( ){ }2 2
2 1exp , 0 , 0 .I i a x x b x x d x a b

-
 = - + - > >
 


(2.1)
Po doplnění výrazu v exponentu na čtverec a substituci dostáváme
( )
( ) { }2 2
2 11 2
0
2
exp , exp .
ab
I i x x F F i x d x
a ba b

 
= - = 
++  
 (2.2)
Cauchyova věta pro vhodnou křivku v komplexní rovině dává
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
3
{ } ( ){ } { }
{ }
4
2 2
0 0
0
2
exp exp cos2 sin 2 exp
exp exp 0 .
4
R
R
i x d x R R i i d
i x d x

   

+ - +
 
- = 
 
 

(2.3)
V limitě R je
{ } { }2 2
0 0
exp exp exp
4
i x d x i x d x
 
 
= - 
 
  (2.4)
Poissonův integrál se počítá například jako
{ } { } { }
{ }
1 2
2 2 2
0 0 0
1 2
1 2
2
0
exp exp exp
exp .
2 2
x d x x d x y d y
r r d r
 
  

 
- = - - = 
 
 
- = 
 
  

(2.5)
Fresnelův integrál je tedy
{ } ( ) ( )
1 2 1 22
0
1 1
exp exp
2 4 2
F i x d x i i

 

 
= = = 
 
 (2.6)
a počítaný integrál
( )
1 2
2
2 1exp .
i ab
I i x x
a b a b
   
= -  
+ +   
(2.7)
Při výpočtu integrálů v (1.4) potřebujeme ( )2b m = !
{ }
{ }
1 2 1 2
2
0
1 2 1 2
2 2
2 0
2
exp ,
1 1 2
exp .
2
i i
I ib d
b m
i i
I ib d I
i b ib b i m m
  
 
   
  

-

-
   
= = =   
   
    
= = = - = -   
    


!
! !
(2.8)
Zobecnění na vícerozměrný případ není obtížné. Uvažujme N-rozměrný vektor (sloupec)  a
symetrickou matici . Matici  lze diagonalizovat ortogonální transformací
( )1 2, det 1 , diag , , ,T
D D NO O O    =  =  = ... (2.9)
a vektor  transformovat na
, .T T T
O O   = = (2.10)
Máme pak (Jacobián transformace   je roven jedné)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
4
{ } { }
( ) ( )
1 1
1 2 2 2
1 2 1 2
1
exp exp
1 1
.
det det
N T T
N N D
N NN
k k D
I d d ib d d ib
i i i
b b b
       
  

 
 
- -
-
=
=  =  =
     
= =     
     
 
 
 
 

... ...
(2.11)
3. Feynmanův integrál po trajektoriích
Amplituda pravděpodobnosti přechodu z bodu xa do bodu xb je
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, , exp ,
, , , , .
b
a
b b a a
t
a a b b
t
i
K x t x t S x t d x t
x t x x t x S x t L x t x t t d t
 
=        
 
= = =  




!
#
(3.1)
Míra v nejjednodušším případě: rozdělíme časový interval na 1N + stejných dílů
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1
1
0 1
1 1 1
0
, , lim exp ,
2
, , , , ,
1
, , .
2 2
N
N
b b a a k
N
k
b a
k a a k k b b N
N
k k k k k k
k
m i
K x t x t S x t d x
i
t t
t k x t x x x t x x t x x
N
x x x x t t
S x t L
 
 


+

=
+
+ + +
=
   
=      
  
=
= = = = = =
+
- + + 
=    
 





! !
(3.2)
Při dělení je třeba opatrnosti (Wiener, Ito). Proměnná Brownova pohybu ( )tx a integrál
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
lim 1 , 0 1 .
b
a
t N
k k k k
N
kt
I f x t d x x x f x f x   + +
 
=
 =  - + -    (3.3)
"Normální" chování dostaneme jenom pro
2
1= . Klasické pohybové rovnice dostáváme z variačního
principu
[ ] [ ]
[ ] ( )
[ ]
0 ,
, ,
,
b
a
b b
a a
cl cl
t
t
t t
t t
S S x x S x
S x x L x x x x t d t
L L L L
L x x d t S x x x d t
x x x x
 
  
   
= + - =
+ = + + =
      
+ + = + +   
      
 
 
 
 # #
# #
# #
(3.4)
odkud pak
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
5
.
b
b
a
a
t
t
t
t
L d L L
S x xd t
x d t x x
  
    
= - -  
    


# #
(3.5)
Pro kvantově mechanické kvasiklasické přiblížení je
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 22
2 2
, , exp exp ,
2
0 ,
2 .
b
cl
a
b b a a cl
a b
t
x x
t
i i
K x t x t S x t S x t d x t
x t x t
L L L
S x t x x x x d t
x x x x
  
 
     
=
  
=              
   
= =
   
= + +         






! !
# #
# #
(3.6)
Druhou variaci můžeme upravit integrací per partes do tvaru
( ) ( )2
2 2 2 2
2 2
^, ,
^ ,
S x t x x
d L d L L d L
d t x d t x x x x d t x
   =   
    
 = - + + +       # # #
(3.7)
kde skalární součin je definován jako (máme takto Hilbertův prostor!)
( ) ( ) ( ), .
b
a
t
t
t t d t   =  (3.8)
Napišme teď v ortonormální bázi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^, , 0 .n n n n n n a n b
n
x t c u t u t u t u t u t =  = = = (3.9)
Potom je
( ) ( )2 2
,n n n
n n
S x t c d x t J d c  = =        (3.10)
a pro amplitudu přechodu máme
( ) ( ) 2
, , exp exp .
2
b b a a cl n n n
n n
i i
K x t x t S x t c J d c
  
=      
   



 ! !
(3.11)
Jakobián J má tu důležitou vlastnost, že se nemění při volbě báze. Integrál se snadno spočte a je tedy
( ) ( )
1 2
2
, , exp .b b a a cl
n n
i i
K x t x t J S x t


  
=      
   

!
!
(3.12)
Zavedeme si něco jako neporušenou úlohu (,,volná částice"), kde bude
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
^ ^, , 0 ,f f f f f f f
n n n n a n b
d L d
u t u t u t u t
d t x d t

 
 = -  = = =  #
(3.13)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
6
pak konečný výsledek je
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 2
, ,
, , exp exp .
b b a a
f
f f f n
b b a a cl cl
n n
K x t x t
i i
K x t x t S x t S x t


