-7x1-x2-4x3 → min x1+4x2+2x3=6 x1+x2+2x3=5/2 "x1≥0, x2≥0, x3≥0" Σ w z x1 x2 x3 w1 w2 w1 0 0 1 4 2 1 0 6 1.5 w2 0 0 1 1 2 0 1 2.5 2.5 z 0 1 7 1 4 0 0 0 Σ w 1 0 2 5 4 0 0 8.5 Σ w z x1 x2 x3 w1 w2 x2 0 0 0.25 1 0.5 0.25 0 1.5 3 w2 0 0 0.75 0 1.5 -0.25 1 1 0.666666667 z 0 1 6.75 0 3.5 -0.25 0 -1.5 Σ w 1 0 0.75 0 1.5 -1.25 0 1 Σ w z x1 x2 x3 w1 w2 x2 0 0 0 1 0 0.333333333 -0.333333333 1.166666667 x3 0 0 0.5 0 1 -0.166666667 0.666666667 0.666666667 z 0 1 5 0 0 0.333333333 -2.333333333 -3.833333333 Σ w 1 0 0 0 0 -1 -1 0 z x1 x2 x3 x2 0 0 1 0 1.166666667 x3 0 0.5 0 1 0.666666667 z 1 5 0 0 -3.833333333 z x1 x2 x3 x2 0 0 1 0 1.166666667 x1 0 1 0 2 1.333333333 z 1 0 0 -10 -10.5 ##### Sheet/List 2 ##### ⅔x1-x2 → min -x1+x2 ≤ 2 -½x1+x2 ≤ 5/2 ⅓x1-x2 ≤ ⅓ " x1≥0, x2≥0" z x1 x2 w1 w2 w3 w1 0 -1 1 1 0 0 2 2 w2 0 -0.5 1 0 1 0 2.5 2.5 w3 0 0.333333333 -1 0 0 1 0.333333333 z 1 -0.666666667 1 0 0 0 0 z x1 x2 w1 w2 w3 x2 0 -1 1 1 0 0 2 w2 0 0.5 0 -1 1 0 0.5 w3 0 -0.666666667 0 1 0 1 2.333333333 z 1 0.333333333 0 -1 0 0 -2 z x1 x2 w1 w2 w3 x2 0 0 1 -1 2 0 3 x1 0 1 0 -2 2 0 1 w3 0 0 0 -0.333333333 1.333333333 1 3 z 1 0 0 -0.333333333 -0.666666667 0 -2.333333333 ##### Sheet/List 3 ##### ½x12+½x22+x32 → min x1+x2+x3=1 2x2-x3=0 "x1≥0, x2≥0, x3≥0" Σ w x1 x2 x3 y1 y2 u1 u2 u3 z11 z12 z13 z21 z22 z23 w1 w2 z11 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 z12 0 0 1 0 1 2 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 z13 0 0 0 2 1 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 w1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 w2 0 0 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Σ w 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 z11 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 z12 0 0 0 0.5 1 2 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 -0.5 0 z13 0 0 0 2 1 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 w1 0 1 0 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -0.5 1 x2 0 0 1 -0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 Σ w 1 1 0 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.5 1 z11 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 z12 0 -0.333333333 0 0 1 2 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 -0.333333333 -0.333333333 -0.333333333 z13 0 -1.333333333 0 0 1 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 -1.333333333 0.666666667 -1.333333333 x3 0 0.666666667 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.666666667 -0.333333333 0.666666667 x2 0 0.333333333 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.333333333 0.333333333 0.333333333 Σ w 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 Σ z x1 x2 x3 y1 y2 u1 u2 u3 z1 z2 z3 z1 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 z2 0 0.333333333 0 0 -1 -2 0 1 0 0 1 0 0.333333333 z3 0 1.333333333 0 0 -1 1 0 0 1 0 0 1 1.333333333 x2 0 0.333333333 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.333333333 x3 0 0.666666667 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.666666667 Σ z 1 2.666666667 0 0 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 1.666666667 x1 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 z2 0 0 0 0 -1.333333333 -2 0.333333333 1 0 -0.333333333 1 0 0.333333333 z3 0 0 0 0 -2.333333333 1 1.333333333 0 1 -1.333333333 0 1 1.333333333 x2 0 0 1 0 -0.333333333 0 0.333333333 0 0 -0.333333333 0 0 0.333333333 x3 0 0 0 1 -0.666666667 0 0.666666667 0 0 -0.666666667 0 0 0.666666667 Σ z 1 0 0 0 -3.666666667 -1 1.666666667 1 1 -2.666666667 0 0 1.666666667 x1 0 1 0 0 0 -1.5 -0.75 0.75 0 0.75 0.75 0 0.25 y1 