=
     -                
! !
(3.14)
4. Propagátor pro kvadratický lagrangián
Předpokládejme, že Lagrangeova funkce je nejvýše kvadratický polynom v rychlosti a
souřadnicích, tj. má tvar
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
, , .L x x t A t x B t x x C t x D t x F t x E t= + + + + +# # # # (4.1)
Protože můžeme položit
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 21 1
, ,
2 2
,
t
d d
B t x x B t x B t x D t x D t x D t x
dt dt
d
E t E d
dt
 
 
= - = -    
= 
# ## #
(4.2)
stačí uvažovat lagrangiány tvaru
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1
, , .
2 2
L x x t a t x c t x f t x= - +# # (4.3)
Podle (3.6) máme
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
, , exp exp ,
2
1 1
,
2 2
b
a
b
cl cl
a
b b a a cl
t
cl cl cl cl
t
t
x x x x
t
i i
K x t x t S x t S y t d y t
S x t a t x t c t x t f t x t dt
L L
S y t y y d t a t y c t y d t
x x


= =
  
=              
   
 
= - +           
 
  
 = + = -         










! !
#
# #
#
( ) ( )
,
0 .
b
a
t
t
a by t y t= =

(4.4)
Klasická trajektorie je řešením Lagrangeovy rovnice
( )
( )
( ) ( ) ( )0 .cl
cl
d x td L L d
a t c t x t f t
dt x x dt dt
   
- =  + =      #
(4.5)
S pomocí (4.5) můžeme zjednodušit vyjádření pro klasický účinek
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
7
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
.
2
b b
aa
t t t
cl
cl cl cl
tt t
d x t
S x t a t x t f t x t dt
dt
=
=
 
 = +  
  
 (4.6)
Vzhledem k podmínce ( ) ( ) 0a by t y t= = máme
( ) ( ) ( ) ( )2 2
exp , .
2
b
a
t
b a
t
i
a t y c t y d t d y t G t t
  
 - =     
  



 #
!
(4.7)
Pro výpočet (4.7) existuje několik metod. Pro jednoduchost budeme v dalším předpokládat ( )a t m= .
Zapišme nejprve funkci ( ),b aG t t pomocí diskretizace, t.j. rozdělením intervalu b at t- na 1N +
ekvidistatních částí, přitom ( ) ( )1j a b at t j t t N= + - + . Je tedy
( )
( )
( )
1 2
2 2
1 1
0
, lim exp ,
2 2 2
N
N
b a N j j j j
N
j
m i m
G t t d y d y y y c y
i

  
+
+

=
     
= - -    
     



...
! !
(4.8)
kde ( )j jc c t= . Zavedeme si značení pro vektor 
( )
1
1
. , . .
.
T
N
N
y
y y
y
 
 
 
= = 
 
 
(4.9)
a matici 
1
2
2
3
1
2 1
1 2 1
1 2
.
2 1
1 2
00
0 0 N
N
c
c
c
m c
c

-
  
  - -
  -
   = -
  -
  -
   
   
$$
$ $
$ $
(4.10)
Potom můžeme (4.8) zapsat jako
( )
( )1 2
, lim exp .
2 2
N
N T
b a
N
m m
G t t d i
i
  
  
+

   
=   
   


! !
(4.11)
Podle (2.11) je
( )
( )
1 2
1 2
1
, lim .
2 det
b a
N
m
G t t
i 
 
=  
 !
(4.12)
Vezme-li z matice  jen prvních j řádků a sloupců, označíme příslušný determinant jako jD .
Definujeme si 0 1D = a můžeme tak psát
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
8
2 2 2 2
0 1 1 2 1 2 2 1 0
2 2 2 2 2
3 3 2 1 1 3 2 1
1 , 2 , 2 2 1 2 ,
2 2 2 1 2 2 , .
D D c D c c c D D
m m m m
D c c c c c D D
m m m m m
   
    
    
= = - = - - - = - -    
    
         
= - - - - - - = - -         
         
%%
(4.13)
Obecně pak
2
1 1 12 .j j j jD c D D
m

+ + -
 
= - - 
 
(4.14)
Označíme ještě j jg D= , takže můžeme (4.14) a počáteční podmínky zapsat jako
1 1 1
2
2
1 0
0 1 0 1
2
,
0 , 1 .
j j j j
j
g g g c
g
m
g g
g D D c
m



+ - +- +
= -
=
= - = -
(4.15)
V limitě N  , t.j. 0  přejde (4.15) na
( ) ( )
( ) ( )
( )2
2
, ,
, 0 , , 0 , 1
a
a
a a
a a t t
t t
d g t t c t d g t t
g t t g t t
dt m dt=
=
+ = = = (4.16)
nebo obecněji
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ), ,
, 0 , , 0 , 1
a
a
a a
a a t t
t t
d g t t d g t td
a t c t g t t g t t
dt dt dt=
=
 
+ = = = 
 
(4.17)
a tedy
( )
( )
1 2
, .
2 ,
b a
b a
m
G t t
i g t t
 
=   
 !
(4.18)
Jiný způsob výpočtu je založen na rozkladu
( ) ( )
1
,n n
n
y t c u t

=
=  (4.19)
kde z definice (3.7) máme
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 .n
n n n n a n b
du td
a t c t u t u t u t u t
dt dt

   
- + = = =  
   
(4.20)
Potom je podle (3.11) a (3.12)
( )
1 2
2 2
, exp .
2
b a n n n
n n n n
i i
G t t c J d c J



  
= =   
   



  
!
!
(4.21)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
9
5. Harmonický oscilátor
V tomto případě máme
( ) ( ) ( )2
, , 0 .a t m c t m f t= = = (5.1)
Řešení klasické rovnice (4.5) je (s označením b at t T- = )
( ) ( ) ( )
1
sin sin
sin
cl a b b ax t x t t x t t
T
 

= - + -   (5.2)
a účinek (4.6) je
[ ] ( ){ }2 2
cos 2 .
sin
cl b a a b
m
S x x x T x x
T



= + - (5.3)
Řešení rovmice (4.16) je
( )
( )sin
, ,a
a
t t
g t t


=
(5.4)
takže výraz (4.18)
( )
1 2
, .
2 sin
b a
m
G t t
i T

 
 
=  
 !
(5.5)
Propagátor pro harmonický oscilátor jr tedy
( ) ( ){ }
1 2
2 2
, , exp cos 2 .
2 sin 2 sin
b b a a b a a b
m i m
K x t x t x x T x x
i T T
 

  
   
= + -  
   ! !
(5.6)
Limitním přechodem 0  získáme z (5.6) propagátor volné částice
( ) ( )
1 2 2
, , exp .
2 2
b a
b b a a
i m x xm
K x t x t
i T T
 -   
=   
    ! !
(5.7)
Ze základního kursu kvantové mechaniky víme, že pro soustavu s diskretním spektrem energií můžeme
zapsat propagátor jako (vlastní vektory hamiltoniánu ^
nH n E n= jsou ortogonální a normované, tj.
nkn k = )
( )
0 0
0 0 0
^ ^, ,0 exp exp
exp exp ,
n k
k n
n k n
i i
K x t y x H t y x n n H t k k y
i i
E t x n n k k y E t x n n y
 
= =
  
= = =
   
= - = - =   
   
   
- = -   
   

 
! !
! !
(5.8)
takže pro statistickou sumu (imaginární čas t i=- ) máme
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
10
( )
2
0 0
, ,0 exp exp .n n
n n
E E
Z K x i x x n d x  
  
= =- -
   
= - = - = -   
   
  ! !
(5.9)
Podívejme se na vyjádření propagátoru (5.6)
( )
( )
1 2
2cosh 1
, ,0 exp .
2 sinh sinh
mm
Z K x i x d x x d x
 

  


-
-
 
= - = -  
   



 ! !
(5.10)
Integrál vypočteme podle (2.5) a s pomocí identity ( )
2
cosh 1 2 sinh 2 - =    máme
{ } 0
exp
1 12
exp
1 exp 22sinh
2
1
.
2
n
n
Z n
E n


 


=
 
- 
   = = = - +   
- -   
 
= + 
 

!
(5.11)
6. Propagátor ve více dimenzích
Variace účinku je
[ ] .
b
b
a
a
t
t
i i
i i i
t
t
L d L L
S x x x d t
x d t x x
  
    
= - -  
    


# #
(6.1)
Používáme sumační konvenci. V okolí klasické trajektorie píšeme
[ ] [ ] [ ]21
,
2
clS x S x S x = + +% (6.2)
kde ( ) ( ) 0a bx t x t = = a
[ ]2
2 2 2
2 .
b
cl
a
t
i j i j i j
i j i j i j
x x
t
S x
L L L
x x x x x x d t
x x x x x x
 
     
=
=
   
+ +       



# # #
# # #
(6.3)
"Rozumné variace" dovolují definovat Hilbertův prostor se skalárním součinem
( ) ( ) ( ), .
b
a
t
i
i
t
t t d t     (6.4)
Druhou variaci pak píšeme jako
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
11
[ ] ( )2 ^, ,S x x x   =  (6.5)
kde
2 2 2 2
.
cl
i j i j i j i j i j
x x
d L d L L d L
d t x x d t x x x x d t x x =
    
 = - + + +         # # # #
(6.6)
V ortonormální bázi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
, , 0 .i i j i i i
n n i j n n n n a n b
n
x c u t u t u t u t u t 

=
=  = = = (6.7)
Feynmanův integrál se pak snadno spočte ( ( )
1
n
n
d x t J d c

=
=    ) jako
( ) ( )
1 2
1
2
, , exp ,b b a a cl
n n
i i
K x t x t J S x t



=
  
=      
   

!
!
(6.8)
a po zavedení ,,volné částice", charakterizované
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
,
, 0
f
i j i j
f f j f f i f i f i
i j n n n n a n b
d L d
d t x x d t
u t u t u t u t
 
 = -  
  
 = = =
# # (6.9)
dostáváme konečný výsledek
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 2
1
, ,
, , exp exp .
b b a a
f
f f n
b b a a cl cl
n n
K x t x t
i i
K x t x t S x t S x t



=
=
     -                
! !
(6.10)
Označme ( ) 1
^det n
n


=
 =  a zaveďme funkce (z je komplexní proměnná)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
, 0 , , 0 , .
j
akj j j
i j i j a kk k
d u z t
z u z t u z t
d t
  - = = =
Potom platí (Coleman, Levit a Smilansky)
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
det ,^^ 1
det .
^^ 1 det ,
f j
f
bk
j
bk
u z tz
z u z t
  =
  - 
(6.11)
Pro 0z = je řešením ( ) ( )0,j
k
u t Jacobiho pole. S tím pak souvisí množství dalších možných vyjádření.
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
12
7. Volná relativistická částice - parametrizace
Značení intervalu (t i=- ) je ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 2 1 22 2 2 22 2
d s c d t d x i c d d x= - = - +
& &
. Účinek pro
volnou částici píšeme jako
( )
( )
2 2 2
2
.
2 2
b
a
m d x d mc
S i c d
d d



  
   
     
  = + +          




&
(7.1)
Výraz (7.1) je invariantní vzhledem k transformaci ( ) /
,f f     . Variace vzhledem k ( ) dá
( ) ( ) ( )
1 22 2
1 22 22 21
, .
b
a
d x d
c S i mc d x c d
c d d

  
 
      = + = +           


&
&
(7.2)
Zvolíme-li ve (7.1) ( ) 1 c  = , dostáváme po obvyklém rozdělení na intervaly a integraci propagátor
ve tvaru (dimenze 3+1=4)
( ) ( ) ( )
2 2 22
, , exp ,
2 2 2
b a b a
L b b a a
x x cmc mc mc
K x x L
L L
 
 

 - + -   
= - -  
    
& &
& &
! ! !
(7.3)
kde b aL  = - . Typická situace: integruje se přes nerozlišitelné veličiny, tedy
( ) ( )
0
, , , , ,
2
b b a a L b b a aK x x K x x d L
mc
   

= 
!& & & &
(7.4)
odkud
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 22 22
11 22 2 22
, ,
1
.
4
b b a a
b a b a
b a b a
K x x
mc x x cmc
K
x x c
 
 
  
=
  - + -  
 
   - + -
   
& &
& &
& & !!
(7.5)
Vzhledem k asymptotickému vyjádření
( ) { }
1 2
1 exp
2
K z z
z
 