0 0 0 0 1 1.5 -0.25 -0.75 0 0.25 -0.75 0 -0.25 z3 0 0 0 0 0 4.5 0.75 -1.75 1 -0.75 -1.75 1 0.75 x2 0 0 1 0 0 0.5 0.25 -0.25 0 -0.25 -0.25 0 0.25 x3 0 0 0 1 0 1 0.5 -0.5 0 -0.5 -0.5 0 0.5 Σ z 1 0 0 0 0 4.5 0.75 -1.75 1 -1.75 -2.75 0 0.75 x1 0 1 0 0 0 0 -0.5 0.166666667 0.333333333 0.5 0.166666667 0.333333333 0.5 y1 0 0 0 0 1 0 -0.5 -0.166666667 -0.333333333 0.5 -0.166666667 -0.333333333 -0.5 y2 0 0 0 0 0 1 0.166666667 -0.388888889 0.222222222 -0.166666667 -0.388888889 0.222222222 0.166666667 x2 0 0 1 0 0 0 0.166666667 -0.055555556 -0.111111111 -0.166666667 -0.055555556 -0.111111111 0.166666667 x3 0 0 0 1 0 0 0.333333333 -0.111111111 -0.222222222 -0.333333333 -0.111111111 -0.222222222 0.333333333 Σ z 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 ##### Sheet/List 4 ##### 2x12+x22-16x1-12x2 → min 3x1+3x2+x3=18 x1-x2+x4=2 "x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0" Σ w x1 x2 x3 x4 y1 y2 u1 u2 u3 u4 z11 z12 z13 z14 z21 z22 z23 z24 w1 w2 μ z11 0 4 0 0 0 3 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -16 0 z12 0 0 2 0 0 3 -1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -12 0 z13 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 z14 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 w1 0 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 18 6 w2 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 2 Σ w 1 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 z11 0 0 4 0 -4 3 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -4 -16 -8 z12 0 0 2 0 0 3 -1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -12 0 z13 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 z14 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 w1 0 0 6 1 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -3 0 12 x1 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 Σ w 1 0 6 1 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 0 12 z11 0 0 0 -0.666666667 -2 3 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -0.666666667 -2 -16 -16 z12 0 0 0 -0.333333333 1 3 -1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 -0.333333333 1 -12 -4 z13 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 z14 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 x2 0 0 1 0.166666667 -0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.166666667 -0.5 0 2 x1 0 1 0 0.166666667 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.166666667 0.5 0 4 Σ w 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 Σ z x1 x2 x3 x4 y1 y2 u1 u2 u3 u4 z1 z2 z3 z4 μ z1 0 0 0 0.666666667 2 -3 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 16 16 24 z2 0 0 0 0.333333333 -1 -3 1 0 1 0 0 0 1 0 0 12 4 12 z3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 z4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 x1 0 1 0 0.166666667 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 x2 0 0 1 0.166666667 -0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Σ z 1 0 0 1 1 -5 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0 28 20 z1 0 0 0 0 4 3 -3 1 -2 0 0 1 -2 0 0 -8 8 x3 0 0 0 1 -3 -9 3 0 3 0 0 0 3 0 0 36 12 z3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 z4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 x1 0 1 0 0 1 1.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0 -0.5 0 0 -6 2 x2 0 0 1 0 0 1.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0 -0.5 0 0 -6 0 Σ z 1 0 0 0 4 4 -2 1 -2 -1 -1 0 -3 0 0 -8 8 x4 0 0 0 0 1 0.75 -0.75 0.25 -0.5 0 0 0.25 -0.5 0 0 -2 2 x3 0 0 0 1 0 -6.75 0.75 0.75 1.5 0 0 0.75 1.5 0 0 30 18 z3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 z4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 x1 0 1 0 0 0 0.75 0.25 -0.25 0 0 0 -0.25 0 0 0 -4 0 x2 0 0 1 0 0 1.