 - 
 
(7.6)
je pro výrazně časupodobné intervaly (nerelativistická teorie)
( )
( )
( )
( )
3 2 22
, ,
exp exp .
2 2
b b a a
b a
b a
b a b a
K x t x t
x xmc m m
i t t i
mc i t t t t
=
   -   
- -      - -      
& &
& &
!
! ! !
(7.7)
Interakce mimo světelný kužel ­ nikoliv, důležité jsou komutátory resp. antikomutátory.
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
13
8. Regularizace pomocí Riemannovy  funkce
Riemannova  funkce je definována jako součet nekonečné řady
( )
1
1
, Re 1 .s
n
s s
n


=
= > (8.1)
Ve fyzice se s ní setkáváme při výpočtu veličin souvisejících se statistikou. Pro Boseho ­ Einsteinovu
statistiku
( )
( ) ( )
1
0
.
exp 1
s
x
d x s s
x


=

-



(8.2)
Důkaz spočívá ve vyjádření integrandu pomocí nekonečné řady a záměně integrační proměnné
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
0 1 0
00
1
exp exp exp .
exp 1
s
s s
s
m n
x
d x x x m x d x t t dt
x n
 
-  
- =
=
= - - = -
-
 


   (8.3)
Podobně pro Fermiho ­ Diracovu statistiku
( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
1 2 .
exp 1
s
sx
d x s s
x


-
=
- 
+



(8.4)
Při důkazu rozšíříme integrand v (8.4) výrazem ( )exp 1x - a postupujeme jako v předchozím případě.
Při rozšíření definice  funkce na celou komplexní rovinu proměnné s postupujeme takto:
vezmeme integrál podél křivky v komplexní rovině, znázorněné na obrázku
( ) ( )
( )
1
exp
.
1 exp
s
C
z z
I d z
z
-
-
=
- -



' (8.5)
Důležité je, že oblast
uzavřená křivkou C
neobsahuje body
2n i , 1,2,n= ...
Pokud je Re 1s > , můžeme
křivku deformovat tak, že
integrujeme podél
kladné části reálné osy s
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
14
hodnotou ( )arg z - =- , potom po kružnici velmi malého poloměru kolem počátku a opět podél kladné
části reálné osy s hodnotou ( )arg z - = , dostáváme tak
( ) ( ){ } ( )
( )
1
0
exp
exp 1 exp 1 .
1 exp
s
x x
I i s i s d x
x
 

-
=
- - - -       - -



(8.6)
Porovnání (8.6) s (8.2) a využití vztahu
( ) ( )
( )
1
sin
s s
s


  - = (8.7)
můžeme tedy psát
( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1 exp
.
2 1 exp
s
C
s z z
s d z
i z


-
 - - =
-
- -



' (8.8)
Tato funkce je analytickým prodloužením funkce (8.1) do celé komplexní roviny proměnné s.
Riemannovu funkci vyjádřil Hermite jako
( ) ( ) ( )
( )
22
0
1 1
2 1 sin arctan .
2 1 exp 2 1
s dt
s t s t
s t



=
+ + +
- -



(8.9)
Pro 0s = máme
( ) ( ) ( )/1 1
0 , 0 ln 2 .
2 2
  = - = - (8.10)
Poněkud obecnější je Hurwitzova  funkce
( )
( )0
1
, .s
n
s a
n a


=
=
+
 (8.11)
Je zřejmé, že
( ) ( ),1 .s s = (8.12)
Pro Hurwitzovu funkci má Hermiteova representace tvar
( ) ( ) ( )
1
22 2
0
, 2 sin arctan .
2 1 exp 2 1
s s
sa a t dt
s a a t s
s a t



- -
 
= + + +  
- - 



(8.13)
Zobecněná Riemannova funkce pro operátor ^A s vlastními hodnotami n je definována jako
( )
1^Tr .s
s
n n
s A

=
=  (8.14)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
15
Potom je
( )^det exp ln exp ln .n n n
nn n
A   
 
= = =  
 
  (8.15)
S uvážením
( )
00
1
exp ln lnn ns
n ss
d d
s
d s ds
 
 ==
= - = - (8.16)
můžeme ve (8.15) psát
( )( )/^det exp 0 .A = - (8.17)
Máme-li výraz typu ( )^det A , píšeme
( ) ( )^lndet ln ln
ln ln ln 1 ln
n n
n n n
n n
nn n n
A    
   
 
= = = 
 
+ = +
  
  
(8.18)
a s regularizací pomocí zobecněné  funkce
( ) ( )/^ln det 0 ln 0 .A   = - (8.19)
9. Funkcionální derivace
Zobecnění pojmu derivace u funkce je u funkcionálu výraz
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
lim .
h
S x h x y S xS
y h
   
  
+ - -      = (9.1)
,,Obrazně" pro funkci N proměnných máme
( )1 1
1
, ,
N
N N k
k k
F
F x x
x
  
=

+ + =

... (9.2)
a pro funkcionál
[ ]
[ ]
( )
( ) .
F x
F x t d t
x t

 

+ =



(9.3)
Definujme
[ ] [ ] [ ] [ ]exp .
i
F x F x S x d x
h
 
=  
 



(9.4)
Potom rozepsáním identity (odečtení stejných veličin)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
16
[ ] [ ]
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
( ) [ ] [ ]
0
exp .
F x F x
F x S xi i
F x t S x d t d x
x t x t

 

 
= + - =
   
+   
  


 ! !
(9.5)
Protože variace ( )t je libovolná, máme
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
F x S xi
F x
x t h x t
 
 
= - (9.6)
nebo v diskrétním tvaru
.
n n
F i S
F
x h x
 
= -
 
(9.7)
Vezměme ještě jako poslední příklad účinek v klasické mechanice
[ ] ( ) ( )( ), , .
b
a
t
t
S x L x t x t t dt=  # (9.8)
Nezapomeňme, že v koncových bodech integračního intervalu je funkce pevně daná. Je pak obvyklým
postupem
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
, , , ,
, , , ,
.
b b
a a
b b
a a
t t
t t
t t
t t
S x S x L x t t x t t t dt L x t x t t dt
L L L d L
t t dt t dt
x x x dt x
L x t x t t L x t x t tS x d
x t x dt x
  
  


+ - = + + - =
        
+ + = - +     
        
  
= -  
   
 
 
## #
# % %
# #
# #
#
(9.9)
Napišme si účinek v diskretizovaném tvaru jako
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
1
1 1
1 1
0
.
2 2 2
N
k k k k
k k k k
k
S
x x x xm e e
A x A x x x
 
+
+
+ +
=
=
 - -   
 +  + -  +   
     

& & & &
& && & & & (9.10)
Potom je
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
2
1 11 1
21
2
2 2
n n n n n n
n
n n n
n nn n
n
n
x x x x x xS
m e A x e
x x x
A x A xx x
e A x e
x
  
 
+ - + +
-+ -
+ -   
= - + × × - 
   
-- 
+  - 
 
& & & & & && &
& & &
& && && &
& &
&
(9.11)
a tedy s označením
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
17
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
,
2 2
n n n nn
n n
n n
n n
n
A x A x x xx
E x A x
x x
B x A x
x
 
+ - + -
 - -  
 = - - -      

= ×

& && & & && && & &
& &
&& & &
&
(9.12)
dostáváme
( )
( ) ( ) ( )1 1 1 1
2
2
.
2
n n n n ni
i n n
n
x x x x xF x i
F x m e B x e E x
x

 
+ - + -- + -  
=  - × - 
  
& & & & && & && & &
&
!
(9.13)
Pro 1F = dostáváme Ehrenfestův teorém
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
2
2
2
.
n n n n n
n n
x x x x x
m e B x E x
dv
m e v B x E x
dt
 
+ - + -- + =
× +
 = × +
& & & & &
& && &
& & && & &
(9.14)
Pro nF x=
&
máme komutační relace pro souřadnici a kanonicky sdružený impuls (časové uspořádání,
napravo dřívější)
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
2 2
.
n n n n
n n n n n n
x x x xe e
m x B x x x x B x
i
mv e A x x mv e A
i
 
+ +
-
- -   
= - × - - ×   
   
 = + - +
& & & &
& &! & & & & & &
& &! & & & &
(9.15)
10. Funkcionální derivace podruhé
Hilbertův prostor funkcí kvadraticky integrovatelných na otevřené podmnožině m
  (
označíme ( )2
L . Prvky ( )2
L budeme označovat malými písmeny, funkce na ( )2
L velkými
písmeny, tj.
( )2
: ,
: .
m
f R
F R
  
 
(
L
(10.1)
Skalární součin má obvyklé vyjádření
( ) ( ) m
f u f x u x d x

 
& & &
(10.2)
a výpočet funkce nad prvkem značíme hranatými závorkami [ ]F f .
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
18
Definujeme funkcionální derivaci jako
[ ] [ ]
( )
( ) [ ]
0
.m
t
F f F f d
u u x d x F f t u
f f x dt
 
  =

  +



& &
& (10.3)
Velmi speciální volbou je
[ ] ( ) .yE f f y=&
&
(10.4)
Potom máme ze (10.3)
[ ]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )
( )
0
.
y m
t
y
E f d
u x d x f y t u y u y
f x dt
E f
x y
f x





=

 + = 
= -



&
&
& & & & &
&
& &
&
(10.5)
Se stejnou konvencí, jakou píšeme
i
i i i
j jj j
x
d x
x x
 
  
=  = 
  
(10.6)
budeme psát
[ ]
( )
( )
( )
( )
( ) .yE f f y
x y x y
f x f x
 
 
 
= -  = -
&
&
& & & &
& & (10.7)
Zobrazení funkce na její parciální derivaci
[ ]
( )
( ),y i ii
f y
E f f y
y

= = 

&
&
&
(10.8)
vede k
[ ]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )
( )
,
0
,
.
y i m
i i i
t
y i
i
E f d
u x d x f y t u y u y
f x dt
E f
x y
f x





=

  +  =  
= - -



&
&
& & & & &
&
& &
&
(10.9)
Povšimněme si, že ve vztahu (10.9) mlčky předpokládáme 0u 
= , obecnější chování funkce u na
hranici by vedlo k mnohem komplikovanějším výrazům. Dále je důležité při zkráceném značení vždy
vědět, podle které proměnné derivujeme, ve (10.9) je v prvním řádku i
i y =  , ve druhém řádku
i
i x =  . Ověříme si na jednorozměrném příkladě
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
19
[ ] ( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
( ){ } ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
,
1 .
n
n tn
t
n n n
n n
n
n
E x
E x x t u d
x
d
x t u t u t
d
x t d t
x d


 
 


  
  
=
= =
+ = 
=
-



(10.10)
Standardní variační úloha vychází z Lagrangeovy funkce
[ ] ( ) ( )( ), , .iL f L x f x f x= 
& & &
(10.11)
Variaci budeme psát jako
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) .
i
i
i
i
i
i
L f f x f xL x L L
f y x f y f x f y f x f y
x yL L
x y
f x f x x
  
   


  
= + + =
  
 - 
- +
  
& &
& & & & & &
& &
& &
& &
(10.12)
Dosazením do (10.3) dostáváme
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) .
m
i
i
m
i i
i i
F f L L
u x y x y u x d x
f f x f x
L L L L
D x y u x d x D u y
f x f x f y f y

 




   
 - +  - = 
   
         
- - = -   
         






& & & & & &
& &
& & & & &
& & & &
(10.13)
V úplné analogii s rozvojem funkce více proměnných máme i pro funkcionály "Taylorův rozvoj".
Píšeme (pro 1m= )
[ ] [ ]
[ ]
( )
( ) ( ){ }
[ ]
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
0
0
0 1 0 1 1
1
2
1 0 1 2 0 2 1 2
1 2
1
2!
f f
f f
S f
S f S f f y f y d y
f y
S f
f y f y f y f y d y d y
f y f y



 
=

=

= + - +
- - +






%
(10.14)
Jako příklad vezměme účinek volné částice
1 22
2
.
b
a
t
t
d x
S mc c dt
dt
   
= - -  
   




(10.15)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
20
Podle (10.14)
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ){ }
( )
( ){ }
1
1 1/
1 1 1
/ 3 //
1 2 3 22 / 2 2 / 2
.
b
a
t
t
S x d t tL L
t t dt
x t x t x t dt
mc x t mc x td
dt c x t c x t
 


 -  
= - + = 
   
- = -
-



(10.16)
Pro klasickou trajektorii
[ ]
( )
( ) ( )//
00 0 .cl cl
S x
x t x t vt x
x t


=  =  = + (10.17)
Dále pak
[ ]
( ) ( ) ( ){ }
( )
( )
( )
( ) ( ){ }
( ){ }
( )
( )
( ) ( ){ }
2 //3
3 //
3 2 3 22 /2 2 / 2
23
3 //
3 2 3 222 / 2 2 /2
1
1
.
S x x tmc
mc x t
x t x t x t x tc x t c x t
d t tmc
mc x t
d t x tc x t c x t
  
   
 