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0 -0.5 0 0 -6 0 Σ z 1 0 0 0 0 1 1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 1 0 -0.75 0.25 -0.5 0.75 0 0.25 -0.5 -0.75 0 -2 2 x3 0 0 0 1 0 0 0.75 0.75 1.5 -6.75 0 0.75 1.5 6.75 0 30 18 y1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 z4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 x1 0 1 0 0 0 0 0.25 -0.25 0 0.75 0 -0.25 0 -0.75 0 -4 0 x2 0 0 1 0 0 0 -0.5 0 -0.5 1.5 0 0 -0.5 -1.5 0 -6 0 Σ z 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 x4 0 0 0 0 1 0 0 0.25 -0.5 0.75 -0.75 0.25 -0.5 -0.75 0.75 -2 2 x3 0 0 0 1 0 0 0 0.75 1.5 -6.75 0.75 0.75 1.5 6.75 -0.75 30 18 y1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 y2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 x1 0 1 0 0 0 0 0 -0.25 0 0.75 0.25 -0.25 0 -0.75 -0.25 -4 0 x2 0 0 1 0 0 0 0 0 -0.5 1.5 -0.5 0 -0.5 -1.5 0.5 -6 0 Σ z 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 y1 y2 u1 u2 u3 u4 μ x4 0 0 0 0 1 0 0 0.25 -0.5 0.75 -0.75 -2 2 x3 0 0 0 1 0 0 0 0.75 1.5 -6.75 0.75 30 18 y1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 y2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 x1 0 1 0 0 0 0 0 -0.25 0 0.75 0.25 -4 0 x2 0 0 1 0 0 0 0 0 -0.5 1.5 -0.5 -6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x4 0 0 0 0.066666667 1 0 0 0.3 -0.4 0.3 -0.7 0 3.2 10.66666667 μ 0 0 0 0.033333333 0 0 0 0.025 0.05 -0.225 0.025 1 0.6 y1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 y2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 x1 0 1 0 0.133333333 0 0 0 -0.15 0.2 -0.15 0.35 0 2.4 x2 0 0 1 0.2 0 0 0 0.15 -0.2 0.15 -0.35 0 3.6 24 1 0 0 -0.033333333 0 0 0 -0.025 -0.05 0.225 -0.025 0 -0.6 u3 0 0 0 0.222222222 3.333333333 0 0 1 -1.333333333 1 -2.333333333 0 10.66666667 μ 0 0 0 0.083333333 0.75 0 0 0.25 -0.25 0 -0.5 1 3 y1 0 0 0 0.222222222 3.333333333 1 0 1 -1.333333333 0 -2.333333333 0 10.66666667 y2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 x1 0 1 0 0.166666667 0.5 0 0 0 0 0 0 0 4 x2 0 0 1 0.166666667 -0.5 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 -0.083333333 -0.75 0 0 -0.25 0.25 0 0.5 0 -3 x1 x2 x3 x4 μ 2.4 3.6 0 3.2 0.6 α═ 0.833333333 4 2 0 0 3 2.666666667 3.333333333 0 2.666666667 1 ##### Sheet/List 5 ##### ½(x12+x22)-x1-2x2 → min 2x1+3x2 ≤ 6 x1+4x2 ≤ 5 -x1+4x2 ≤ 4 C= 1 0 d= -1 A= 2 3 b= 6 0 1 -2 1 4 5 -1 4 4 C-1= 1 0 0 1 G= 2 3 2 1 -1 = 13 14 10 1 4 3 4 4 14 17 15 -1 4 10 15 17 h= -8 + 6 = -2 -9 5 -4 -7 4 -3 y1 y2 y3 0 0 0 0.153846154 0 0 0.153846154 0.108597285 0 0.153846154 0.108597285 0 0.036895231 0.108597285 0 0.036895231 0.204909809 0 0.036895231 0.204909809 0 0 0.204909809 0 0 0.235294118 0 0 0.235294118 0 0 0.235294118 0 0 0.235294118 0 0 0.235294118 0 ATy*= 2 1 -1 0 = 0.235294118 ATy*+d= -0.764705882 3 4 4 0.235294118 0.941176471 -1.058823529 0 x1* 0.764705882 x2* 1.058823529 ##### Sheet/List 6 ##### (x1+x2)/(2x1+x2) → min x1+3x2=5 "x1≥0, x2≥0" Σ w y z1 z2 z3 w1 w2 w1 0 0 1 3 -5 1 0 0 0 w2 0 0 2 1 0 0 1 1 1 y 0 1 -1 -1 0 0 0 0 Σ w 1 0 3 4 -5 0 0 1 z2 0 0 0.333333333 1 -1.666666667 0.333333333 0 0 0 w2 0 0 1.666666667 0 1.666666667 -0.333333333 1 1 0.6 y 0 1 -0.666666667 0 -1.666666667 0.333333333 0 0 Σ w 1 0 1.666666667 0 1.666666667 -1.333333333 0 1 z1 0 0 1 3 -5 1 0 0 w2 0 0 0 -5 10 -2 1 1 y 0 1 0 2 -5 1 0 0 Σ w 1 0 0 -5 10 -3 0 1 z1 0 0 1 0.5 0 0 0.5 0.5 z3 0 0 0 -0.5 1 -0.2 0.1 0.1 y 0 1 0 -0.5 0 0 0.5 0.5 Σ w 1 0 0 0 0 -1 -1 0 x1* 5 x2* 0