= - - =
- -
-
-
- -
(10.18)
Pro klasickou trajektorii
[ ]
( ) ( ) ( )
( )2 23
3 2 22 2
clx
S x d t tmc
x t x t dtc v
 
 
=
-
-
(10.19)
Přírůstek účinku je
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
23
3 2 22 2
3
2/
3 22 2
1
2
2
.
2
b b
a a cl
b b
a a
b
a
t t
cl cl
t t x
t t
cl cl
t t
t
t
S x
x t x t x t x t dt dt
x t x t
d t tmc
x t x t x t x t d t dt
dtc v
mc
x t v dt
c v

 

- - =      
-
- - =      
-
 - 
-



(10.20)
Klasický účinek je
[ ] ( ) ( )
1 22 2
.cl b aS x mc c v t t= - - - (10.21)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
21
11. Vytvořující funkcionál
Spočteme amplitudu pravděpodobnosti přechodu pro případ, kdy na soustavu, popsanou původně
Lagrangeovou funkcí působí ještě nějaká vnější síla (v kvantové terminologii proud)
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
, , exp ,
, .
b b
a a
J J
b b a a
t t
J
J
t t
i
K q t q t S d q t
S S S L q t q t dt J t q t dt
 
=     
 
= + = +



 
!
#
(11.1)
Připomeňme, že pro ( ) 0J t =
( ) ( )
( ){ }
0
^, , , , exp
exp .
b b a a b b a a b b a a
b n b a a
n
i
q t q t K q t q t q H t t q
q n i E t t n q

=
 
= = - - = 
 
- -
!
(11.2)
Pokud bude ( ) 0J t  pouze v intervalu a bt t t  , můžeme pro i at t< a f bt t> psát
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ), , , , , , , , .J J
f f i i b a f f b b b b a a a a i iK q t q t dq dq K q t q t K q t q t K q t q t=  (11.3)
Vhodný limitní přechod
( ) ( )1 , 1 , 0i ft i t i   - -   -  > (11.4)
vybere základní stavy ­ ostatní členy rychle oscilují, takže
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
1
* *
0 0 0 0
lim , , , , exp
, , , .
i
f
f f b b a a i i f i
t i
t i
b b a a i f
E
K q t q t K q t q t i t t
N q t q t N q q


   
- - 
 - 
 
- = 
 
=
! (11.5)
Vytvořující funkcionál definujeme jako
[ ] ( )
( )
( )
( )1
1
1
lim , ,
i
f
J
f f i i
t i
t i
W J K q t q t
N

- - 
 - 
= (11.6)
a jeho explicitní vyjádření je tedy
[ ] ( ) ( )
( ) ( )*
0 0, , , , .J
b a b b b b a a a aW J dq dq q t K q t q t q t =  (11.7)
Přepsáním dostáváme jiný častý výraz pro vytvořující funkcionál
[ ] ( ) ( )
0 , , , , 0 0 0 .
J J
b a b b b b a a a aW J dq dq q t q t q t q t= = (11.8)
V dalším uvidíme, že pro funkcionální derivaci [ ]W J platí
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
22
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ){ }1
1 0
^ ^ ^0 0 .
n n
n
n J
W J
T q t q t
i J t J t

 
=
 
= 
 
!
...
...
(11.9)
Operátor chronologického uspořádání ^T působí na operátory jako
( ) ( ){ }
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
^ ^
^ ^^ .
^ ^
O t O t t t
T O t O t
O t O t t t
 
= 

(11.10)
Pro důkaz (11.9) postupujeme takto: Platí
( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp , exp , , ,b b a b b a b b b a a
i i
q t S t t d q t q S t t d q t q q t q t
   
= =         
   
 
 
 ! !
(11.11)
a faktorizací pak (předpokládáme 1a bt t t< < )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
exp ,
exp , exp ,
^, , , , , , , , .
b a
b a
b b a a b b a a
i
q t S t t d q t
i i
dq S t t d q t q t S t t d q t
dq q t q t q q t q t dq q t q t q t q t q t
 
=    
 
    
=          
    
=



  
 
 
 
!
! !
(11.12)
Vynecháním rozkladu jednotkového operátoru v posledním výrazu dostáváme konečně
( ) ( ) ( ) ( )1 1
^exp , , , .b a b b a a
i
q t S t t d q t q t q t q t
 
=    
 


 !
(11.13)
Pro více operátorů postupujeme obdobně, pouze faktorizace má více činitelů a je zřejmé, že pořadí
operátorů je zleva doprava od nejpozdějšího k nejčasnějšímu okamžiku. Důkaz vztahu (11.9) je
dokončen, uvědomíme-li si, že výraz ( ) ( )1 nq t q t... v integrandu dráhového integrálu vznikne právě
uvedenou funkcionální derivací. Greenova funkce je speciálním případem (11.9)
( )
( ) ( ){ }
[ ]
[ ]
( ) ( )
22
1 2
1 2
1 2 0
^ ^ ^0 0
, .
0 0 0 J
T q t q t W J
G t t
W J t J t

  =
= = -
!
(11.14)
12. Schwingerova formulace kvantové mechaniky
Vycházíme ze vztahu (9.6), který si zapíšeme jako
( )
[ ] [ ] ( )exp 0 .
i
F q S q d q
q


 
  
=     
  


 !
(12.1)
Operátor časového uspořádání rozšíříme na
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
23
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }*
1 2 1 2
2
^ ^ ^^ ^ ^ .
d
T q t q t T q t q t
dt
 =  
# (12.2)
Tento operátor vzniká přirozeně při zápisu (předpokládáme 1 2,a bt t t t< < )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
1 2
2 2
1
0
1 2 1 2
0
1 2
2
exp ,
lim exp ,
1 ^ ^^ ^ ^ ^lim , ,
^ ^ ^, , .
b a
b a
b b a a
b b a a
i
q t q t S t t d q t
q t q t i
q t S t t d q t
q t T q t q t T q t q t q t
d
q t T q t q t q t
dt








 
=    
 
+ -  
=    
 
+ - =






#
!
!
(12.3)
Rozepsáním (12.1) dostáváme Schwingerovu základní rovnici
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
* *
^ ^^ ^^, , , , .
^ ^b b a a b b a a
S q F qi
q t T F q q t q t T q t
q q
 
   
      
= -   
      !
(12.4)
Pro [ ]^ 1F q = získáme obecné vyjádření Ehrenfestova teorému, pro [ ] ( )1
^ ^F q q t= komutační relace.
Máme
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
*
1
* 1
1
2 2
^^, , 0 ,
^
^ ^^ ^, , , ,
^ ^
b b a a
b b a a b b a a
S q
q t T q t
q t
S q q t
q t T q t q t i q t q t
q t q t


 
 
  
= 
  
  
= 
  
!
(12.5)
a protože (12.5) platí pro libovolné stavy, musí být
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
( )*
1 1 2
1 2
^ ^^ ^0 , .
^ ^
S q S q
T q t i t t
q t q t
 

 
  
= = - 
  
! (12.6)
Pro účinek
( )2
2
b
a
t
t
m
S q U q dt
 
= -  



# (12.7)
dostáváme
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
24
[ ]
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )( )
( )
1
1
1
2
11
2
1 1 1
^^ ^
^ ^
^^ ^
0 .
^ ^
b
a
t
t
U q tS q d t t
mq t t t dt
q t dt q t
U q tS q d q t
m
q t dt q t
 




 =
- -  
  
 
= - + = 
  



#
(12.8)
a
( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
22*
1 1 22
2 2
^^^ ^ .
^
U q td q t
T q t m i t t
dt q t

   
+ = - -  
    
! (12.9)
Nyní uvidíme rozdíl mezi operátory ^T a *^T . Máme
( )
( )
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2*
1 1 22 2
2 2
2
1 2 1 2 2 1 2 12
2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2
2
2
1 2 1 2 12
2 2
^
^ ^^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^
^ ^ ^ ^ , .
d q t d
T q t T q t q t
dt dt
d
t t q t q t t t q t q t
dt
d d d
t t q t q t t t q t q t
dt dt dt
dq td
T q t q t t t q t
dt dt
 
 

  
= = 
  
- + - =  
 
- + - = 
 
  
- -   
   
(12.10)
Dosazením z (12.10) a (12.8) do (12.9) dostáváme kanonické komutační relace
( ) ( ) ( ) ( )^^ ^ ^, , .q t mq t q t p t i  = =   
# ! (12.11)
13. Vytvořující funkcionál pro harmonický oscilátor
Připomeňme, že pro ( ) 0J t =
( )
( ) ( )
2 2 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1
0
, ,
1^exp exp .
2n
K q t q t
i
q H t t q q n i n t t n q

=
=
    
- - = - + -    
    
!
(13.1)
Explicitní vyjádření vytvořujícího funkcionálu je
[ ] ( ) ( )
( ) ( )*
1 2 0 2 2 2 2 1 1 0 1 1, , , , .J
W J dq dq q t K q t q t q t =  (13.2)
Jednotlivé členy v tomto výrazu jsou (označíme 2 1T t t= - )
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
25
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2 2 1 1 2 2 1 1, , exp , , .
2 sin
J Jm i
K q t q t S q t q t
i T

 
   
=   
  ! !
(13.3)
Účinek je
( )
( )
2
1
2
2 2
2 2 1 1, , ,
2 2
t
J
t
m m
S q t q t q q J q dt
 
= - + 
 



# (13.4)
okrajové podmínky jsou ( ) ( )1 1 2 2,q t q q t q= = . Vlnové funkce základního stavu harmonického
oscilátoru jsou
( )
( )
1 4
2
0 1 1 1 1
1 4
* 2
0 2 2 2 2
, exp exp ,
2 2
, exp exp .
2 2
m m
q t q i t
m m
q t q i t
  


  


     
= - -    
    
     
= -    
    
! !
! !
(13.5)
Při vyjádření integrandu v (13.2) se budeme snažit oddělit v exponentu
( )
2
1
2
2 2 2 2
1 2
2 2 2
t
t
m i m m
f q q q q J q dt
  
= - + + - + 
 



#
! !
(13.6)
člen, obsahující proud. Rozložíme proto ( )q t na ( ) ( ) ( )0 Jq t x t x t= + a budeme se snažit anulovat
příspěvek smíšených členů. Máme
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2
0 1 0 2 0 0
2
2 2 2 2
1 2
2
0 1 1 0 2 2 0 0 0
2 2 2
2 2 2
.
t
t
t
J J J J J
t
t
J J J J
t
m i m m
f x t x t x x dt
m i m m
x t x t x x J x dt
m i
x t x t x t x t m x x m x x J x dt
 
 


 
 = - + + - -  
 
 
 + + - + -  
 
 + + - +    







#
! !
#
! !
# #
! !
(13.7)
Integrujeme první člen integrandu v integrálech per partes a předpokládáme splnění rovnic
2 2
2 20
02 2
0 , .J
J
d x d x J
x x
dt dt m
 + = + = (13.8)
Dostáváme tak
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
26
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2
0 1 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1
2 2
1 2 2 2 1 1
0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 1 1
2 2
2 2 2
.
t
J J J J J J J
t
J J J J
m i m
f x t x t x t x t x t x t
m i m i
x t x t x t x t x t x t J x dt
m i m
x t x t x t x t x t x t x t x t



 = - + + - -   
 + + - + -   
+ + -      

# #
! !
# #
! ! !
# #
! !
(13.9)
Se smíšenými okrajovými podmínkami pro ( )Jx t
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2,J J J Jx t i x t x t i x t = = -# # (13.10)
dostaneme požadovaný výsledek
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2
0 1 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 .
2 2 2
t
J
t
m i m i
f x t x t x t x t x t x t J x dt

 = - + + - +    # #
! ! !
(13.11)
Vytvořující funkcionál tak můžeme psát jako
[ ] [ ] ( ) ( )
2
1
0 exp .
2
t
J
t
i
W J W J t x t dt
  
=  
  
!
(13.12)
Označili jsme
[ ]
( )
( ){ }
1 2
1 2 1 2
1
0 exp exp , ,
2 sin 2
m
W i T dq dq F q q
i T
 
 
   
=   
  
!
(13.13)
kde
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2, .
2
m i i
F q q x t x t x t x t x t x t

 
    
= - + + -        
# #
!
(13.14)
Ukážeme, že pro harmonický oscilátor [ ]0 1W = . Řešení druhé rovnice v (13.8) s okrajovými
podmínkami (13.10) najdeme pomocí Greenovy funkce
( ) { }exp ,
2
i
G t i t

= - (13.15)
pro kterou platí
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
0 0
0 , 0 .
d G t
G t t
dt
dG t dG t
i G t i G t
dt dt
 
 
+ =
< >
= < = - >
(13.16)
Máme tak
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
27
( ) { } ( )
2
1
exp .
2
t
J
t
i
x t i t J d
m
   

= - - (13.17)
Po dosazení do (13.12) dostáváme
[ ] [ ] { } ( ) ( )
2
2
1
1
1
0 exp exp .
4
t
t
t
t
W J W i t J t J dt d
m
   

 
 
= - - - 
 
 



!
(13.18)
Řešení homogenní rovnice je
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 2 1
1 1 1 2 2 2
1
sin sin ,
sin
, .J J
x t Q t t Q t t
T
Q q x t Q q x t
 

= - + -  
= - = -
(13.19)
Dosazením do (13.14) a pak (13.13) dostáváme
[ ]
( )
( ) { }
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1
0 exp
2 sin 2
exp exp 2 .
2 sin
m
W i T
i T
i m
dQ dQ Q Q i T Q Q
T
 
 



   
=   
  
 
 + -  
 



!
!
(13.20)
Výpočtem integrálu se přesvědčíme, že pro harmonický oscilátor je skutečně [ ]0 1W = . Funkcionální
derivace (předpokládáme 1 2,a bt t t t< < ) je
[ ]
( )
{ } ( ) ( )
{ } ( )
2
2
1
1
2
1
1
exp exp
4
exp ,
2
t
t
a t
t
t
a
t
W J
i t J t J dt d
i J t m
i
i t J d
m

   
 
   

 
 
= - - -  
 
 
 - -





!
!
(13.21)
tedy
[ ]
( ) 0
0
a J
W J
i J t

 =
=
!
(13.22)
a druhá derivace (vypočtená pro 0J = )
[ ]
( ) ( )
{ }
2 2
0
exp .
2
a b
b a J
W J
i t t
i J t J t m


  =
 
= - - 
 
! !
(13.23)
Připomeňme, že
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
28
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ){ }
0
2 2
0
^0 0 ,
^ ^ ^0 0 .
a
a J
a b
b a J
W J
q t
i J t
W J
T q t q t
i J t J t



 
=
=
=
 
= 
 
!
!
(13.24)
Pro b at t= dostáváme z (13.23) známý výsledek pro střední hodnotu čtverce operátoru souřadnice
v základním stavu harmonického oscilátoru
( )
[ ]
( )
2 2
2
2
0
^0 0 .
2
J
W J
q t
m i J t

  =
 
= =  
 
! !
(13.25)
Pokud potřebujeme počítat s hybností, píšeme
( )
( ) ( )
0
^ ^
^ lim .
q t q t
p t m



+ =
(13.26)
Střední hodnotu čtverce operátoru hybnosti v základním stavu harmonického oscilátoru dostaneme jako
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
2
2 2 2 22
2 220
00 0
^0 0
2
lim 2
JJ J
m
p t
W J W J W Jm
i J t J tJ t J t

  
     
== =
= =
 
   + -   +  +
 
!
!
(13.27)
a komutační relace jako
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
2 2 2 2
2
0
0 00
^ ^0 , 0
2
lim 2 .
J JJ
q t p t
W J W J W Jm
i J t J t J t J tJ t
  
      
= ==
= =  
 
   - -   + - 
 
!
!
(13.28)
14. Stručný náznak počítaní pro volné skalární pole
Analogicky jako v kvantové mechanice hledáme amplitudu pravděpodobnosti přechodu
( ) ( )( ) [ ] [ ]{ }2 2 1 1, , exp ,K x t x t D i S   = 
& &
(14.1)
kde účinek je
[ ] 4 2 21 1
.
2 2
S d x m
   
 
=   -  



(14.2)
Budeme počítat vytvořující funkcionál
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
29
[ ]
( )
( )0
0 0
,
0 0
J
J
N
Z J
D=
= = (14.3)
kde
[ ]
[ ]
4 2 2
4 2 2
0 0 0 0
1 1
exp ,
2 2
1 1
exp .
2 2
N D i d x m J
D D i d x m




    
   
  
=   - +    
  
=   -    
 


 


(14.4)
Pole v N rozložíme na dvě části 0J  = + , kde pole J splňuje klasickou rovnici
( )2
Jm J
   + = (14.5)
a zamění integrační proměnnou [ ] [ ]0D D = . Pro účinek pak máme
[ ] 4 2 2
0
4 2 2
0 0 0
4 2
0 0 0
1 1
2 2
1 1
2 2
.
J J J J J
J J
S d x m J
d x m
d x m J






     
  
    
 
+ =   - + +  
 
  - +  
   - + 







(14.6)
První člen v třetím integrálu napíšeme jako (pole v nekonečnu vymizí, takže hraniční člen je nulový)
0 0 ,J J
 
      = -   (14.7)
takže podle (14.5) tento integrál je roven nule. Zůstává tak pro (14.3)
[ ] ( ) ( )4
exp .
2
J
i
Z J d x J x x
 
=  
 
 (14.8)
Známe-li Greenovu funkci rovnice (14.5)
( ) ( ) ( )2 / 4 /
,m x x i x x
   +  - = - - (14.9)
můžeme psát
( ) ( ) ( )4 / / /
J x i d x x x J x =  - (14.10)
a vytvořující funkcionál je
[ ] ( ) ( ) ( )4 / 4 / /1
exp .
2
Z J d x d x J x x x J x
 
= -  - 
 
 (14.11)
Greenovu funkci snadno vyjádříme jako Fourierovu transformaci
( )
( )
( ){ }
4
/ /
4 2
1
exp .
2
d k
x x i k x x
k k m i
 

 
 - = - -
+



(14.12)
Feynmanova formulace kvantové mechaniky 24.2.2010
30
Dvoubodová funkce je
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
1 2
1 2 0
2 2
4 / 4 / /
1 2
1 2
1
,
1 1
2
.
J
Z J
G x x
i J x J x
d x d x J x x x J x
i J x J x
x x

 

 
=
 
= = 
 
   
-  -      
=  -
 (14.13)
Čtyřbodová funkce je pak
( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4
4
1 2 3 4
1 2 3 4 0
4 24
4 / 4 / /
1 2 3 4
1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3
1
, , ,
1 1 1
2 2
.
J
Z J
G x x x x
i J x J x J x J x
d x d x J x x x J x
i J x J x J x J x
x x x x x x x x x x x x

   

   
=
 
= = 
 
   
-  -      
=  -  - +  -  - +  -  -
 (14.14)